第13章刚体的基本运动

1、工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动1第第 13 章章 刚体的基本运动刚体的基本运动13-1 刚体的移动刚体的移动13-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动13-3 转动刚体上点的速度和加速度转动刚体上点的速度和加速度工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动2 由于研究对象是刚体，所以运动中要考虑其本由于研究对象是刚体，所以运动中要考虑其本身形状和尺寸大小，又由于刚体是几何形状不变体，身形状和尺寸大小，又由于刚体是几何形状不变体，所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确所以研究它在空间的位置就不必一个点一个点地确定定,只要根据刚体的各

2、种运动形式，确定刚体内某只要根据刚体的各种运动形式，确定刚体内某一个有代表性的直线或平面的位置即可。一个有代表性的直线或平面的位置即可。 刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体刚体是由无数的点构成的。本章将研究刚体的两种简单的运动的两种简单的运动移动和定轴转动移动和定轴转动。这是工。这是工程中最常见的运动，也是研究刚体复杂运动的基程中最常见的运动，也是研究刚体复杂运动的基础。础。13-1 刚体的移动刚体的移动工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动3 刚体在运动中刚体在运动中,其上任意两点的连线始终与它其上任意两点的连线始终与它的初始位置平行，这种运动称为移动，也称

3、平行的初始位置平行，这种运动称为移动，也称平行移动或平动。移动或平动。)0dd( dd)(dddd trvtrrrttrvABAAABABB1. 刚体移动的定义刚体移动的定义ABABrrr 如图所示，由刚体移如图所示，由刚体移动的定义，动的定义，rAB常矢量常矢量2. 刚体移动的特点刚体移动的特点ot0t0+trArB工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动4 由于点由于点A和点和点B是刚体上的任意两点，因此可以是刚体上的任意两点，因此可以得出如下结论：得出如下结论： 刚体作移动时，同一瞬时其上各点速度相同刚体作移动时，同一瞬时其上各点速度相同, 加速加速度相同，各

4、点的运动轨迹形状相同，即：移动刚度相同，各点的运动轨迹形状相同，即：移动刚体的运动可以简化为一个点的运动。体的运动可以简化为一个点的运动。AAABABBatrrrttra 222222dd)(dddd 同理：同理：ot0t0+trArB工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动5 由于荡木由于荡木AB在运动在运动中始终平行于直线中始终平行于直线O1O2，故荡木作移动。故荡木作移动。例例 题题 13- 1解：解：钢索长为钢索长为l，单位为，单位为m。当荡木摆动时钢索的摆动。当荡木摆动时钢索的摆动规律为规律为 ，其中，其中 t 为时间，单位为为时间，单位为s；转；转角角j

5、 j0的单位为的单位为rad，试求当，试求当t=0和和 t=2s时，荡木的中时，荡木的中点点M的速度和加速度。的速度和加速度。t4sin0j jj j 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动6 为求中点为求中点M 的速度和的速度和加 速 度 ， 只 需 求 出加 速 度 ， 只 需 求 出 A 点点（或（或B点）的速度和加速点）的速度和加速度即可。点度即可。点 A 在圆弧上运在圆弧上运动，圆弧的半径为动，圆弧的半径为l。如以。如以最低点最低点O为起点，规定弧为起点，规定弧坐标坐标s向右

6、为正，则向右为正，则A点的点的运动方程为运动方程为tls4 sin0j j 例例 题题 13- 1工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动7再求导一次，得再求导一次，得A点的切点的切向加速度向加速度tltva4 sin16dd02tj j A点的法向加速度点的法向加速度tllva4cos16 22022nj j 例例 题题 13- 1将上式对时间求导，得将上式对时间求导，得A点的速度点的速度tltsv4 cos4dd0j j 工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动8代入代入t = 0和和t = 2，就可求得这两瞬时，就可求得这两瞬时A点

7、的速度和点的速度和加速度，亦即点加速度，亦即点M在这两瞬时的速度和加速度。在这两瞬时的速度和加速度。计算结果列表如下：计算结果列表如下：例例 题题 13- 100j j02 (铅直向上）铅直向上）0 （水平向右）（水平向右）00an (ms-2)at (ms-2)v (ms-1)j j (rad)t (s)04j jll0216j j l20216j j工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动9行驶在弯道上的车厢是否作移动？为什么？行驶在弯道上的车厢是否作移动？为什么？ 在平面问题中在平面问题中,能否根据刚体上的一条直线判能否根据刚体上的一条直线判定该刚体是否作移动

8、？为什么？定该刚体是否作移动？为什么？思思 考考 题题 13- 1思思 考考 题题 13- 2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动1013-2 刚体的定轴转动刚体的定轴转动1. 刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点 刚体在运动时，其刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点上或其扩展部分有两点保持不动，这种运动称保持不动，这种运动称为刚体绕定轴的转动。为刚体绕定轴的转动。该两点的连线称为刚体该两点的连线称为刚体的转轴。的转轴。工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动112. 定轴转动刚体的位置的确定定轴转动刚体的位置的确定 刚体的转动方程刚

9、体的转动方程j j = f (t) 单位为弧度单位为弧度(rad) 如图所示转角如图所示转角j j，是固定面，是固定面A与固连在转动刚体上的动平与固连在转动刚体上的动平面面B的夹角的夹角。j j 确定了刚体的确定了刚体的位置，它的符号规定如下：从位置，它的符号规定如下：从 z 轴正向看去轴正向看去,逆时针为正，顺逆时针为正，顺时针为负。因而刚体绕定轴转时针为负。因而刚体绕定轴转动的运动方程为动的运动方程为工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动12角速度也为代数量。其正负号这角速度也为代数量。其正负号这样来确定，从样来确定，从 z 轴的正端向负端轴的正端向负端看，刚

10、体逆时针转动为正，顺时看，刚体逆时针转动为正，顺时针转动为负。单位用针转动为负。单位用rad/s(弧度弧度/秒）。工程中常用单位还有转速秒）。工程中常用单位还有转速 n ，单位为单位为r /min（转（转/分分)。3. 定轴转动刚体的角速度和角加速度定轴转动刚体的角速度和角加速度n与与w w 的关系为的关系为:30602nn w w)( ddlim 0代数量代数量j jj jj jw w ttt角速度：角速度：工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动13角加速度角加速度: 如果如果 与与w w 同号，则为加速转动同号，则为加速转动, 反之则为减速转反之则为减速转动动

11、 匀速转动匀速转动 当当w w = 常数常数,为匀速转动时，有为匀速转动时，有j jj jw ww w 220ddddlimtttt( rad/s2 )下面讨论两种特殊情况。下面讨论两种特殊情况。j j = j j 0+ w w t 这里这里j j0 是是 t = 0 时转角时转角j j 的值。的值。工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动14 )(22102022000j jj j w ww w w wj jj j w ww wttt当当 =常数常数,为匀变速转动时。有为匀变速转动时。有这里这里j j0和和w w0是是t = 0时转角和角速度。时转角和角速度。(2

12、) 匀变速转动匀变速转动工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动15w wj jj jRtRtRtsvtt ddlim lim0013-3 转动刚体上点的速度和加速度转动刚体上点的速度和加速度 当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周当刚体作定轴转动时，刚体内每一点都作圆周运动，圆心在转轴上，圆心所在的平面与转轴垂运动，圆心在转轴上，圆心所在的平面与转轴垂直，半径直，半径R等于该点到轴线的距离。用自然法，点等于该点到轴线的距离。用自然法，点在在 t 时间内，走过的弧长为时间内，走过的弧长为 s = R j j速度速度sR工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的

13、基本运动刚体的基本运动16,dd)(ddddtwwRtRRttva222n)(wwRRRva422t2nw w Raaa22nt| tanwwRRaa切向加速度为切向加速度为法向加速度为法向加速度为全加速度大小为全加速度大小为方向为方向为R工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动17 (1) 在同一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加在同一瞬时，转动刚体内所有各点的速度和加速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。速度的大小，分别与这些点到转轴的距离成正比。结论结论:速度分布图速度分布图加速度分布图加速度分布图 (2) 在同一瞬时，转动刚体内所有各点的全加速在同一瞬

14、时，转动刚体内所有各点的全加速度度 a 的方向与半径间的夹角的方向与半径间的夹角 都相同。都相同。工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动18思思 考考 题题 13-3 试画出各图中转动刚体上试画出各图中转动刚体上A点和点和B点的速度和点的速度和加速度的方向。加速度的方向。工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动19 滑轮的半径滑轮的半径r =0.2 m，可，可绕水平轴绕水平轴O转动，轮缘上缠有转动，轮缘上缠有不可伸长的细绳，绳的一端不可伸长的细绳，绳的一端挂有物体挂有物体A（如图），已知滑（如图），已知滑轮绕轴轮绕轴O的转动规律的转动规

15、律 j j =0.15 t3 ，其中，其中t以以s计，计，j j 以以rad计，试求计，试求t = 2s 时轮缘上时轮缘上M点和物体点和物体A的速度和加速度。的速度和加速度。 例例 题题 13-2r工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动20 首先根据滑轮的转动规律，首先根据滑轮的转动规律，求得它的角速度和角加速度求得它的角速度和角加速度，245. 0t j jw wt 9 . 0 j j 代入代入 t =2 s， 得得， srad 8 . 11 w w2srad 8 . 1 轮缘上轮缘上 M 点在点在 t =2 s 时的速度时的速度为为 sm 36. 01 w w

16、rvM解：解：例例 题题 13-2r工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动212tsm 360 .ra 22nsm 648. 0 w wra全加速度全加速度 aM 的大小和方向的大小和方向 sm 741. 022n2t aaaM,556. 0 tan2 w w 29 例例 题题 13-2 因为物体因为物体A与轮缘上与轮缘上M点的运点的运动不同，前者作直线移动，而动不同，前者作直线移动，而加速度的两个分量加速度的两个分量工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动22后者随滑轮作圆周运动，因此，后者随滑轮作圆周运动，因此，两者的速度和加速度都

17、不完全两者的速度和加速度都不完全相同。由于细绳不能伸长，物相同。由于细绳不能伸长，物体体A与与M点的速度大小相等，点的速度大小相等，A的加速度与的加速度与M点切向加速度的大点切向加速度的大小也相等，于是有小也相等，于是有1sm 36. 0 MAvv2tsm 36. 0 aaA它们的方向铅直向下。它们的方向铅直向下。例例 题题 13-2工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动23 半径半径R=20 cm的滑轮可绕水的滑轮可绕水平轴平轴O转动，轮缘上绕有不能伸转动，轮缘上绕有不能伸长的细绳，绳的一端与滑轮固连，长的细绳，绳的一端与滑轮固连，另一端则系有物块另一端则系有物

18、块A，设物块，设物块A从位置从位置B出发，以匀加速度出发，以匀加速度 a=4.9 ms2向下降落，初速向下降落，初速 v0=4 ms1，求当物块落下距离，求当物块落下距离s=2 m时轮缘上一点时轮缘上一点 M 的速度和的速度和加速度。加速度。例例 题题 13-3工程力学教程电子教案工程力学教程电子教案刚体的基本运动刚体的基本运动24系统为匀变速转动，根据系统为匀变速转动，根据 v2 v02 = 2as，得，得M点的速度点的速度M点的法向加速度点的法向加速度M点的切向加速度点的切向加速度 M点的全加速度点的全加速度120sm 96. 52 vasvatva ddtRvasva202n2 22n2tsm 178 aaa解解:sBAOMvR例例 题题 13-3工程力学教程电子教案工程力学