高二数学直线与双曲线的位置关系

1、直线与椭圆的位置关系的判定直线与椭圆的位置关系的判定判断方法判断方法复习复习: :相离相离相切相切相交相交1. 几何方法几何方法：考察交点个数考察交点个数2. 代数方法代数方法： 判定联立方程组解的情况判定联立方程组解的情况 引例：判断下列直线与双曲线的位置关系 2221001205xyxy与 224316012516xyxy与222101916xyxy与22103xyxy 与1.2.3.4.一一 直线与双曲线位置关系直线与双曲线位置关系XYO种类：种类： 1. 相离相离(0个交点个交点) ；2. 相切相切(1个交点个交点)；3. 相交相交(1个交点或个交点或2个交点个交点).几何方法：位置关

2、系与交点个数几何方法：位置关系与交点个数XYOXYO相离：相离：0 0个交点个交点特殊的相交特殊的相交(与渐近与渐近线平行线平行)：1个交点个交点相交：相交：2个交点个交点相切：相切：1个交点个交点判断直线与双曲线位置关系的操作程序判断直线与双曲线位置关系的操作程序把直线方程代入双曲线方程把直线方程代入双曲线方程得到一元一次方程得到一元一次方程得到一元二次方程得到一元二次方程直线与双曲线的直线与双曲线的渐进线平行渐进线平行相交（一个交点）相交（一个交点） 计计 算算 判判 别别 式式0=00相交相交相切相切相离相离得得 2214ykxxy 解：解： 由由 2250 xkx21-k方程只有一解方

3、程只有一解 当当 即即 012k1k时，方程只有一解时，方程只有一解时，应满足时，应满足 当当 012k0)1 (20422kk解得解得 25k故故k k的值为的值为 251 ，如果如果直线直线 与双曲线与双曲线 仅仅有一个公共点，求有一个公共点，求 的值。的值。1ykx224xyk例例1 1x xy yoMM如果直线如果直线 以下条件，请分别求出以下条件，请分别求出 与双曲线与双曲线 的取值范围。的取值范围。1ykx224xyk满足满足有两个公共点有两个公共点 没有公共点没有公共点与右支有两个公共点与右支有两个公共点 与左、右两支各有一个公共点与左、右两支各有一个公共点55,122kk 且5

4、5,22k 512k，11k ，探究：探究：解题归纳解题归纳根据直线与双曲线公共点的个数，求直线根据直线与双曲线公共点的个数，求直线斜率斜率k k的取值范围的方法：的取值范围的方法：1. 代数方法：代数方法：有有2个个或无公共点时，根据联立或无公共点时，根据联立后的一元二次方程的判别式或根的分布来判后的一元二次方程的判别式或根的分布来判断；断；有有1个公共点时，考虑一元二次方程的二个公共点时，考虑一元二次方程的二次项系数为零和判别式等于零两种情况。次项系数为零和判别式等于零两种情况。2. 几何方法：几何方法：数形结合，数形结合，求出渐近线和切线求出渐近线和切线斜率，观察直线绕定点旋转时与双曲线

5、位置斜率，观察直线绕定点旋转时与双曲线位置关系，从而确定关系，从而确定k k的取值范围。的取值范围。例例2 经过双曲线经过双曲线 的右焦点的右焦点 作倾斜角作倾斜角为为30的直线交该双曲线于的直线交该双曲线于A，B两点，求两点，求 的周长。（的周长。（ 为双曲线的左焦点）为双曲线的左焦点）1322yx2FABF11F分析：分析： 的周长的周长=ABF111BFAFAB弦长弦长公式公式焦半径焦半径（第二定义转化）（第二定义转化）求直线与双曲线相交弦长的方法：求直线与双曲线相交弦长的方法：1. 1. 利用弦长公式利用弦长公式 2121221|11ABkxxyyk和根与系数关系求弦长和根与系数关系求

6、弦长2. 2. 若直线过焦点，可利用第二定义，将弦长转化为若直线过焦点，可利用第二定义，将弦长转化为焦半径之和或之差，注意区分两种情形焦半径之和或之差，注意区分两种情形: :如果两点在同一支上如果两点在同一支上，则则11| | |ABAFBF ( (见图一见图一) )如果两点分别在两支上如果两点分别在两支上，则则 ( (见图二见图二) )ABF1图图1xyF1AB图图2xy|11BFAFAB解题归纳解题归纳例例3： 过定点过定点P(0,-1)的直线与双曲线的直线与双曲线 仅有仅有一个公共点的直线有（一个公共点的直线有（ ）条。）条。422yx过定点过定点P(2,1)的直线与双曲线的直线与双曲线

7、 仅有一仅有一个公共点的直线有（个公共点的直线有（ ）条。）条。422yx变式变式1 144变式变式2 2过定点过定点P(3,1)的直线与双曲线的直线与双曲线 仅有一仅有一个公共点的直线有（个公共点的直线有（ ）条。）条。422yx2过定点过定点P(1,1)的直线与双曲线的直线与双曲线 仅有一仅有一个公共点的直线有（个公共点的直线有（ ）条。）条。422yx2变式变式3 3归纳：过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线归纳：过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线的条数的条数数形结合，相切或与渐近线平行。数形结合，相切或与渐近线平行。变式变式4 43过定点过定点 的直线与双曲线的直线与双曲线 仅有仅有一个公共点的直线有（一个公共点的直线有（ ）条。）条。422yx)1 ,5(P 过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线过一定点与双曲线仅有一个公共点的直线条数，与这个定点的位置有关：条数，与这个定点的位置有关： (1)(1)当点在渐近线上时有当点在渐近线上时有0 0条或条或2 2条条( (为中心为中心时有