幻灯片 湖南第一师范学院

1、 1.1.1 数学的研究对象数学的研究对象 “数学是研究现实世界中数量关系和空数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学。间形式的科学。”v“数量关系”是算术、代数等领域研究的内容，用来表现现实世界各种数量及其关系。v“空间形式”是几何学研究的内容，研究物体的形状、大小及其相互关系。 1.1.2 数学的基本特征数学的基本特征v理论理论的抽象性的抽象性；v逻辑逻辑的的严谨严谨性性；v应用的广泛性。应用的广泛性。数学区分于其它学科的明显特征有三个：数学区分于其它学科的明显特征有三个：除此之外，数学还具有除此之外，数学还具有形式化、简单化和符号化形式化、简单化和符号化等特征。等特征。 n数学的抽象

2、性数学的抽象性是指数学来源于实践，是现实是指数学来源于实践，是现实世界的事物在数量关系和空间形式上的抽象，世界的事物在数量关系和空间形式上的抽象，在表现形式和处理方法上都具有抽象的特征。在表现形式和处理方法上都具有抽象的特征。n第一，它保留了数量关系或者空间形式。第一，它保留了数量关系或者空间形式。n第二，数学的抽象是经过一系列的阶段形成的，它第二，数学的抽象是经过一系列的阶段形成的，它达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。达到的抽象程度大大超过了自然科学中的一般抽象。n第三，不仅数学的概念是抽象的，而且数学方法本第三，不仅数学的概念是抽象的，而且数学方法本身也是抽象的。身也是抽象的。

3、n数学的严谨性数学的严谨性是指数学中每一个定理、定是指数学中每一个定理、定律都要经过严格的证明才能得以成立。律都要经过严格的证明才能得以成立。n数学定义的准确性数学定义的准确性；n数学推理的逻辑性数学推理的逻辑性；n数学结论的数学结论的精确精确性。性。n由于数学的抽象特征，使其应用的范围十由于数学的抽象特征，使其应用的范围十分广泛。特别是现代科学技术飞速发展的分广泛。特别是现代科学技术飞速发展的今天，今天，数学的应用数学的应用越来越广。越来越广。n几乎每时每刻我们都要在生产和日常生活中用到几乎每时每刻我们都要在生产和日常生活中用到数学数学；n几乎所有的科学几乎所有的科学如如天文学、物理学天文学

4、、物理学、地质学、地质学、化学化学、生物学、医学、信息学、语言学、生物学、医学、信息学、语言学、历史学历史学等等都广泛地应用数学这一工具。都广泛地应用数学这一工具。n几乎所有的几乎所有的领域领域如军事如军事、艺术、航空、经济、艺术、航空、经济、管理等也管理等也都广泛地应用数学这一工具。都广泛地应用数学这一工具。1.1.3 数学的发展过程数学的发展过程v数学萌芽时期数学萌芽时期( (远古远古公元前公元前6 6世纪世纪) )v常量数学时期常量数学时期( (公元前公元前6 6世纪世纪1717世纪世纪) )v变量数学时期变量数学时期(17(17世纪世纪1818世纪世纪) )v近代数学时期近代数学时期(

5、19(19世纪世纪) )v现代数学时期现代数学时期(20(20世纪以后世纪以后) ) 这个时期的特点是人这个时期的特点是人类在长期类在长期的生产的生产实践中，从现实世界里，实践中，从现实世界里，逐逐渐形成渐形成了数学中最古老、最原始了数学中最古老、最原始的的概念概念“数数”( (自然数自然数) )和和“形形”( (简单几何图形简单几何图形) )。 常量数学时期常量数学时期 这个时期这个时期的特点是的特点是数学已成为一门数学已成为一门独立科学，建立了真正科学意义的数理独立科学，建立了真正科学意义的数理论，数学的三个重要分支论，数学的三个重要分支算术、代算术、代数、几何，已经按演绎体系建立起来，数

6、、几何，已经按演绎体系建立起来，初等数学的主体部分已经全部形成。数初等数学的主体部分已经全部形成。数学已明显由经验形态上升到理论形态。学已明显由经验形态上升到理论形态。 这个时期的特点，是这个时期的特点，是数学的研究对数学的研究对象已由常量进入变量，由有限进入无限，象已由常量进入变量，由有限进入无限，由确定性进入非确定性；数学研究的基由确定性进入非确定性；数学研究的基本方法也由传统的几何演绎方法转变为本方法也由传统的几何演绎方法转变为算术、代数的分析方法；算术、代数的分析方法；数学开始进入数学开始进入其他科学。其他科学。 这一时期数学的对象、内容在深度上和广度这一时期数学的对象、内容在深度上和

7、广度上都有了很大发展，分析学、代数学、几何学的上都有了很大发展，分析学、代数学、几何学的思想、理论和方法都发生了革命性的变化，数学思想、理论和方法都发生了革命性的变化，数学越发抽象、不断分化、不断综合的发展规律开始越发抽象、不断分化、不断综合的发展规律开始显露；数学基础研究的开始，标志着一座宏伟稳显露；数学基础研究的开始，标志着一座宏伟稳固的数学大厦已在人们脑海里出现；数学应用范固的数学大厦已在人们脑海里出现；数学应用范围继力学、光学之后，又在热力学、电磁学、技围继力学、光学之后，又在热力学、电磁学、技术科学中获得扩展。术科学中获得扩展。 在这一时期，计算机进入数学领域，使在这一时期，计算机进

8、入数学领域，使整个数学的面貌大为改观；数学几乎渗透到整个数学的面貌大为改观；数学几乎渗透到所有科学领域，形成了数学科学的一系列分所有科学领域，形成了数学科学的一系列分支理论和应用数学理论；纯粹数学不断向纵支理论和应用数学理论；纯粹数学不断向纵深发展，集合论观点的普遍运用，公理化方深发展，集合论观点的普遍运用，公理化方法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠法的完善，数理逻辑的发展，数学基础的奠定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象定，模糊数学的创建，以及泛函分析、抽象代数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使代数和拓扑学三大现代理论的建立，已经使数学在整个科学体系中的特殊地位和作用突数学在整个科学体

9、系中的特殊地位和作用突出地显现出来。出地显现出来。 数数学学内内容容数学知识数学知识数学问题数学问题数学思想数学思想数学方法数学方法数学的数学的“心脏心脏”数学的数学的“躯体躯体”数学的数学的“灵魂灵魂”数学的数学的“行为规则行为规则”1.1.4 数学的主要内容数学的主要内容数数学学知知识识数学基础数学基础 现代数学现代数学 着眼于数学的发展过程着眼于数学的发展过程 初等数学初等数学高等数学高等数学 初等数学阶段，初等数学阶段， 数数 是常量，是常量， 形形 是孤立、简单的几何形体。是孤立、简单的几何形体。初等数学分别研究常量间的代数初等数学分别研究常量间的代数运算和几何形体内部以及相互间运算

10、和几何形体内部以及相互间的对应关系。的对应关系。 从从数学的研究对象数学的研究对象数数与与形形来看来看 高等数学阶段，高等数学阶段，“数数”是变量，是变量，“形形”是曲线和曲是曲线和曲面，高等数学研究它们之间面，高等数学研究它们之间各种函数和变换关系。各种函数和变换关系。 从从数学的研究对象数学的研究对象数数与与形形来看来看 现代数学阶段，现代数学阶段， 数数 为为集合，集合， 形形 为各种空间和流形，为各种空间和流形，它们都能用集合和映射的概念它们都能用集合和映射的概念统一起来，数与形的界限已难统一起来，数与形的界限已难以划分了。以划分了。从从数学的研究对象数学的研究对象数数与与形形来看来看

11、数数学学知知识识纯粹数学纯粹数学 应用数学应用数学 几何类几何类 分析类分析类 运筹学运筹学 概率论、数理统计概率论、数理统计 计算数学计算数学代数类代数类 微分几何、拓扑学等微分几何、拓扑学等数论、抽象代数等数论、抽象代数等微分方程、函数论等微分方程、函数论等着眼于与现实生活的联系着眼于与现实生活的联系 着眼于数学对现实世界中各种现象的处理着眼于数学对现实世界中各种现象的处理 数数学学知知识识确定性数学确定性数学 模糊数学模糊数学 随机数学随机数学 1.2.1 作为教育的数学作为教育的数学 作为教育的数学，它源于数学科学，但与作为科学的数学是作为教育的数学，它源于数学科学，但与作为科学的数学

12、是完全不同的。数学科学与数学学科之间既有联系，又有区别。完全不同的。数学科学与数学学科之间既有联系，又有区别。 数学科学数学科学-是以研究客观世界的数量关系和空间形式的规律是以研究客观世界的数量关系和空间形式的规律为目的，具有严谨的科学体系和逻辑的系统方法。为目的，具有严谨的科学体系和逻辑的系统方法。 ( (是一类专门是一类专门的人的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，其目的是的人的一个完全独立的探索、发现与创造的活动过程，其目的是为发现与创造数学。为发现与创造数学。) ) 数学学科数学学科-数学学科是以培养学生，使学生了解数学，形成数学学科是以培养学生，使学生了解数学，形成一定的数学素

13、养为目的，是学生全面发展教育的一个组成部分。一定的数学素养为目的，是学生全面发展教育的一个组成部分。（是学生在老师的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的（是学生在老师的引导和帮助下的一个模仿探索、发现与创造的活动过程，其目的是为了活动过程，其目的是为了“接受接受”已发现与创造的数学。）已发现与创造的数学。） 作为学科的小学数学是数学科学的一部分，包作为学科的小学数学是数学科学的一部分，包括算术、几何初步、代数初步和统计初步知识，以括算术、几何初步、代数初步和统计初步知识，以及与这些知识有关的技能和方法等，这些内容与数及与这些知识有关的技能和方法等，这些内容与数学科学有密切的关系。它们源于数

14、学科学，遵循数学科学有密切的关系。它们源于数学科学，遵循数学自身的科学性，同科学数学相似有之处，如数学学自身的科学性，同科学数学相似有之处，如数学本身的抽象性、形式化、符号化等特征，在学科数本身的抽象性、形式化、符号化等特征，在学科数学中都有不同程度的反映。正是这些才保持了数学学中都有不同程度的反映。正是这些才保持了数学学科的基本性质。学科的基本性质。 第一，科学的数学是对数学的理论与方法的系统第一，科学的数学是对数学的理论与方法的系统阐述，一般从基本的概念和原理出发，全面完整地、阐述，一般从基本的概念和原理出发，全面完整地、系统地表述某一个数学领域的内容和方法。而作为系统地表述某一个数学领域

15、的内容和方法。而作为学科的数学考虑学生的心理特点和认识规律，从学学科的数学考虑学生的心理特点和认识规律，从学生的学习需要和可能出发，安排和呈现有关的内容生的学习需要和可能出发，安排和呈现有关的内容和方法。和方法。n因此，学科的数学一般要从学生的生活实际出发，让学生充因此，学科的数学一般要从学生的生活实际出发，让学生充分感知所学的内容和方法。如对于数学概念的认识，不是从分感知所学的内容和方法。如对于数学概念的认识，不是从数学概念体系论述，而是从学生熟悉的实际，通过具体的实数学概念体系论述，而是从学生熟悉的实际，通过具体的实物，让学生通过操作、演示等方式直观具体地学习。物，让学生通过操作、演示等方

16、式直观具体地学习。 第二，作为科学的数学，对所有的定理、第二，作为科学的数学，对所有的定理、公式、法则等都要进行严格的论证和推导，公式、法则等都要进行严格的论证和推导，以保证其逻辑性和严谨性。而作为学科的数以保证其逻辑性和严谨性。而作为学科的数学，从学生的接受能力出发，往往不做严格学，从学生的接受能力出发，往往不做严格的论证，只是通过列举的方式，用归纳的方的论证，只是通过列举的方式，用归纳的方法得出结论。让学生具体地认识有关的原理。法得出结论。让学生具体地认识有关的原理。 第三，作为科学的数学，可以完全按照第三，作为科学的数学，可以完全按照数学自身的理论体系和逻辑顺序安排，尽量使数学自身的理论

17、体系和逻辑顺序安排，尽量使内容完整、系统和科学化。而作为学科的数学，内容完整、系统和科学化。而作为学科的数学，在不影响内容的科学性的前提下，应当考虑儿在不影响内容的科学性的前提下，应当考虑儿童的认知规律，一些内容的呈现顺序和编排方童的认知规律，一些内容的呈现顺序和编排方式可作适当的调整。式可作适当的调整。 1.2.2 对小学数学学科性质的认识对小学数学学科性质的认识小学数学应具有如下几个性质特征：小学数学应具有如下几个性质特征：n1.基础性。基础性。n2.普及性。普及性。n3.发展性。发展性。1.2.3 小学数学学科的任务小学数学学科的任务一、发展数学素养一、发展数学素养 数学素养的基本内涵：

18、数学素养的基本内涵： .懂得数学的价值；懂得数学的价值； .对自己的数学能力有信心；对自己的数学能力有信心； .有解决现实数学问题的能力；有解决现实数学问题的能力； .学会数学交流；学会数学交流； .学会数学的思想方法。学会数学的思想方法。 二、培养数学思维二、培养数学思维n思维是人脑对客观事物的本质属性思维是人脑对客观事物的本质属性和事物内在联系的概括和间接的反和事物内在联系的概括和间接的反映。映。思维是智力的核心。思维是智力的核心。n思维有两个最显著的特征，一是概思维有两个最显著的特征，一是概括性，二是间接性。括性，二是间接性。n数学思维，就是以数和形及其结构数学思维，就是以数和形及其结构

19、关系为思维对象，以数学语言和符关系为思维对象，以数学语言和符号为载体，并以认识和发现数学规号为载体，并以认识和发现数学规律为目的的一种思维。律为目的的一种思维。n数学思维主要具有概括性、整体性、数学思维主要具有概括性、整体性、相似性和问题性等特点。相似性和问题性等特点。1.1.求下图中两个正方形盖住的面积。求下图中两个正方形盖住的面积。 思维的概括性举例思维的概括性举例3212.2.某班有某班有1515个学生有哥哥，个学生有哥哥，9 9个学生有姐姐，个学生有姐姐，有哥哥又有姐姐的学生有有哥哥又有姐姐的学生有3 3个，问全班有个，问全班有哥哥或有姐姐的学生共有多少个？哥哥或有姐姐的学生共有多少个

20、？n数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻数学思维方式按照思维活动的形式可以分成逻辑思维、形象思维和直觉思维三类。辑思维、形象思维和直觉思维三类。n逻辑思维的基本形式逻辑思维的基本形式概念、判断、推理。概念、判断、推理。n形象思维的基本形式形象思维的基本形式表象、直感、想象。表象、直感、想象。n直觉思维的基本形式直觉思维的基本形式直觉、灵感直觉、灵感(顿悟顿悟)。 例：鸡兔同笼，共有头例：鸡兔同笼，共有头14只，足只，足34条，鸡兔各几只？条，鸡兔各几只？例：鸡兔同笼，共有头例：鸡兔同笼，共有头1414只，足只，足3434条，鸡兔各条，鸡兔各几只？几只？方法一、（逻辑思维）方法一、（逻辑思维

21、） （144-34）（4-2）=11（只）（只） 鸡鸡 14-11=3(只只) 兔兔方法二、（形象思维）方法二、（形象思维）鸡有鸡有11只，兔有只，兔有3只。只。方法三、（直觉思维）方法三、（直觉思维） 342-14=3 (只只) 兔兔 14-3=11(只只) 鸡鸡 例：父子两人上班，父亲要走例：父子两人上班，父亲要走40分，儿子要走分，儿子要走30分，父先走分，父先走5分后，分后，儿子多少分钟追上父？儿子多少分钟追上父？ 例：一只白兔和一只黑兔在相距例：一只白兔和一只黑兔在相距100m的两棵大的两棵大树间同时相向而行，白兔每秒钟跳树间同时相向而行，白兔每秒钟跳6m，黑兔每秒钟，黑兔每秒钟跳跳

22、4m。一只小花狗与白兔同时前进，每秒钟跑。一只小花狗与白兔同时前进，每秒钟跑10m。小花狗为了表示对两只兔子都很亲热，因此当它遇小花狗为了表示对两只兔子都很亲热，因此当它遇到黑兔时，马上折回去迎接白兔；遇到白兔时，又到黑兔时，马上折回去迎接白兔；遇到白兔时，又迅速折回去迎接黑兔；这样小花狗在白兔与黑兔之迅速折回去迎接黑兔；这样小花狗在白兔与黑兔之间来回奔跑，直到白兔与黑兔相遇。问小花狗来回间来回奔跑，直到白兔与黑兔相遇。问小花狗来回奔跑了多少路？奔跑了多少路？n数学思维方式按照思维指向可以分成集中数学思维方式按照思维指向可以分成集中思维和发散思维两类。思维和发散思维两类。n集中思维又叫聚合思维

23、、求同思维、收敛集中思维又叫聚合思维、求同思维、收敛思维。定向思维思维。定向思维(正向思维正向思维)和纵向思维是集和纵向思维是集中思维的两种重要形式。中思维的两种重要形式。n发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射发散思维又叫求异思维、分散思维、辐射思维。逆向思维和多向思维是发散思维的思维。逆向思维和多向思维是发散思维的两种重要形式。两种重要形式。 例：小华家离学校有例：小华家离学校有800米远，小明家离学校有米远，小明家离学校有500米远。问小华和小明的家相米远。问小华和小明的家相隔多远？隔多远？ 例：对代数式例：对代数式3a作出解释。作出解释。 说明：如葡萄的价格是说明：如葡萄的价格是3元元/

24、千克，千克，买买a千克的葡萄需千克的葡萄需3a元；或正三角形的元；或正三角形的边长为边长为a，这个三角形的周长是，这个三角形的周长是3a。n数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思数学思维方式按照智力品质可以分成再现性思维和创造性思维两类。维和创造性思维两类。n再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现再现性思维是运用已获得的知识和经验，按现成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式成的方案和程序，用惯用的方法、固定的模式来解决问题的思维方式。来解决问题的思维方式。n创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问创造性思维是指以新颖、独创的方式来解决问题的思维，是在已有的知识和经验的基础上，题的思维，是

25、在已有的知识和经验的基础上，对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法对问题找出新答案、发现新关系或创造新方法的思维。的思维。 例：计算例：计算5+5+5+5+4= (1) 54+4 (按乘法意义算，属再现按乘法意义算，属再现性思维性思维) (2) 55-1 (看到一个不存在的看到一个不存在的5，已，已有一点创造性成份了有一点创造性成份了) (3) 64 (把一个把一个“4”分成四个分成四个“1”，分别添加到前面的四个分别添加到前面的四个“5”上，变成了四个上，变成了四个“6”，对信息进行了整体改组，属于创造性，对信息进行了整体改组，属于创造性思维思维) 例：长例：长40cm，宽，宽20cm的的

26、长方形铁皮做成深长方形铁皮做成深5cm的无盖的无盖长方体铁盒长方体铁盒(焊接处不计焊接处不计)，求，求长方体铁盒的容积。长方体铁盒的容积。例：长例：长40cm40cm，宽，宽20cm20cm的长方形铁皮做成深的长方形铁皮做成深5cm5cm的无盖长方体铁盒的无盖长方体铁盒( (焊接处不计焊接处不计) )，求长，求长方体铁盒的容积。方体铁盒的容积。方法一：（方法一：（40-52）（20-52）5 =30105 =1500（立方厘米）（立方厘米）例：长例：长40cm40cm，宽，宽20cm20cm的长方形铁皮做成深的长方形铁皮做成深5cm5cm的无盖长方体铁盒的无盖长方体铁盒( (焊接处不计焊接处不

27、计) )，求长方体，求长方体铁盒的容积。铁盒的容积。方法二：（方法二：（40-5）（20-52）5 =35105 =1750（立方厘米）（立方厘米）例：长例：长40cm40cm，宽，宽20cm20cm的长方形铁皮做成深的长方形铁皮做成深5cm5cm的无盖长方体铁盒的无盖长方体铁盒( (焊接处不计焊接处不计) )，求，求长方体铁盒的容积。长方体铁盒的容积。方法三：方法三：20205 =2000（立方厘米）（立方厘米） 有趣的练习有趣的练习n7+99=n6+998=n5+9987=n4+99876=n3+998765=n2+9987654=1.1.请同学们做好前面三道题；请同学们做好前面三道题；2

28、.2.从这三道题中你发现了什么从这三道题中你发现了什么规律？规律？3.3.不用计算，你能写出后面三不用计算，你能写出后面三道题的结果吗？道题的结果吗？4.4.你还能写出这样的算式吗？你还能写出这样的算式吗？n观察与实验观察与实验n比较与分类比较与分类n分析与综合分析与综合n抽象与概括抽象与概括n归纳与猜想归纳与猜想n类比与联想类比与联想 观察与实验观察与实验n观察是人们对周围事物和现象，在其自观察是人们对周围事物和现象，在其自然条件下，按照事物或现象的本身面目，然条件下，按照事物或现象的本身面目，研究和确定它们的性质和关系的一种方研究和确定它们的性质和关系的一种方法。法。n实验则是人们根据一定

29、的研究目的，人实验则是人们根据一定的研究目的，人为地创设条件，控制和模拟客观对象，为地创设条件，控制和模拟客观对象，在有利的条件下获取资料的研究方法。在有利的条件下获取资料的研究方法。n例例 ( ( 斯坦纳问题斯坦纳问题) ) 平面上有平面上有n n条直线，条直线，任何两条都不平行，并且任何三条都不交任何两条都不平行，并且任何三条都不交于同一点，问这些直线把平面分成几部分？于同一点，问这些直线把平面分成几部分？n例例 三角形内角和定理。三角形内角和定理。 比较与分类比较与分类n比较，是确定有关事物共同点和不同点比较，是确定有关事物共同点和不同点的思维方法。的思维方法。 n分类是以比较为基础，按

30、照事物间性质分类是以比较为基础，按照事物间性质的异同，将相同性质的对象归入一类，的异同，将相同性质的对象归入一类，不同性质的对象归入不同类别的思维方不同性质的对象归入不同类别的思维方法。法。 n分类是确定概念外延的一种逻辑方法。分类是确定概念外延的一种逻辑方法。n分类必须遵循下列原则：分类必须遵循下列原则：n（1 1）分类所得的各子项外延的总和，应当）分类所得的各子项外延的总和，应当与被分类的概念的外适相等，即没有遗漏。与被分类的概念的外适相等，即没有遗漏。n（2 2）分类所得的各子项，应当是互相排斥）分类所得的各子项，应当是互相排斥的，即没有重复。的，即没有重复。n（3 3）分类应按同一标准

31、进行。）分类应按同一标准进行。n例例 已知已知xRxR, , 求证：求证：n f(xf(x)=x)=x12-x-x9+x+x4-x+1-x+10 0。n证明证明: :可分下列三种情况加以讨论：可分下列三种情况加以讨论： 当当x0 x0时，时，f(xf(x)=)=x x12+(-+(-x x9)+)+x x4+(-x)+1+(-x)+10 0；当当x1x1时，时，f(xf(x)=()=(x x12- -x x9)+()+(x x4-x)+1-x)+10 0；当当0 0 x x1 1时，时，f(xf(x)=(1-x)+()=(1-x)+(x x4- -x x9)+)+x x12 0 0。由此进行归

32、纳即得结论。由此进行归纳即得结论。 分析与综合分析与综合 n分析，是指把所研究或思维的数学对象分析，是指把所研究或思维的数学对象的整体分成各个部分、方面、因素和层的整体分成各个部分、方面、因素和层次，并分别对它们进行研究、考察、探次，并分别对它们进行研究、考察、探究等的思维方法。究等的思维方法。 n综合，是指把已有的关于研究对象的各综合，是指把已有的关于研究对象的各个部分、方面、因素和层次等认识联结个部分、方面、因素和层次等认识联结起来，形成对研究对象的统一的整体性起来，形成对研究对象的统一的整体性认识的思维方法。认识的思维方法。 n例例 设设a a、b b、c c为任意三角形三边的长，为任意

33、三角形三边的长， I=a+b+c,S=ab+bc+caI=a+b+c,S=ab+bc+ca, , 求证求证:3SI:3SI24S4S。n分析分析 因为因为I I2 =a =a2+b+b2+c+c2+2S+2S，故要证，故要证3S3SI I24S4S，只需证只需证SaSa2+b+b2+c+c22S2S。n综合综合 对于任意的对于任意的a a、b b、c c，有，有2bcb2bcb2+c+c2,2aca,2aca2+c+c2,2aba,2aba2+b+b2, , 故故SaSa2+b+b2+c+c2。n综合综合 在三角形中，由在三角形中，由a ab+cb+c，得，得a a2ab+acab+ac, ,

34、 同同理理b b2bc+acbc+ac，c c2ca+bcca+bc, , 三式相加得三式相加得a a2+b+b2+c+c22S2S。n综合上述三式可知结论成立。综合上述三式可知结论成立。例例 一个服装厂计划做一个服装厂计划做660660套衣服，已经做套衣服，已经做了了5 5天，平均每天做天，平均每天做7575套，剩下的套，剩下的3 3天做完，天做完，平均每天做多少套？平均每天做多少套？ 抽象与概括抽象与概括n抽象，是从若干事物中，抽取其共同的抽象，是从若干事物中，抽取其共同的本质属性，舍弃其非本质属性的思维方本质属性，舍弃其非本质属性的思维方法。法。n概括，是把抽象出来的若干事物的共同概括，

35、是把抽象出来的若干事物的共同属性联结起来并推广到同一类事物中去属性联结起来并推广到同一类事物中去的思维方法。的思维方法。 归纳与猜想归纳与猜想n归纳是通过对同类事物中的若干特殊情归纳是通过对同类事物中的若干特殊情况的分析得出此类事物的一般性结论的况的分析得出此类事物的一般性结论的思维方法。思维方法。n猜想是指人们根据某些事实和知识作出猜想是指人们根据某些事实和知识作出某种未经证实的预测性推断的思维方法。某种未经证实的预测性推断的思维方法。 n归纳与猜想可以导致数学的发现。归纳与猜想可以导致数学的发现。例例1 1 一列等式，分别为：一列等式，分别为：1=1 1=1 （1 1）2 23 34 43

36、 3 （2 2）5 56 67 78 89 97 7 （3 3）101011111212131314141515161613 13 （4 4）写出第写出第n n个等式。个等式。例例2 2 已知，已知， 求求 并归纳出各式结果的性质。并归纳出各式结果的性质。11)(2nnnf)8(,),1 (ff例例3 3任取一个大于任取一个大于2 2的自然数，反复进行的自然数，反复进行下述两种计算：下述两种计算：（1 1）若是奇数，就将该数乘以）若是奇数，就将该数乘以3 3再加上再加上1 1；（2 2）若是偶数，则将该数除以）若是偶数，则将该数除以2 2。 类比与联想类比与联想n类比是根据两个对象或两类事物间

37、存在类比是根据两个对象或两类事物间存在着的某些相同或相似属性，推断出它们着的某些相同或相似属性，推断出它们的其它属性也可能相同或相似的思维方的其它属性也可能相同或相似的思维方法。法。n联想是由当前感知或思考的事物，想到联想是由当前感知或思考的事物，想到与其相关联的另一个事物的思维方法。与其相关联的另一个事物的思维方法。一般类比联想的模式为一般类比联想的模式为A具有性质具有性质a，b，c，d，B具有性质具有性质a，b，c，B也可能具有性质也可能具有性质d。n思维的深刻性思维的深刻性n思维的灵活性思维的灵活性n思维的敏捷性思维的敏捷性n思维的独创性思维的独创性n思维的批判性思维的批判性 思维的深刻

38、性思维的深刻性 是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。数学思是指思维活动的抽象程度和逻辑水平。数学思维的深刻性有如下特征：维的深刻性有如下特征：1 1善于洞察数学对象的本质；善于洞察数学对象的本质；2 2善于把握数学知识的背景；善于把握数学知识的背景；3 3善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；善于认识数学知识结构及知识间的相互关系；4 4善于揭示数学材料的思想、方法、原理、一善于揭示数学材料的思想、方法、原理、一般模式；般模式；5 5善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当善于掌握数学材料间的逻辑结构，形成恰当的推理和作出正确的推断与猜想。的推理和作出正确的推断与猜想。 例例 设设0 x1，a0

39、，al。 比较比较 |a（1-x）|与与|a(1+x)|的大小。的大小。 分析分析 仔细分析这个题目，发现它有两个本仔细分析这个题目，发现它有两个本质特征：一是不论质特征：一是不论a1还是还是0a1，a(1-x)与与a(1+x)总是异号；总是异号；二是二是a(1-x)与与a(1-x2)总是同号，总是同号，并并 且且a(1-x)十十a(1+x)=a(1-x2) 抓住这两个特征，根据异号两数相加，抓住这两个特征，根据异号两数相加，和的符号与绝对值较大的那个加数相同，于和的符号与绝对值较大的那个加数相同，于是得到是得到 a（1-x） a（l+x） 。 思维的灵活性思维的灵活性 是指思维活动的灵活程度。数学思是指思维活动的灵活程度。数学思维的灵活性具有以下特