事件的独立性与独立试验概型

1、第四节第四节 事件的独立性事件的独立性与独立试验概型与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性 在某些特殊情形，有P（BA）= P（B），即事件A的发生与否并不影响到B发生的概率，有一种“独立”的意味。为此，引进事件的独立性概念。定义1 设（， ，P）为一概率空间，A，B，且P（A）0，若P（BA）=P（B），则称事件B独立于A。由定义1不难推出性质1 若事件B独立于A ，且P（B）0 ， 则事件A亦独立于B。因此，当A，B均为正概率事件时，它们之间的独立性具有对称性，故可称它们相互独立。第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性

2、性质2 设（， ，P）为一概率空间，A，B，且P（A） P（B） 0，则事件A，B 相互独立的充要条件为 P（AB）= P（A） P（B）事实上，当P（A）=0（或 P（B）=0）时， 由 0P（AB） P（A）=0 亦可推知 P（AB）=0从而，仍有 P（AB）= P（A） P（B）因此，上述条件P（A） P（B） 0 的条件可取消而给出两事件相互独立的最一般的定义。第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性定义2 设（， ，P）为一概率空间，A ，B， 若 P（AB）= P（A） P（B），则称事件A，B相互独立。性质1.6.3 若

3、事件A ，B相互独立，则下列三对事件： A与B，A与B，A与B分别也相互独立。注1：由定义2可知，必然事件和不可能事件与任何事件A独立。注2：由A，B独立A，B互斥，反之，由A，B互斥A，B独立。 例如与A（非）独立但相容， 与A互斥但独立。例1 设甲，乙两射手独立地射击同一目标，他们的命中率分别为0.9与0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率。解：令A = “ 甲击中目标 ” ，B = “乙击中目标 ”，依题意， P（A）= 0.9 ， P（B）= 0.8方法一 所求概率为 P（A+B）= P（A）+ P（B）P（AB） = P（A）+ P（B）P（A）P（B） = 0.9 + 0.8 0

4、.90.8 = 0.98方法二 ？第四节第四节 事件的事件的独立性与独篋试验榀宋独立性与独篋试验榀宋 丁、事件的独立性丁、事件的独立性第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性 关于事件的独立性的定义可拓广到任意n个事件。定义3 设概率空间（， ，P）中有n个事件Ai，i=1，2，n，若对任意 s（1 s n）及任意ik，k=1，2，s ， 1i1i2 is n，均有 P（ Ai1 Ai2 Ais）= P（Ai1） P（Ai2） P（Ais）则称A1，A2，An相互独立。注3：由定义3即知， A1，A2，An相互独立，则其中任两个事件独

5、立。但反之则不然，两两独立并不能保证整组独立。例3 同时抛掷两个匀称的四面体，设每一四面体各面标有1，2，3，4，令 A =（第一个四面体向下的一面出现偶数） B =（第二个四面体向下的一面出现奇数） C =（两个四面体向下的一面同为奇数或偶数）这里，基本事件共有44=16个，由古典概型不难求得： P（A）= P（B）= P（C）= 8/16 = 1/2 P（AB）= P（AC）= P（BC）= 4/16= 1/4 P（ABC）= P（）= 0第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性从而 P（A）P（B）P（C）= 可见 P（AB）=

6、 P（A）P（B） P（AC）= P（A）P（C） P（BC）= P（B）P（C）但 P（ABC） P（A）P（B）P（C）即A，B，C三个事件两两独立但三者并不独立。第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性性质4 若事件A1，A2，An相互独立，则1）P（A1A2An）= P（A1）P（A2）P（An）= P（Ai）2）P（A1A2An）= 1- P（A1A2An） （和化积） = 1- P（A1）P（A2）P（An） = 1- 1-P（Ai）注4：在实际应用问题中，往往不是通过计算概率来验证是否独立，而是根据问题的实际背景、直观意

7、义来确定或规定事件的独立性，并据此计算事件（积）的概率。第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性例4 设每个人的呼吸道中带有感冒病毒的概率为0.002， 求在1500人的电影院中存在感冒病毒的概率有多大？解：记 A i = “ 第i个人带有感冒病毒 ”， 并设各人是否带有感冒病毒是相互独立，则 由性质1.6.4 即知 P（A1A2A1500）= 1- 1-P（Ai） =1-（1- 0.002）1500 =0.95第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 一、事件的独立性一、事件的独立性例5 甲、乙、丙三门炮同

8、时向同一架飞机射击，设其命中率分别为0.4，0.5，0.7，若只有一炮命中，飞机坠毁的概率为0.2，若有两炮命中，飞机坠毁的概率为0.6，若三炮命中，则飞机必坠毁。求飞机坠毁的概率。解：记 Ai=“恰有 i 炮命中” ，i= 0，1，2，3 B=“飞机坠毁”，则由全概率公式有P（B）= P(Ai) P（BAi） = 0.090+0.360.2+0.410.6+0.141 = 0.458 第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 二、独立试验概型二、独立试验概型 考察下列实际例子：例7 一批产品的废品率为 0.1，今有放回地任取 3个，求恰有两次取到废品的概率P（B）。

9、解：用Ai表示第i次取到废品，i=1，2，3则 B = A1A2 A3 + A1A2 A3 + A1A2 A3 P(B)=C320.12 (1-0.1) 更一般地，设废品率为P，有放回地抽取n次，则 其中恰有k次取到废品的概率为 P(Bk)=CnkPk(1-P)n-k , k = 0,1,2, ,n例8 设某人打靶 ，命中率为0.7，现独立地重复射击5次，求恰有两次命中的概率P(B2)及恰有k次命中的概率P(Bk) 。解： P(B2)=C520.72(1-0.7)5-2 , P(Bk)=C5k0.7k(1-0.7)5-k , k =0,1,2, ,5更一般地，设命中率为P，则 n次独立射击中恰

10、有k次命中的概率 P(Bk)=CnkPk(1-P)n-k , k =0,1,2, ,n第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 二、独立试验概型二、独立试验概型第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 二、独立试验概型二、独立试验概型 上述试验的共同特征是：（1）每次试验只有两种可能结果，一般记为A与A，并统称之为“成功”与“失败”，发生概率分别为P（A）= p（成功概率） P（A）= q = 1- p。（称之为成功率为P的贝努里试验）（2）在相同的条件下，独立地重复该试验n次。 若以Ai表示第i次实验“成功”，则Ai表示“失败”，i=1，2，n，且 P（ Ai ）= p，P（ Ai ）=q，i=1，2，n， 事件A1 ， A2 ， An相互独立。 具有上述特征的试验称为n重独立试验，统计学家贝努里（Bernolli)首先注意并研究了这类试验，故亦称之为贝努里试验。第四节第四节 事件的事件的独立性与独立试验概型独立性与独立试验概型 二、独