对数值分析的认识(共5页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上数值分析课程体会一 对数值分析的认识数值分析的定义：(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。为的主体部分。运用解决问题的过程：实际问题数学模型程序设计上机计算求出结果 数值分析这门学科有如下特点：1·面向计算机 2·有可靠的理论分析 3·要有好的计算复杂性 4·要有数值实验 5.要对算法进行 本书主要内容：插值法，函数逼近与快速傅里叶变换，数值积分，数值微分，解线性方程组的直接方法，解线性方程组的迭代

2、法，与方程组的数值解法，矩阵特征值计算，初值问题的数值解法。接下来我将就网上查的一些资料以及这学期从课堂上学到的谈一下自己对着门课程的认识。大学的时候也上过数值分析，上完这门课之后，具体的公式记不清楚了，但留下很深印象的是一些计算数学的思想。比如说迭代（iteration），再比如局部近似里的以直代曲其实就是数值积分的思想，而不断的局部以直代曲，就是非线性方程牛顿法的思想。还有其他一些思想，比如外推法等。因此，对这门课的总体印象就是技巧性和实用性很强 科学研究方法可以分为理论分析、科学实验、科学计算。理论分析和科学实验大家比较熟知，那什么是科学计算呢？许多复杂的问题需要借助计算机快速准确的数据

3、处理能力，用计算机处理数值问题的方法就是所谓的科学计算。数值分析这门课的主旨就是将分析问题代数化，培养计算思维，研究如何借助计算工具求得数值问题(问题本身反映了初始数据和要求的数值型数据之间的某种确定性关系）的数值解。其实有数学以来就有数值计算，数百年前，人类已经将数学应用在建筑、战争、会计，以及许多领域之上，最早的数学大约是西元前1800年泥板（Babylonian tablet ）上的计算式子。例如所谓的勾股数（毕氏三元数），（3, 4, 5），是直角三角形的三边长比，在巴比伦泥板上已经发现了开根号的近似值。当今，随着计算机的出现和发展，数值计算迅速发展并形成数学科学的一个独立的分支计算数

4、学。 那么数值分析在现实中有哪些应用？首先整理下用数学解决实际问题的步骤，一般有以下几步：1.根据实际问题建立数学模型应用数学2.数学模型分析(比如模型解的存在、唯一、适定性）基础数学 3.针对相应的数值问题设计可靠高效的算法 4.计算结果可视化 5.计算结果分析我觉得后面三步其实都可以划分到数值分析里，而这门课的核心即是设计高效可靠的算法。举一些数值分析在实际中的应用。 凡是涉及到计算的地方几乎都需要数值分析，比如天气预报，比如工程设计，比如流体固体计算，比如核武器的研制，比如导弹和火箭的发射等等。因为这些问题大都会涉及方程组(线性，非线性，微分)的求解，而多数情况下是无法给出解析解的。所以

5、需要考虑近似解析法（级数解法，逐次逼近法）和数值解法（给出一些离散点处解的近似值），这正是数值分析研究的内容。 具体介绍一下数值计算在天气预报中的应用：天气会受各种因素的影响，稍微一些因素发生改变就会产生很大的变化，所以天气预报其实是一件比较困难的工作（因为这是一个非线性的问题）古代人们用占卜或者经验总结等方式来预计天气状况，这倒更像是统计学。而有了计算机，我们就可以通过数值模拟来预报天气。具体过程就是：首先根据大气运动列出数学物理方程（偏微分），其次对空间进行网格划分，然后通过观测数据给出初值条件，最后通过数值方法求解这些偏微分方程得到网格点处的数值解。这也是为什么主持人总是说大概在.地区，

6、大致在.时段，可能有.量级的降水.因为时空是连续的，而网格划分不可能无限密，所得的数值解也存在误差。二 对插值法的体会与认识1提出的背景：（1）在工程实际问题中，某些变量之间的函数关系是存在的，但通常不能用式子表示。（2）有些函数虽然有表达式，但是比较复杂，计算f(x)不经济，且不利于在实际中在计算机上计算。由此也可以看出数值分析是一门有技术带动的科学。2自主学习时的体会：这一章是我负责介绍给大家的，因此在准备的过程中也查了许多资料，总的体会是这一章还是比较基础与简单的。重要的思想是构造基函数的思想，难点是误差分析的证明及对于高次插值病态性质的理解。3插值函数定义：已知由实验（测量）得到的某一

7、函数 y=f(x)在区间a,b中互异的n+1个xi ( i=0, 1, . ,n)处的值yi=f(xi) (i=0,1,.,n),需要构造一个简单易算的函数P(x)作为y=f(x)的近似表达式： y=f(x)P(x) , 使得 P(xi)= f(xi) = yi (i=0,1, ., n) 这类问题就称为插值问题，P(x)称为插值函数， P(x)一般取最简单又便于计算得函数。4拉格朗日插值：考虑最简单、最基本的插值问题。求n次插值多项式 li(x) (i=0,1, ,n),使其满足插值条件：拉格朗日插值多项式的基函数：可知, 除 xi点外, 其余都是li(x)的零点。符合基函数的性质。5牛顿插

8、值多项式：牛顿插值是一种逐次生成插值多项式的方法，它克服了拉格朗日插值的缺点当插值节点增减时，全部基函数随之改变，整个公式也将发生变化，实际计算中很不方便。6埃尔米特插值：无论是拉格朗日插值还是牛顿插值，它们只要求逼近函数与实际函数在给定节点的函数值相等。而埃尔米特插值不但要求它们函数值重合，而且要去若干阶导数值也重合。其中要去在一个节点X1处有直到n阶导数都重合的插值多项式就是泰勒多项式了。H3(x)称为三次埃尔米特插值多项式要求满足的条件。埃尔米特插值的模型：7分段低次插值：设Ln（x）为逼近函数，并非逼近函数次数越高逼近f(x)的精度越好，因为对任意的插值节点，当n趋于无穷时，Ln（x）

9、不一定收敛到f(x)。本质上Ln（x）是振荡的，用切比雪夫多项式可以克服这一问题。8三次样条插值：在实际问题中，如高速飞机的机翼形线，船体放样等型值线往往要求有二阶光滑度，即二阶连续导数。给定区间a,b的一个划分 a=x0<x1<<xn=b， yi=f (xi) (i=0,1,n),如果函数S(x)满足：（1）S(xi )=yi (i=0,1,n);（2）在每个小区间xi, xi+1 (i=0,1,.,n-1)上是次数不超过3的多项式; (3) 在每个内节点xi (i=1,2,.,n-1)上具有二阶连续导数,则称 S(x) 为关于上述划分的一个三次多项式样条函数，简称三次样条。总结拉格朗日插值是利用基函数的方法构造插值多项式，在理论上较为方便但计算不太方便。基函数的方法将插值问题归结为特定条件下容易实现的插值问题。牛顿插值多项式计算上较为