材料力学C05章1-3弯曲应力

1、 梁的梁的横截面具有对称线横截面具有对称线，所有，所有对称线组成对称线组成纵向对称平面纵向对称平面，外载荷作用，外载荷作用在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对在纵向对称平面内，梁的轴线在纵向对称平面内弯曲成一条平面曲线。称平面内弯曲成一条平面曲线。平面弯曲：平面弯曲：PPP5-1 梁的纯弯曲梁的纯弯曲MPaPPQ0,0 MQ横力弯曲：横力弯曲：纯弯曲：纯弯曲：aaPPxyQ=0,M 0 与剪力对应 与弯矩对应梁的纯弯曲梁的纯弯曲M5-2 5-2 梁纯弯曲时的正应力梁纯弯曲时的正应力伽利略对于梁弯曲的探索性工作伽利略对于梁弯曲的探索性工作 根据木梁弯曲破坏现象根据木梁弯曲破坏现象, , 伽利略推断

2、：伽利略推断：梁梁的各层纤维均绕底部转动的各层纤维均绕底部转动, ,即即: :正确吗？正确吗？研究方法：研究方法：梁的纯弯曲实验梁的纯弯曲实验观察观察 变形前变形前变形变形中性层实验观察实验观察总结总结现象：现象：mm,nnmm,nn变形后仍为直线。变形后仍为直线。 推断：推断：推论推论- JBernoulli- JBernoulli平面假设：梁纯弯曲变平面假设：梁纯弯曲变形后形后, ,横截面仍保持平面横截面仍保持平面, ,且仍与纵线正交且仍与纵线正交 变形后(小变形)mmnabnaboo中性轴z中性轴中性轴变形前nmxamnabboodxbbbb伸长，伸长，aaaa缩短。缩短。aaaa与与b

3、bbb的正交性不变。的正交性不变。推论推论- -存在没有伸缩变存在没有伸缩变形的形的中性层中性层，中性层与，中性层与横截面的交线横截面的交线中性轴中性轴。梁横截面内无剪应变。梁横截面内无剪应变。yz中性层和中性轴中性层和中性轴xyz 中性层中性层 梁弯曲变形时，既梁弯曲变形时，既不伸长又不缩短的纵向不伸长又不缩短的纵向纤维层称为中性层。纤维层称为中性层。 对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。对矩形截面梁来讲，就是位于上下中间这一层。 中性轴中性轴:梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。梁弯曲时，实际上各个截面绕着中性轴转动。如果正号弯矩如图作用在梁的横截面上，该梁下部将伸如果正号弯矩如

4、图作用在梁的横截面上，该梁下部将伸长、上部将缩短长、上部将缩短()b by d bbo oddx mmnabnabdyoo中性层曲率半径中性层曲率半径(1) - yddd)y( ( 与 y 成正比)简单虎克定律简单虎克定律(2) - yE (中轴性尚未确定, y、 未知)假设假设: : 各层纤维之间无挤压作用各层纤维之间无挤压作用, ,各条纤维仅受单各条纤维仅受单向拉压受力向拉压受力, , 应此可以使用简单虎克定律。应此可以使用简单虎克定律。xz y3. 3. 静力学关系静力学关系( (确定微观正应力与宏观弯矩的等效关系确定微观正应力与宏观弯矩的等效关系) )( (中性轴中性轴) ) ( (对

5、称轴对称轴) )zydA0 AdAN - (3)- (3) AydAzM0 - (4)- (4)MdAyMAz - (5)- (5) 将(2)代入(3)z0 S =0AAyEdAydA 将(2)代入(4) AAzydAdAyzE00 0 AdAN -(3)-(3) yE -(2)-(2) AydAzM0 -(4)-(4)zy ( (对称轴对称轴) )xz ydA( (中性轴中性轴) ) (2)代入(5)式： AMdAyyE zEIM 1- (6)- (6) (6)代入(2)式yIMz - (7)- (7)zy ( (对称轴对称轴) )xz ydA( (中性轴中性轴) ) yE -(2)-(2)

6、MdAyMAz -(5)-(5)2zAIy dA公式适用范围：MM、y y与与 的正负号之间的关系，通常用变形判断。的正负号之间的关系，通常用变形判断。M为正：下拉上压；M为负：上拉下压。a.线弹性范围；b. 平面纯弯曲。C. 单一材料。以上有关纯弯曲的正应力的公式，以上有关纯弯曲的正应力的公式，对于横力弯对于横力弯曲的情形，如果是细长杆，也可以近似适用曲的情形，如果是细长杆，也可以近似适用。理论。理论与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截与实验结果都表明，由于剪应力的存在，梁的横截面在弯曲之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，面在弯曲之后将不再保持平面，而是要发生翘曲，但对于细长梁，这种

7、翘曲对正应力的是很小的。通但对于细长梁，这种翘曲对正应力的是很小的。通常都可以忽略不计。常都可以忽略不计。 5-3 5-3 横力弯曲时的正应力横力弯曲时的正应力maxzmaxyIM （在距中性轴最远点）又可写成：zmaxWM 中性轴为对称轴：minmax 其中：maxzzyIW 抗弯截面模量（m3）中性轴为非对称轴:minmax （对等截面而言）zmaxmaxWM zmaxWM 弯曲容许正应力强度校核： zmaxWM设计截面： maxzMW 计算承载力： zmaxWM 抗弯截面模量抗弯截面模量WZ的计算的计算矩形截面矩形截面Zbh6bhW2Z实心圆截面实心圆截面Zd32dW3ZdD空心圆截面空

8、心圆截面3332ZWDd？3444164232ZDDWDddD注意：抗弯截面模量注意：抗弯截面模量WZ的计算不可以用负面积法的计算不可以用负面积法!例：例：选择工字钢型号。已知：MPamlkNP,kNP1706211521 P2P1l/3l/3l/33834M图图(kNm)（1）maxM（2）Wz)cm()m(.MWmaxz333-63223102230101701038 19kN17kN（3）查表：P4083237cmWz 计算值如果如果: : Wz 小于计算值，验算小于计算值，验算 max，不超，不超过过 的的5%，工程上允许工程上允许选20a,例：例：有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用

9、有一外伸梁受力情况如图所示，截面采用T T型截面，已知材型截面，已知材料的容许拉应力为料的容许拉应力为T T =40MPa=40MPa, ,容许压应力容许压应力C=100MPa 。试试校核梁的强度。校核梁的强度。 Z解解（1 1）作梁的弯矩图如图）作梁的弯矩图如图最大正弯矩最大正弯矩 10.cMKN m 最大负弯矩最大负弯矩 20.AMKN m 弯矩图弯矩图 (3 3)截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩 3322642003030 1702003046303 10zIm 截面形心距底边截面形心距底边 30 1708530200 18530/p>

10、cymm （2 2）确定中性轴的位置）确定中性轴的位置 1.1.拉应力强度校核拉应力强度校核 A截面为负弯矩，上部受拉截面为负弯矩，上部受拉 max1AAzMyI C截面为正弯矩，下部受拉截面为正弯矩，下部受拉 max2CCzMyI 由于由于 21CAM yM y ，最大拉应力发生在，最大拉应力发生在C截面下边缘截面下边缘 2maxmax34.540CCzM yMPaMPaI 拉应力强度足够。拉应力强度足够。 （4 4）校核梁的强度（绘出应力分布图）校核梁的强度（绘出应力分布图） A截面截面C截面截面应力应力分布图分布图应力应力分布图分布图A截面下部受压截面下部受压 ： max2AAzM yI

11、 C截面上部受压截面上部受压 ： max1CCzM yI 由于由于 ，最大压应力发生在，最大压应力发生在A截面的下边缘截面的下边缘 21ACM yM y 2maxmax69100AAzM yMPaMPaI 压应力强度足够。压应力强度足够。 2压应力强度校核压应力强度校核 A截面截面C截面截面应力应力分布图分布图应力应力分布图分布图例：起重机下工作梁由两根工字钢组成，作用在工作梁的联动可移动载荷为：P1=15kN， P2=21kN。两力间距1m。许用应力=170MPa。梁的跨长l=6m。选择工字钢型号选择工字钢型号。（3）根据 WzM图图(kNm)RBRAP2P1lx1m（2）求Mmax的极值3讨论讨论 如果将此梁的截面倒放成如果将此梁的截面倒放成形，这时梁的最大拉应力形，这时梁的最大拉应力将发生在将发生在A截面的上边缘，其