高等数学BIT8-1

1、例例. 设有一小山，取它的底面所在的平面为设有一小山，取它的底面所在的平面为xoy坐标面坐标面其底部所在的区域为其底部所在的区域为22( , )|75Dx yxyxy小山的高度函数为小山的高度函数为22( , )75.h x yxyxy00(1)(,)( , )M xyDh x y设为区域 上一点，问在该点沿平面 上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最解000( , )(,)h x yMxy在点沿梯度方向的方向导数最大，且最大值等于梯度的模， 由于( , )gradh x y 2, 2xyyx0000(,),(,).g xyg xy大值为试写出的表达式故0000(,) |(,)|g xy

2、gradh xy220000( 2)( 2)xyyx 220000558xyx y22000000(,)558g xyxyx y(2) 现在此山开展攀岩活动，需在山脚寻找上山坡度最现在此山开展攀岩活动，需在山脚寻找上山坡度最大点作为起点，试确定攀登起点的位置大点作为起点，试确定攀登起点的位置.22( , )|75Dx yxyxy解解 由题意知，要在底部区域D的边界线2275xyxy上寻找使( , )g x y达到最大的点.令22( , )558f x yxyxy，由题意，只需在约束条件2275xyxy( , ).f x y下求出的最大值点设2222( , )558(75)F x yxyxyxy

3、xy 108(2)0 xFxyxy 108(2)0yFyxyx 2275xyxy解得5 35 3xy5 35 3xy 108(2)0 xFxyxy 108(2)0yFyxyx 2275xyxy55xy 55xy 由于(5 3,5 3)( 5 3, 5 3)150ff(5, 5)( 5,5)450ff(5, 5)( 5,5)与故皆可作为攀登起点.例例 设设 y = f ( x ,t ) 而而 t 是由是由 F (x ,y ,t) 确定的确定的 x ,y 的函数的函数 ，试证明，试证明tyttxtxFFffFFfdxdy 证一证一方程组方程组 0),(),(tyxFtxfy确定了两个一元隐函数确定

4、了两个一元隐函数 y =y (x) , t =t ( x )两边分别对两边分别对 x 求导得求导得 xtyxtFdxdtFdxdyFfdxdtfdxdy解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 证二证二两边取全微分并移项得两边取全微分并移项得 dxFdtFdyFdxfdtfdyxtyxt消去消去 dt 得得dxfFfFdyfFFtxxttyt)()( 解得解得tyttxtxFFffFFfdxdy 第八章第八章 重积分重积分第一节第一节 二二重积分的概念与性质重积分的概念与性质一、问题的提出一、问题的提出二、二重积分的概念二、二重积分的概念三、二重积分的性质三、二重积分的性质四、小结四、小结

5、柱体体积柱体体积=底面积底面积高高特点特点：平顶：平顶.柱体体积柱体体积=？特点特点：曲顶：曲顶.),(yxfz D曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积一、问题的提出一、问题的提出播放播放 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似分割、近似、求和、取极限、求和、取极限”的方法，如下动画演的方法，如下动画演示示步骤如下：步骤如下：用若干个小平用若干个小平顶柱体体积之顶柱体体积之和近似表示曲和近似表示曲顶柱体的体积，顶柱体的体积，xzyoD),(yxfz i),(ii先分割曲顶柱体的底，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，并取典型小区域，.),(lim10iiniifV 曲顶柱体的体积曲顶柱

6、体的体积 设设有有一一平平面面薄薄片片，占占有有xoy面面上上的的闭闭区区域域D，在在点点),(yx处处的的面面密密度度为为),(yx ，假假定定),(yx 在在D上上连连续续，平平面面薄薄片片的的质质量量为为多多少少？求平面薄片的质量求平面薄片的质量i),(ii将薄片分割成若干小块，将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似取典型小块，将其近似看作均匀薄片，看作均匀薄片， 所有小块质量之和所有小块质量之和近似等于薄片总质量近似等于薄片总质量.),(lim10iiniiM xyo定定义义 设设),(yxf是是有有界界闭闭区区域域D上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域D任任意意分分成成n个

7、个小小闭闭区区域域1 ，,2 ，n ，其其中中i 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也 表表 示示 它它 的的 面面 积积 ， 在在 每每 个个i 上上 任任 取取 一一 点点),(ii ，作作乘乘积积 ),(iif i ， ), 2 , 1(ni ，并并作作和和 iiniif ),(1，二、二重积分的概念二、二重积分的概念如果当各小闭区域的直径中的最大值如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数时，这和式的极限存在，则称此极限为函数),(yxf在闭区域在闭区域 D D 上的上的二重积分二重积分，记为记为 Ddyxf ),(，即即 Ddyxf

8、),(iiniif ),(lim10. .对二重积分定义的说明：对二重积分定义的说明：(1）极限存在指：任意分割、任意取点、极限存在指：任意分割、任意取点、和式极限值相等和式极限值相等二重积分值与区域的分法二重积分值与区域的分法和小区域上点的取法无关和小区域上点的取法无关,故可故可采用一种便于计算的划分方式采用一种便于计算的划分方式.在直角坐标系下，若用平行在直角坐标系下，若用平行与与x轴，轴，y轴的直线族划分轴的直线族划分D,则则)(除含边界的小区域kjiyxXYO1kykyjx1jxkjiyx从而DDdxdyyxfdyxf),(),(（3）二重积分为数，与变量符号无关即）二重积分为数，与变

9、量符号无关即故记dxdydDDdvufdyxf),(),()1(00)4(niiDdyxfyxf表曲顶柱体体积时，),(0),(负值表曲顶柱体体积时，Ddyxfyxf),(0),(Ddyxfyxf表曲顶柱体体积代数和符号不定时，),(),(二重积分的几何意义二重积分的几何意义三、二重积分的性质三、二重积分的性质性质性质 1被积函数中的常数因子被积函数中的常数因子 可以提到二重积可以提到二重积分号的外面，分号的外面，即即. )(),(d),( DDkyxfkyxkf为为常常数数d d 性质性质 2 函数的和函数的和( (或差或差) )的二重积分的二重积分 等于各个函等于各个函 数数的二重积分的和

10、的二重积分的和( (或差或差) )，即即.d),(d),(d),(),( DDDyxgyxfyxgyxf 性质性质 3如果区域如果区域 D 被分成两个子区域被分成两个子区域 D1 与与 D2，则在则在 D 上的二重积分上的二重积分 等于各子区域等于各子区域 D1、D2 上的二重上的二重积分之和，积分之和， 即即 DDDyxfyxfyxf12.d),(d),(d),( 这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性这个性质表明二重积分对于积分区域具有可加性 .性质性质4如果在如果在 D 上，上， f(x, y) = 1，且且 D 的面积为的面积为 ，则则 D.d 2121,DDDDD且若性质性质 5

11、如果在如果在 D 上，上，则则推论推论函数在函数在 D 上的二重积分的绝对值上的二重积分的绝对值 不大于不大于函数的绝对值在函数的绝对值在 D 上的二重积分上的二重积分. 即即),(),(yxgyxf DDyxgyxf.d),(d),( DDyxfyxf.d),(d),( 性质性质 6 如果如果 M、m 分别是函数分别是函数 f( x, y) 在在 D 上上的最大值与最小值，的最大值与最小值， 为区域为区域 D 的面积，的面积， 则则性质性质 7( (二重积分中值定理二重积分中值定理) ) 设函数设函数 f( x,y) 在有在有界闭区域界闭区域 D 上连续，上连续，记记 是是 D 的面积，的面

12、积， 则在则在 D 上至上至少存在一点少存在一点( ( , ) )，使得使得 Dfyxf.),(d),( DMyxfm.d),( 四、举例四、举例例例1、 设区域D:0, 1, 1xyxDyx：dyxdyxydxDDD222)2( ,)1 (计算211DDD）划分（yxyxfxD2),(函数轴对称，关于是变量y的奇函数XYO1D2D1yx1 xy1 yx1 yx解：解：yxyxfyD2),()2(轴对称，关于是变量x的偶函数DDydxydx222021222dyxdyxydxDDD注：注：上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对上述性质，称为二重积分的奇偶对称性对于一般函数也成立于一般函数也成立在

13、在D上上 2220ayx ,12220ayxeee ,222)(aDyxede 解解 deDyx)(22 ab.2aeab 区区域域 D的的面面积积 , ab当当1 yxr时时, 1)(0222 yxyx故故 0)ln(22 yx;又又当当 1 yx时时, 0)ln(22 yx于于是是0)ln(122 yxrdxdyyx.解解解解三三角角形形斜斜边边方方程程2 yx在在 D 内内有有 eyx 21,故故 1)ln( yx,于于是是 2)ln()ln(yxyx ,因因此此 Ddyx )ln( Ddyx 2)ln(.oxy121D二重积分的定义二重积分的定义二重积分的性质二重积分的性质二重积分的几

14、何意义二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）（曲顶柱体的体积）（和式的极限）（和式的极限）四、小结四、小结思考题思考题 将二重积分定义与定积分定义进行比较，将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处找出它们的相同之处与不同之处. 定积分与二重积分都表示某个和式的极限定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关不值，且此值只与被积函数及积分区域有关不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数上的二元函数思考题解答思考题解答作作 业业习题习题8-11（1）；）；2（3）；）；3（3）；）；4 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和分割、求和、取极限、取极限”的方法，如下动画演示的方法，如下动画演示 求曲顶柱体的体积采用求曲顶柱体