椭圆与双曲线的对偶性质条[整理]

1、A(-a,0),宀,0)，与y轴平行的直线2212 . 2a b椭圆与双曲线的对偶性质100条杨志明湖北省黄石二中4350031. |PFj |PF2“a2 2一x y2 .标准方程：牙=1a b3.四J O1d14 .点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的外角5. PT平分 PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离 .7 .以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切8 .设A1、A2为椭圆的左、右顶点，则厶PF1F2在边PF2 (或PF1)上的旁切圆，必与A1A2 所在的直线切

2、于A2 (或A1).2 2x y9 .椭圆2=1 (a> b > 0)的两个顶点为a b10.11.2 1上，则过 b吿=1外，则过Po作椭圆的两条切线切点为b切点弦2x若P)(x0，y°)在椭圆ax2若F0(x0,y°)在椭圆 aa2b2.与=1的不平行于对称轴且过原点的弦,b2P1P2的直线方程是12. AB是椭圆2x+2a13 .若a22xP0(x0, y°)在椭圆飞ax)x. y。y _ X。. y。a2b2a2 b22x14 .若 P) ( x0, y0)在椭圆 一2a222.2aba2 b2F0的椭圆的切线方程是 答缨 =1.ab2Pi、P

3、2,则M为AB的中点，则2y2 =1内，则被Po所平分的中点弦的方程是b2y2 = 1内，则过Po的弦中点的轨迹方程是 b2交椭圆于Pl、P2时AlPi与A2P2交点的轨迹方程是2 2x y若PQ 是椭圆2*2=1( a > b > 0 )上对中心张直角的弦，则1 122(r1 =|OP|,r2 =|OQ|).a b2a b216 .若椭圆笃爲=1 ( a > b > 0 )上中心张直角的弦L所在直线方程为 a b小 1122,2ja4A2 +b4B2a2A2 b2B2Ax Bp1(AB = 0)则(1)22 =A B ;(2) L -a b2,217.给定椭圆C1:b

4、2x2a2y2二a2b2(a>b>0),C2:b2x2a2y2=(a2 _b2ab)2,a+b则对G上任意给定的点P)(x0, y°),它的任一直角弦必须经过C2上一定点2 ,2 2 ,2a -ba -bM( 2 2x0，- 2 2 y0) aba b(ii)对C2上任一点P'0(x0',y。')在G上存在唯一的点 M',使得M'的任一直角弦都经过氏占八、-18.设R)(Xo,yo)为椭圆(或圆)2-y2 =1 (a> 0,. b>0)上一点，P1P2为曲线 C 的b动弦，且弦P0P1, P0P2斜率存在，记为1 m b

5、2 充要条件疋k1 k22 .1 -m a22xC： Tak1, k 2,则直线 P1P2通过定点 M (m«，-'myo) (m = 1)的x y19. 过椭圆2 =1 (a>0, b>0)上任一点A(X0,y°)任意作两条倾斜角互补的直线交a b椭圆于B,C两点，则直线BC有定向且kBC = 孚0 (常数) a y。2 220. 椭圆x2 y2 =1 (a> b > 0)的左右焦点分别为F1, F 2,点P为椭圆上任意一点a b F1PF '，则椭圆的焦点角形的面积为2 丫 a 匚2 b2丫S压pf2 =b tan? , P(-J

6、c -b tan -tan?) 2 221若P为椭圆 笃笃=1 ( a> b > 0)上异于长轴端点的任一点，F1, F 2是焦点，a2 b2PRF2 = ： ,PF2F ，则二 tan二 cot .a +c 222 2x _ y22.椭圆22 =1 ( a > b> 0)的焦半径公式：a bIMF1 |=a exJMFzl二a-egFM-c,。)，F2(c,0) M (心 y。).2 2若椭圆*2y?=1(a> b> 0)的左、右焦点分别为F1、F2,左准线为L,则当a2 b22 -1时，可在椭圆上求一点 P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中

7、项2 2P为椭圆x2=1 (a>b> 0) 上任一点，F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，贝Va2 b223.Ov ew24.2a-|AF2|_|PA| |PR松2a |AF当且仅当A,F2, P三点共线时，等号成立x2 y225. 椭圆 2 2 =1 (a>b>0) 上存在两点关于直线 l : y = k(x-冷)对称的充要条a b2 2 2 件是 x 2 . (a -b ) 件是 X02 . 2 2 .a +b k26. 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直则该点与焦点的连线必与焦27. 过椭圆焦半径的端

8、点作椭圆的切线交相应准线于一点， 半径互相垂直.(a> b> 0)上一点，则点P对椭圆两焦点张直角的充要条X = a cos®28. P是椭圆y = bs in®件是e2.1 +sin2 ®2229. 设A,B为椭圆笃爲a b 交于 P,Q,则 AP 二 BQ.2230. 在椭圆2 y a b221-(笃台严吗,其中cos 二 “ sin :-2 -12a b231 .设S为椭圆' a动，记 |AB|= l ,2_ a二 k(k 0,k = 1)上两点,=1中，定长为2m ( ov2 2b x-_2a y(Xo) maxa2 2A aB233

9、椭圆2 2其直线AB与椭圆笃厶=1相a bm w a)的弦中点轨迹方程为，当 y =0时， 90 .2b2=1M (Xo,yo)是 AB 中点，(a> b> 0)的通径，定长线段L的两端点A,B在椭圆上则当IGS时，有l 222(c =a - b,e);当丨："S 时，有(x0)max2ea2 2圆笃与=1与直线A x By C0有公共点的充要条件是a bb2 C°輿 -1与直线Ax B C=0有公共点的充要条件是ab拧b"，(X0"0.A2a2 B2b (Ax0 By0 C)2.2 2x y34. 设椭圆2=1 (a> b >

10、0)的两个焦点为FF2,P (异于长轴端点)为椭圆上a b任意一点，在 PF1F2 中，记.F1PF ：, PRF2 = 1 , F,F2P 二，则有sin ce sin：s i n a2 22 22 235. 经过椭圆b x a y =a b ( a>b>0)的长轴的两端点 A1和A?的切线，与椭 圆上任一点的切线相交于 P1和P2,则| PA I | PA Fb2.2 236. 已知椭圆 笃七=1( a> b> 0),0为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OP 0Q .a b(1)|OP |22-2值是a2 b237. MN1loQf2=2 -2 ； (2) |OP

11、f+|OQ|2 的最大值为 a b4a2b2a;( 3)Sopq的最小是经过椭圆bx2 a2y2 = a2b2 (a>b>0)过焦点的任一弦，若 圆中心O且平行于MN的弦，则|AB|2 = 2a|MN |.AB是经过椭38. MN是经过椭圆b2x2 a2y2 =a2b2 (a>b> 0)焦点的任一弦，若过椭圆中心O2 1 1 1的半弦OP _ MN，贝U222.a|MN | |OP| a b2 2x y39. 设椭圆 + =1 (a>b>0) ,M(m,o)或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的a b任一点，过M弓I一条直线与椭圆相交于P、Q两点，则直线

12、A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的2b2两顶点)的交点N在直线l : (或y = )上.mm40. 设过椭圆焦点 F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的椭圆准线于 M、N两点，贝U MF丄NF.41. 过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点N，贝U MF丄NF.2 242. 设椭圆方程 仔 7=1,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线 l : y=kx的共a b''b2轭直线y = k x上，而且kk 2 .a2 243.

13、设A、B、C、D为椭圆冷占=1上四点,AB、CD所在直线的倾斜角分别为，a b直线AB与CD相交于P且P不在椭圆上，则|PA| |PBL叮茫竽叮.|PC| |PD| b2 cos2 a +a2 sin2«2244. 已知椭圆 令 占=1 (a> b > 0) ，点 P为其上一点F1, F 2为椭圆的焦点，FjPF?a b的外(内)角平分线为 丨，作F2分别垂直丨于R、S,当P跑遍整个椭圆时，R、S形成 的轨迹方程是 x2 y2 二 a2(b2y2 (a-ce)(x c)2 (x2 y2 cx)2 =ce(x c)2).45. 设厶ABC内接于椭圆丨，且AB为丨的直径，丨为

14、AB的共轭直径所在的直线，丨分 别交直线AC、BC于E和F,又D为丨上一点，贝U CD与椭圆丨相切的充要条件是 D为EF 的中点.2 246. 过椭圆 勺 y? - 1 (a>b>0)的右焦点F作直线交该椭圆右支于 M,N两点，弦a2 b2MN的垂直平分线交x轴于P,则|PF | MN |过A作一条斜率为b2xi2a y12247. 设A (X1 ,y1)是椭圆 令 y = 1 (a> b>0)上任一点,a b的直线L,又设d是原点到直线 L的距离，RD分别是A到椭圆两焦点的距离，则r2d =ab.2 2x y48 .已知椭圆 2 2=1a b它们相交于A、B、C、D四

15、点,2 2x y49.已知椭圆 不=1a b22x y(a> b > 0)和 2 + 2 =九(0 £扎c 1 ), 一直线顺次与a b则 |AB I =|CD I .a> b> 0) ,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,O)，则2 , 2 2 , 2a -ba -bX。：:：a2 250 .设P点是椭圆笃爲=1a ba> b > 0)上异于长轴端点的任一点，Fi、F2为其焦点2b22 Y1+cos日.等叵"tan2.51. 设过椭圆的长轴上一点 B ( m,o)作直线与椭圆相交于P、Q两点，A为椭圆长轴

16、 的左顶点，连结 AP和AQ分别交相应于过 B点的直线 MN : X=n于M, N两点，则f, a-m a2.MBN = 90'22 .a + m b (n + a)2 252. L是经过椭圆 笃爲=1 ( a> b > 0)长轴顶点A且与长轴垂直的直线，E、F是a b椭圆两个焦点，e是离心率，点P L ,若一 EPF =,则：是锐角且sin _ e或ab:< arc sine (当且仅当| PH |时取等号).c记.F1PF2 "，则(i)|PFi|PF2|2253. L是椭圆 笃每=1 ( a > b> 0)的准线，A、B是椭圆的长轴两顶点，

17、点P L , a be是离心率，/EPF , H是L与X轴的交点c是半焦距，则:-是锐角且sin :乞e或ab:-arcsine (当且仅当| PH |时取等号).c22x y54. L是椭圆二 2=1 ( a>b> 0)的准线，E、F是两个焦点，H是L与x轴的交 a b点，点L , EPF二，离心率为e,半焦距为c,则为锐角且si n乞e2或ct < arc si ne2 (当且仅当 | PH |=bJa2+c2 时取等号).c22x y55.已知椭圆2=1a b(a> b> 0),直线L通过其右焦点F2,且与椭圆相交于 A、B两点，将A、B与椭圆左焦点(2八

18、_b2)2F1连结起来，则b2 <| F1A | | F1B匸 2一L (当且仅当AB丄x轴时右边不等式取等号，当且仅当2 256 .设A、B是椭圆务 =1 a bPAB， PBA 二 1：，BPA 二22ab | cos |(1)|PA| 222.a -c cos 12aA、Fi、B三点共线时左边不等式取等号)a>b>0)的长轴两端点， P是椭圆上的一点,(2)tan : ta n： =1-e2.(3) S.pabc、e分别是椭圆的半焦距离心率，222a b 丄_ 2 2 cot ".b - ax2 y257.设A、B是椭圆一22 =1 ( a>b>0

19、)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)a b、外P、部的两点，且Xa、Xb的横坐标Xa xa , (1)若过A点引直线与这椭圆相交于点，则N PBA= ZQBA ( 2 )若过B引直线与这椭圆相交于P、Q两点，则PBA QBAT80：.58.设A、B是椭圆2 2x2 -y2 = 1 ( a>b>0)长轴上分别位于椭圆内(异于原点)，外a b部的两点，(1)若过A点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，(若B P交椭圆于两点，贝U P、2Q不关于x轴对称)，且/ PBA ZQBA，则点A、B的横坐标xA、xB满足xA x a ； (2)若过B点引直线与这椭圆相交于 P、Q两点，且.PBA .

20、 QBA-180，则点A、B的 横坐标满足xA xa2.22x y59 .设A, A是椭圆22a b=1的长轴的两个端点，QQ是与AA垂直的弦，则直线AQ2 2 过椭圆 27 = 1 (a b2 2_| AB | | CD 2(a 口.a2 2 到椭圆 务爲=1 ( a> b> 0)两焦点的距离之比等于 电兰(c为半焦距)的动 a2 b2b2 2 260.8ab2a2 b2a> b > 0 )的左焦点 F作互相垂直的两条弦 AB、CD则点M的轨迹是姊妹圆(x _a) y -b .2 2xya - c62.到椭圆2=1( a>b>0)的长轴两端点的距离之比等于

21、-a bb(c为半焦距)与AQ'的交点P的轨迹是双曲线的动点M的轨迹是姊妹圆(x _?)2 y2 = (b)2.ee2 2 y/U 63. 至U椭圆 2 = 1 ( a>b> 0)的两准线和x轴的交点的距离之比为(c为a bb半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(x 2)2 y2 = "2)2 (e为离心率).ee2 264. 已知P是椭圆 仔=1 ( a> b>0) 上一个动点，A, A是它长轴的两个端点，a b且AQ _ AP , AQ _ A'P，贝U Q点的轨迹方程是2 ,2 224a a65. 椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点

22、且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项2 2x y'66. 设椭圆2 =1 ( a>b>0)长轴的端点为 AA,P(X1,yJ是椭圆上的点过 Pa bb2x作斜率为尸 的直线I，过A, A分别作垂直于长轴的直线交 I于M, M ,则a %(1) | AM | AM Fb2. (2)四边形MAAM面积的最小值是2ab .x2 y267. 已知椭圆2 =1 ( a> b>0)的右准线I与x轴相交于点E ,过椭圆右焦点Fa b的直线与椭圆相交于 A、B两点，点C在右准线I上，且BC X轴，则直线AC经过线段EF 的中点2 2口丄”(x a)y68. OA、OB 是

23、椭圆 22a b=1 （ a> 0,b> 0）的两条互相垂直的弦，O为坐标原点，则（1）直线AB必经过一个定点个交点Q的轨迹方程是（x_ ：b 2）2 y2 =（a加269. P（m, n）是椭圆a）y2ab2 ab2( ,0) .(2)以O A、O B为直径的两圆的另 a2 b2at) 222)(X").a b2=1 （ a> b > 0）上一个定点，P A、P B是互相垂直的弦，则（1）直线AB必经过一个定点2ab2+m(a2 _b2) n(b2_a2) (a2 b222 j).(2)以 P A、P B a2 b2为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是（x

24、-Cm）2（八 b2n、2 a2b4 nV2）a2 b2 ）（7 a2 b2（a2 b2）270. 如果一个椭圆短半轴长为 b,焦点Fi、F2到直线L的距离分别为di、d2,那么（1） d,d2 =b2，且F1、F2在L同侧 直线l和椭圆相切.（2） d1d2 b2，且F1、F2在L同 侧=直线L和椭圆相离，（3） d1d2 : b2，或F1、F2在L异侧=直线L和椭圆相交.22X y71. AB是椭圆二 2 =1 （a> b>0）的长轴，N是椭圆上的动点，过 N的切线与 a b过A、B的切线交于C、D两点，则梯形 ABDC的对角线的交点M的轨迹方程是2 2 2x 4a y =1（

25、y = 0）.2 2x y72 设点P（X0,y°）为椭圆 2二1 （ a > b > 0 ）的内部一定点，AB是椭圆a b2 2笃Z -1过定点P（x0,y。）的任一弦，当弦 AB平行（或重合）于椭圆长轴所在直线时(| PA| I PB |)max(I PA| |PB|)mina2b2-(a2y。2 b2x。2)t 、.当弦 ABb2a2b2 -(a2y。2 b2x。2)垂直于长轴所在直线时b273. 椭圆焦三角形中，以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切74. 椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点75. 椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长

26、为定值a+c与a-c.76 椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值a-c.77.椭圆焦三角形中，内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e（离心率）.注：在椭圆焦三角形中，非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.78椭圆焦三角形中79椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项80.椭圆焦三角形中 到同侧焦点的距离成比例,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点81椭圆焦三角形中 与同侧焦点连线段成比例,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点82.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦

27、顶点的外角平分线引垂线 线必与另一焦半径所在直线平行.,则椭圆中心与垂足连83.椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线 距离为椭圆长半轴的长.,则椭圆中心与垂足的84椭圆焦三角形中，过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦a b半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点85. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的 比为定值e.86. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线87. 椭圆焦三角形中，非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线88 椭圆焦三角形中，过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交，则以两交点为直径

28、的圆必过两焦点.2 289. 已知椭圆x2 y2 =1(a 0,b 0)(包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线a by = _x及y=-X的平行线，与直线 OP分别交于R,Q ,0为原点，则：.aa(1) |0M|2 |ON|2 = a2; (2) QQI2 QRjbl90. 过平面上的 P点作直线 h : y = - x及J : y = -一 x的平行线，分别交 x轴于aaM ,N ,交y轴于R,Q . ( 1 )若|0 M 2 + ION2# a则P的轨迹方程是2 2笃 与=1(a 0,b 0) .(2)若|OQf |OR|2=b2 ,贝U P的轨迹 方程是 a b2 2x y22 =

29、1(a0,b0).a b2 291 点P为椭圆 务 -y2 = 1(a 0,b 0)(包括圆在内)在第一象限的弧上任意一点，过a bbP引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于M,N，交直线y二-巴x于Q, R，记.OMQ aab与ONR的面积为S1,S2，则：S, S =.292.点P为第一象限内一点，过 P引x轴、y轴的平行线，交 y轴、x轴于M,N ,交直线y - x于Q, R，记 OMQ与 ONR的面积为S1,S2,已知3 S ，则P a22 2的轨迹方程是 笃 与=1(a 0,b 0).a b双曲线齐b2“io.若P)(Xo,yo)在双曲线22X y =iXgx_y_ya2ii.若P)(

30、xo,yo)在双曲线2.2ab22Xy22 =ia b(a > 0,b > 0)(a> 0,b > 0)切点为Pi、P2,则切点弦PiP2的直线方程是x°xy°yi2.AB是双曲线的中点，贝U koM kABa2 b2£a2=ii3.若Fq(x0, y0)在双曲线2 x 2 a上，则过F0的双曲线的切线方程是外，则过Po作双曲线的两条切线(a>0,b>0)的不平行于对称轴且过原点的弦，M为AB2Lb2=i (a>0,b>0)内，则被Po所平分的中点弦的方程是 XqXyoy_Xoyoa2 b2a2b2i4.若R(Xo,

31、 yo)在双曲线2x2a2Lb2=i (a>0,b>0)内，则过Po的弦中点的轨迹方程仁 l|PFi|-|PF2#2a2 22 .标准方程：一22=1a b|PFildi4 .点P处的切线PT平分 PF1F2在点P处的内角5. PT平分 PFiF2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为 直径的圆，除去长轴的两个端点6 .以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交 .7.以焦点半径PFi为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切8 .设Ai、A2为双曲线的左、右顶点，则PFiF2在边PF2 (或PR)上的旁切圆，必与AiA2所在的直线切于A2 (或Ai).2 29.双曲线

32、务-与“ (a>0,b>0)的两个顶点为 A(-a,0),A2(a,0)，与y轴平行的 a b直线交双曲线于 Pi、P2时AiPi与A2P2交点的轨迹方程是22曰 x y _ XoXyoy疋 2'2 二 2 2aba b2 215 .若PQ是双曲线笃 y2 =1( b > a > 0 )上对中心张直角的弦，则a b11112222 (r1 =| OP I，a =| OQ I).r1r2a b2 216 .若双曲线笃-爲=1 ( b > a > 0)上中心张直角的弦L所在直线方程为a bAx By = 1 (AB = 0),则(1) -士 = A2 B

33、2;(2) L 十财 厂竄.a b|a A -b B |2,217.给定双曲线 C1 : b2x2 -a2y2 二 a2b2 (a> b>0) , C2: b2x2 -a2y2a b 2 (22ab),a - b则(i)对G上任意给定的点F)(x0, y0),它的任一直角弦必须经过C2上一定点2222aba b、M( 22X0,22 yo).a -ba -b(ii)对C2上任一点P'o(x/,yo)在C1上存在唯一的点 M',使得M'的任一直角弦都经过F)'占八、-2 21&设F0(xo, y0)为双曲线笃-与=1 a b弦P0P1, P0P

34、2斜率存在，记为k1, k 2,贝y直线1 m bj2(a> 0,b >0)上一点，P1P2为曲线C的动弦，且P1P2通过定点 M (口瓦，-my0) (m = 1)的充要条件是k) k21 -m a22xy19.过双曲线亍=1 (a>0,b>o)ab上任一点 A(x0, y0)任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两点,则直线BC有定向且kBc字(常数).a yo2 220.双曲线笃y-a b=1 (a> 0,b> o)的左右焦点分别为Fi,F 2,点P为双曲线上任意点F1PF2 =,则双曲线的焦点角形的面积为S F1PF2a 222b2P( . c

35、b ta n,cot).c2 c 2、x2y221 .若P为双曲线 22 =1 (a>0,b>0)右(或左)a b支上除顶点外的任一点,Fi, F 2是焦点， PF1F2 =， PF2F1 二，则匸©c +a沱l-：,c-al：,沱=tan cot(或tan cot ).22c a22x2 y222.双曲线 2 一 2 =1 a b当M (x),y)在右支上时,当M(Xo,y°)在左支上时,(a>0,b>o)的焦半径公式：(RLc,。)，F2(c,0)|MF1 F ex) a,| MF2 F -a . |MF1 1= -ex3 a, |MF21= -

36、e -a .2 223.1v ew 项24.若双曲线X2 一打=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,左准线为L,则当 a b2 - 1时，可在双曲线上求一点P,使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中2 2P为双曲线 笃-爲=1 (a> 0,b> 0) 上任一点，F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则 等号成立a b| AF2 | -2a <| PA| JPF1 |，当且仅当A, F?,P三点共线且P和A, F?在y轴同侧时，2 2x y25.双曲线 2 =1 (a> 0,b> 0)上存在两点关于直线I : y = k(X-X

37、0)对称的充要a b/ 2 一22条件是 2 (a b )条件疋x022牙.a -b k6. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线必与切线垂直.7. 过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直.x = a sec®28. P是双曲线(a> 0, b> 0)上一点，则点 P对双曲线两焦点张直角的ly =bta n®2e -21 -tan2充要条件是12 229.设A,B为双曲线x y2=k (a> 0,b> 0, k 0, k = 1)上两点，其直线AB

38、与a b2X 双曲线笃a2P,Q,则 AP 二 BQ.y1相交于2x30 .在双曲线 a2 221 -(笃*)m =厂2,其中cos ： sin :2 - - Z2 a b2X31 .设S为双曲线a2y_b2b2=1中，定长为2m ( m ) 0 )的弦中点轨迹方程为b2x2心tan亍，当 y =0时，' =90、.2y_b2线上移动，记|AB|= I ,2 |(x0)min(c =a b , ec 2e2 2X va yM(Xo,y°)是AB中点，则当I -S时，有=1 (a> 0,b> o)的通径，定长线段L的两端点A,B在双曲=);当 1时，有(X°

39、;)min = : 4b2 I2 .a2b32. 双曲线 2=1 (a>0,b>0)与直线 Ax By 0有公共点的充要条件是a ba2 2 2. 2.2A a - B b 兰 C .(xx0)2 (y y0)2i i33. 双曲线 2 一 2=1 (a> 0,b > 0)与直线Ax By0有公共点ab的充要条件是 A2a2 -B2b2乞(Ax0 By0 - C)2.2 234. 设双曲线 令-吿=1 (a> 0,b>0)的两个焦点为 F1、F2,P (异于长轴端点)为双a b曲线上任意一点，在 PF1F2中，记F| PF2 = - , Z PF-i F2

40、=：,乙RF2 P =，则有sin 二c e.(sin一sin：) a2 2x y35. 经过双曲线 2 =1 (a>0,b>0)的实轴的两端点 A1和A2的切线，与双曲线a b上任一点的切线相交于 P1和P2,则| PA | -| PA |=b2.2 236. 已知双曲线H =1a b且 OP _OQ. (1)1|OP |22厲2S OPQ的最小值是 弓2 .b -a(b>a >0), O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点,|OQ|22 24； (2) |OP|2+|OQ|2 的最小值为 fa b 2 ； (3) bb - a2 _ y 一b2是经过双曲线中心 O且平

41、行于 MN的弦,2 2 丄=1 a2 b2237. MN是经过双曲线38. MN是经过双曲线中心O的半弦OP _ MN ,2x2a=1(a> 0,b > 0)过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB则 |ABf = 2a|MN(a> b> 0)焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线1 1 1 2 2 2a|MN | |OP| a b2 239. 设双曲线笃每a b一点，过M引一条直线与双曲线相交于P、Q两点，2交点N在直线I : x =上.m40. 设过双曲线焦点 F作直线与双曲线相交=1 ( a>0,b>0) ,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任则直

42、线 A、A2Q(Ai ,A2为两顶点)的P、连结AP和AQ分别交相应于焦点 F的双曲线准线于41. 过双曲线一个焦点点，A1P和A2Q交于点 M , A2P和A1Q交于点 N，贝U MF丄NF. 2x42. 设双曲线方程一aF的直线与双曲线交于两点Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，M、N两点，贝U MF丄NF.P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶共轭直线2每-1,则斜率为k(k丰0)的平行弦的中点必在直线I : y = kx的b,b2y = k x上，而且kk 2.a43.设 A、B、C、D2 2x y22=1 ( a>0,b > o) 上四点,AB、CD所在直线的a b直线AB

43、与CD相交于P,且-a2sin2 ：2 sin 二为双曲线分别为，：，cos2 P|PC| |PD| b2 cos - a2 244.已知双曲线令 yra2 b2F1PF2的外(内)角平分线为R、S形成的轨迹方程是倾斜角|PA| | PB| b2不在双曲线上，则=1 (a>0,b>0),点P为其上一点l，作Fi、F2分别垂直I于R、S,Fi,x2 y2=a2(a3b(x-c)(a2 b2)x-b2c2 a4c2(x-c)y2F 2为双曲线的焦点,P跑遍整个双曲线时,3 22、2、(ab c y ).45 设 ABC三顶点分别在双曲线 丨上，且AB为丨的直径，丨为AB的共轭直径所在

44、的直线，丨分别交直线AC、BC于E和F,又D为丨上一点，贝U CD与双曲线:相切的充要 条件是D为EF的中点.2 246.过双曲线 H =1 (a> 0,b> 0)的右焦点 F作直线交该双曲线的右支于M,Na b两点，弦MN的垂直平分线交x轴于P,则丨PF丨=e| MN |22 2x y47.设A ( X1 ,yj是双曲线 2=1( a> 0,b >0)上任一点，过A作一条斜率为- bL的距离，的直线L,又设d.r2d =ab.a是原点到直线r ,r2分别是b2x1 a2%A到双曲线两焦点的距离，则48.已知双曲线次与它们相交于A、49.已知双曲线2x2 a B、2xa

45、2y_b2 _1C、D 四点,AB |y27=1 (a> 0,b> 0)b2(a> 0,b>0)2才x和2a=|CD2_ yb2.( 0 V丸£ 1 ), 一条直线顺,A、B是双曲线上的两点，线段 AB的垂直平分线与x轴相交于点P(x0,0)，则x0 -2 2a2 b2或X。<a50.2 2设P点是双曲线才計1(a>0,b>0)上异于实轴端点的任一点，F1、F2为其焦2b22 (2) S卡吋2 二b cot 1 -COST1 2251.设过双曲线的实轴上一点B ( m,o)作直线与双曲线相交于P、Q两点，A为双曲线实轴的左顶点，连结 AP和A

46、Q分别交相应于过 B点的直线 MN : X 于M , N两点,2则 N MBN =90Q am= aa +mb (n +a)2 2x y22=1 (a>0,b>0)焦点F且与实轴垂直的直线，A、B是a b点记.F,PF2 - V，则 |PF, |PF2 |52. L是经过双曲线双曲线实轴的两个焦点,e是离心率，点P L ,若.EPF二：1，则二是锐角且sin 或e-arc sin1 (当且仅当e53. L是经过双曲线ab +| PH | 时取等号) c2 2x y22=1 (a> 0,b> 0)的实轴顶点a bA且与x轴垂直的直线,- , H是L与X轴的交点_ ab时取

47、等号)cF是双曲线的准线与 x轴交点，点P L , e是离心率，-EPF,1 , 1c是半焦距，则：是锐角且sin 或:<arcsin (当且仅当|PA|=ee2 254. L是双曲线 令-占=1 (a>0,b>0)焦点F1且与x轴垂直的直线，E、F是双曲a2 b2线准线与x轴交点，H是L与x轴的交点，点P L , EPF二，离心率为e,半焦距为11b '""22c,则为锐角且sin 2或:arc sin 2 (当且仅当| PF1 | a c时取等号) eec2 2xy55.已知双曲线 2-2 =1 ( a> 0,b> 0),直线L通过

48、其右焦点F2,且与双曲线右支交ab2 2 2于A、B两点，将A、B与双曲线左焦点 F1连结起来，则 FAjlRBI-(当a2且仅当AB丄x轴时取等号).2 256.设A、B是双曲线 笃 y2 =1 (a>0,b>0)的长轴两端点，P是双曲线上的一点， a bPA : ,. PBA二- , . BPA = 丫 , c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有2 2 22ab Icosa |c22a b 斗(1) |PA| 222.(2) tan: tan： =1e .(3) S ?ab22 cot .b +aI222| a -c cos |2 257. 设A、B是双曲线 笃-爲=1 (a&

49、gt;0,b> 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦a b点的区域)、外部的两点，且 xA、xB的横坐标xAxB二a2, (1)若过A点引直线与双曲线 这一支相交于P、Q两点，则.PBA二/QBA ; (2)若过B引直线与双曲线这一支相交于 P、Q 两点，则 PBA . QBA=180：.2 258. 设A、B是双曲线一22=1 (a> 0,b> 0)实轴上分别位于双曲线一支内(含焦a b点的区域)，外部的两点，(1)若过A点引直线与双曲线这一支相交于P、交双曲线这一支于两点，贝U P、Q不关于x轴对称)，且.PBA=/QBA , 坐标xA、xB满足xA xB =a ； (2

50、)若过B点引直线与双曲线这一支相交于 _PBA : _QBA =180、，则点A、B的横坐标满足xA xB2 2x y59. 设A, A是双曲线 2 =1的实轴的两个端点，a b2 =a .Q两点，(若B P则点A、B的横P、Q两点，且qq'是与aA垂直的弦，则直线2 2AQ与AQ'的交点P的轨迹是双曲线 x2 y2 1 .a b2 260.过双曲线笃-与=1a b(a> 0,b> 0)的右焦点F作互相垂直的两条弦AB、CD,则8ab2|aF严B|阿.2 261. 到双曲线笃-每=1a b动点M的轨迹是姊妹圆(x二ec)2 y2 = (eb)2.2 262. 至U双

51、曲线y = 1 ( a>0,b >0)的实轴两端点的距离之比等于a b距)的动点M的轨迹是姊妹圆(x _a)2 y2 =b2.c a(a> 0,b >0)两焦点的距离之比等于 -b(c为半焦距)的c-ab(C为半焦2 263 .到双曲线与-=1a b(a>0,b>0)的两准线和x轴的交点的距离之比为为半焦距)的动点的轨迹是姊妹圆(x _a)2 y2 = (b)2 (e 为离心率).e2x64.已知P是双曲线-a2b2=1 (a>0,b>0)上一个动点，A , A是它实轴的两个端2a y(1) | AM | AM |=b2. (2)四边形MAAM面

52、积的最小值是2ab .2 2x y67.已知双曲线 2 =1 (a>0,b>0)的右准线丨与x轴相交于点E，过双曲线右a b焦点F的直线与双曲线相交于 A、B两点，点C在右准线丨上，且BC _ X轴，则直线AC经 过线段EF的中点.(x _a)268. OA、OB是双曲线yaB为直径的两圆的另一个交点Q的轨迹方程是/ab2 -a2m、2 丄 /b2n 、(x2厂)(y二 2)b -ab -a70.如果一个双曲线虚半轴长为 d1d2 二b2，且 F1、F2 在 L 同侧a2b4(a2 b2)*且厂 n).d1d2 b2，且F2在L同侧=直线L和双曲线相离, 异侧 直线L和双曲线相交.2 271 . AB是双曲线寻a线与过A、B的切线交于2 2-4a y = 1(y = 0).b2C、22、2(b -a )b,焦点Fi、F2到直线L的距离分别为di、d2,那么(1)直线L和双曲线相切，或L是双曲线的渐近线.(2)(3) d1d2 : b2，或 Fi、F2在 L=1 (a> 0,b > 0)的实轴,N是双曲线上的动点，过N的切D两点，则梯形 ABDC的对角线的交点 M的轨迹方程是2 2x y72.设点P(X0, y0)为双曲线 2 =1 (a&g