数列求和的基本方法和技巧

1、编辑课件编辑课件1 1编辑课件编辑课件2 2数列求和基本方法：公式法分组求和法错位相减法裂项相消法并项求合法编辑课件编辑课件3 3一.公式法：等差数列的前等差数列的前n n项和公式：项和公式：等比数列的前等比数列的前n n项和公式项和公式 ： 11()(1)22nnn aan nSnadn即直接用求和公式，求数列的前n和S111(1)(1)(1)11nnnna qSaa qaqqqq123n 2222123n3333123n1(1)(21)6n nn2(1)2n n1(1)2n n编辑课件编辑课件4 4例例1 1：求和：求和：1. 468+2n+2 （）2311112 12 222n .编辑课

2、件编辑课件5 5一、分组法求和有一类数列，既不是等差数有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其列，然后分别求和，再将其合并即可合并即可. .编辑课件编辑课件6 6 cn=an+bn(an、bn为等差或等比数列。）为等差或等比数列。）项的特征项的特征反思与小结：反思与小结：要善于从通项公式中看本质：一个等差要善于从通项公式中看本质：一个等差 n n 一个一个等比等比22n n ，另外要特别观察通项公式，如果通项公式，另外要特别观察通项公式，如果通

3、项公式没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律没给出，则有时我们需求出通项公式，这样才能找规律解题解题. .分组求和法分组求和法编辑课件编辑课件7 7 , + n 11.求数列求数列 + 2 3 , + 的前的前n项和项和 。 , 2 2 2 , 3 2 n 2 + 1 2 3 n 解：解： =(1+2+3+ +n) Sn=(1+2)+(2+ )+(3+ )+(+) 2 2 3 2 2 +(2+2 +2 +2 ) n23=n(n+1)22(2 -1)2-1n+=n(n+1)2+2 -2n+1分组求和法分组求和法编辑课件编辑课件8 8例例1 求数列的前求数列的前n项和：项和：231, 7

4、1, 41, 1112 naaan， 解：设解：设)231()71()41() 11 (12 naaaSnn将其每一项拆开再重新组合得将其每一项拆开再重新组合得)23741 ()1111 (12 naaaSnn（分组）（分组） 2) 13(nnnSn2) 13(nn 当当a1时，时，（分组求和）（分组求和） 1a2) 13(1111nnaaSnn2) 13(11nnaaan当当时，时，编辑课件编辑课件9 9n n个个编辑课件编辑课件1010二、错位相减法：二、错位相减法：如果一个数列的各项是由一如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列个等差数列与一个等比数列对应项乘积组成，此时求和对应

5、项乘积组成，此时求和可采用错位相减法可采用错位相减法. .既既an nbn n型型等差等差等比等比编辑课件编辑课件11112错位相减法错位相减法如果一个数列的各项是由如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列一个等差数列和一个等比数列的对应项的对应项之积构成的，那么这个数列的前之积构成的，那么这个数列的前n项和即可用此法来求项和即可用此法来求.【错位相减法错位相减法】设设 an的前的前n项和为项和为Sn，ann2n，则，则Sn编辑课件编辑课件1212 例例11 求数列 前n项的和 ,22,26,24,2232nn解：由题可知，解：由题可知， 的通项是等差数列的通项是等差数列2n的通项与等

6、比数列的通项与等比数列 的通项之积的通项之积nn22n21设设 nnnS2226242232 14322226242221 nnnS （设制错位）（设制错位）1432222222222222)211 ( nnnnS1122212nnn得得1224nnnS编辑课件编辑课件13132022-2-2213已知数列.,)109() 1(nnnnSnana项和的前求编辑课件编辑课件14142022-2-2214解解：第一步，写出该数列求和的展开等式nnnnnS1091109.109410931092132第二步，上式左右两边乘以等比数列公比109nS10914321091109.109410931092

7、nnnn编辑课件编辑课件15152022-2-2215第三步，两式进行错位相减得：1321091109.1091091092101nnnnS化简整理得:1109111099nnnS编辑课件编辑课件1616 1. 设数列设数列 满足满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn.变式探究变式探究编辑课件编辑课件1717 1设数列设数列 满足满足a13a232a33n1an ，aN*.(1)求数列求数列 的通项；的通项；(2)设设bn ，求数列，求数列 的前的前n项和项和Sn.解析解析：(1)a13a232a

8、33n1an ，编辑课件编辑课件1818(2) bnn3n，Sn13232333n3n，3Sn132233334(n1)3nn3n1两式相减，得2Sn332333nn3n1，编辑课件编辑课件19192022-2-2219项和。前求数列nnann.234 1、2、已知数列) 0() 12 ( ,5 ,3 , 112aanaan求该数列的前n项和。编辑课件编辑课件2020三、裂项求和法：三、裂项求和法：把数列的通项拆成两项之差，即数把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前于是前n

9、 n项的和变成首尾若干少数项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为分裂通项之和，这一求和方法称为分裂通项法项法. .（见到分式型的要往这种方见到分式型的要往这种方法联想法联想） 编辑课件编辑课件2121常见的裂项公式有：111) 1(1. 1nnnn)11(1)(1.2knnkknn)121121(21) 12)(12(1. 3nnnn)2)(1(1)1(121)2)(1(1.5nnnnnnn)(11. 4bababa编辑课件编辑课件2222常见的裂项公式有：16.11nnnn221117.121212 2121nnnnn 编辑课件编辑课件2323例例1：求和：求和裂项法求和裂项法求和1

10、3)1311 (31)131231()7141()411(31) 13)(23(1741411nnnnnnn) 13)(23(1nn31)131231(nn提示：提示：) 13)(23(11071741411nn编辑课件编辑课件2424.11321211:3的的值值求求练练习习 nnSn11 nnan解：设解：设nn 11111321211 nnnnSn)1()1()23()12(nnnn 11 n编辑课件编辑课件25251-21-22 2+3+32 2-4-42 2+ +(2n-1)+(2n-1)2 2-(2n)-(2n)2 2= =？局部重组转化为常见数列局部重组转化为常见数列四、并项求和

11、四、并项求和编辑课件编辑课件2626练习：练习：已知已知S Sn n=-1+3-5+7+=-1+3-5+7+(-1)+(-1)n n(2n-1),(2n-1),1)1)求求S S2020,S,S21212)2)求求S Sn nS2020=-1+3+(-5)+7+（-37）+39S2121=-1+3+(-5)+7+（-9）+39+（-41）=20=20=-21编辑课件编辑课件2727五五.相间两项成等差等比综合相间两项成等差等比综合编辑课件编辑课件2828编辑课件编辑课件2929an是等差数列，是等差数列，an=1+(n- -1)=n1. 若若a1=1, 且且an+am=an+m(n,mN*),

12、 则则an=_解解: n=m=1时，时，a2 = a1+a1=2, 得得a1=1, a2=2m=1时时,由由an+am=an+m 得得an+1=an+1，即，即an+1- -an=1n2. 若若b1=2，且，且bmbn=bm+n，则，则bn=_解：解：n=m=1时，时，b2=b1b1=4 , 即即b1=2，b2=4，m=1时时,由由bnbm=bn+m 得得bn+1=bn b1=2bn，故故bn是首项为是首项为b1=2 ，公比为，公比为q=2的等比数列，的等比数列，bn=22n-1=2n 2n 练习练习编辑课件编辑课件3030编辑课件编辑课件3131编辑课件编辑课件3232编辑课件编辑课件3333解：解：(1)证明：由题意得证明：由题意得2bn1bn1，bn112bn22(bn1)又又a12b111，b10，b1110.故数列故数列bn1是以是以1为首项，为首项，2为公比的等比数列为公比的等比数列编辑课件编辑课件3434编辑课件编辑课件3535编辑课件编辑课件3636编辑课件编辑课件3737编辑课件编辑课件3838编辑课件编辑课件393