特训“2+1+2”压轴满分练(二)理(含解析)

1、“2+ 1+2”压轴满分练（二）1.已知 a B, C, D四点均在以点 0为球心的球面上，且 AB= AC= AD= 2 ： 5, BC= BD= 4® CD= 8.若球O在球O内且与平面BCD相切，则球Q直径的最大值为（）A. 1B. 2C. 4D. 8解析：选D由题意，得BC+ bD= CD,所以BCL BD,所以 BCD 为等腰直角三角形.如图，设 CD的中点为O则OBCD勺外心， 且外接圆半径r = 4.连接AO B0因为AC= AD= 2 ,：5,所以AOLCDAO- 2,又BO- 4,所以AO + BO= AB,所以ACL BQ所以ACL平面BCD所以球心 O在直线AO

2、上设球 O的半径为 R则有r2+ OO-氏,即16+ （R 2） 2= R2,解得R= 5.当球Q直径最大时，球 O与平面BCD相切，且与球 O 内切，此时A, O, O , O四点共线,所以球 Q直径的最大值为 R+ OO- 8.2.已知函数3f (x) = (x a) 3x + a( a>0)在1 , b上的值域为2 2a, 0,贝U b 的取值范围是（)A. 0,3B. 0,2C. 2,3D. ( 1,3解析：选A由题意，得f'2(X) = 3(x a) 3 = 3(x a+ 1)( x a 1)由 f '(x)-=0 ,得 x = a+ 1 或 x= a 1,所以

3、当 a 1<x<a+ 1 时，f'(x)<0,当 x<a 1 或 x>a+1 时，f '(x)>0,所以函数f(x)在(a 1, a+ 1)上单调递减， 在(一g , a 1) , (a+ 1, +)上单 调递增又 f(a+ 1) = 2a 2 , f(a 1) = 2a+ 2.若 f( 1) = 2a 2,即(1 a) + 3 + a= 2a 2,贝U a= 1,此时 f(x) = (x 1) 3x+ 1,且 f(x) = 4 时，x= 1 或 x= 2； 由f (x) = 0,解得x = 0或x = 3.因为函数f(x)在1 , b上的值

4、域为4,0,所以Ow bw 3.若f( 1)> 2a 2,因为a>0 ,所以a 1> 1,要使函数f(x)在1 , b上的值域为2f 1> 2a 2 ,2a, 0,需 a+1 w b,此时 a 1 1 , b,所以f a1 w 0 ,31 a + 3 + a> 2a 2 ,即无解综上所述,b的取值范围是0,3.2a+2w 0 ,3.在平面四边形 ABCD , AB= 1, AC=5 , BDL BC, BD= 2BC则AD的最小值为 .n解析：设/ BAC= a , / ABD=卩(卩 (0 , n ),则/ ABC=卩+ .在厶ABC中 ,由余弦定理，得 BC=

5、 aB + AC 2AB- A(Cos a = 6 2；5cos a ,由正弦定理，得 .BC = sin aAC一，即 BC=nsin (3 + p兽/.仁ABD中，由余弦定理，得AD= AB+ DB 2AB- DBos2l/5si n a3 = 1 + 4BC 4BCJOS 3 = 1 + 4(6 2 ：5cos a ) 4 cos 3-cos 卩=25 8 5cos a4 ,'5sin a = 25 20sin( a + 0 )(其中 sin 0 = h-5, cos0 =¥)，所以当 Sin( a +0 ) = 1，即 sina=F, cos %=等时，AD取得最小值

6、5,所以AD的最小值为："5.答案：,;54.椭圆E:2 2x Vg+ b= 1( a>b>0)的右顶点为 A,右焦点为F,上、下顶点分别是 B, C,|AB=；'7,直线CF交线段AB于点D,且|BD = 2| D*(1)求E的标准方程；是否存在直线I，使得I交椭圆于M N两点，且F恰是 BMN勺垂心？若存在,I的方程；若不存在，说明理由.解：法一：由题意知 F(c, 0) , A(a, 0) , B(0 , b),C(0，- b),所以直线AB的方程为x+y = 1 a 十 b '，直线CF的方程为=1,x Va 十 b 1，由x V 1一匚=1 c

7、b2ac得，XD=五2 2所以椭圆e的标准方程为丁+3 = j法二：如图，设椭圆 E的左焦点为 G连接BGA A因为 |BD = 2| DA，所以 BD = 2 DA,> 2 >2ac 2所以 BD = 31 BA|，得齐c=3a,解得 a= 2c,所以 b= :a2-c2= ,'3c.因为 | AB = ；'7,g卩；'a2 + b2 =戸，所以,% = ；'7,所以 c= 1, a= 2, b= ;3,由椭圆的对称性得 BG/CFIGF =I FA|BD =I DA假设存在直线l，使得F是厶BMN垂心，连接BF,并延长，连接MF并延长，如l的方程

8、为y=Mx1,屮),N(X2, y2),y=#x+ m消去 y 得 13x2 + 8 ：3m灶 12( ni 3) = 0,即IGF = 2| FA| ,由题意知F(c, 0)，则| GF = 2C,| FA = a c,所以 2c= 2( a c)，得 a= 2c, 所以 b= .;a2 c2 = ：3c.因为 | AB = ,-'7,即；'a2 + b2= ：7, 即 :'7c= .'7,所以 c= 1, a= 2, b= 32 2所以椭圆e的标准方程为x+y = i.43图，贝U BFL MN MFL BN由知，B（0 , ：3）,尺1,0）,所以直线BF

9、的斜率kBF= 3,易知I的斜率存在，设为 k，贝U kBF k =由 A = (8山624X 13X 12( n1 3)>0 得,393<m<,393X1+ X2= 1312X1X2=m313> >因为 MFL BN 所以 MF BN = 0,因为 MF = (1 X1, y" , BN= (X2, y2 占),所以(1 x"x2 y1(y2 =0,即(1 X1)X2 3 (ii)当 0<aw §时，Aw 0,所以 u( x) > 0, f' ( x) > 0,所以f (X)的单调递增区间为(一8,+8 )

10、.2a- 2a2- a 2a+J 2a2- a当 a<0 时，A >0,令 u(x) = 0,得 X1 =:, X2=:,且 X2<X1,aa所以当 x (x2, xj 时，u(x)>0 , f'(x)>0,+ m _33X2 + m + :'3 X1 + m = 0,333整理得1晋m(X1 + X2)沁m+330,1(i )当 a>2时,整理得 21mi- 5寸3mv 48= 0, 解得 m=3或 m=- 63.当m=3时，M或N与B重合，不符合题意，舍去;当m=-晋时，满足-拧罟.所以存在直线l，使得F是ABMN勺垂心，l的方程为y=#

11、x-苇”.5.已知函数 f(x) = (ax1 当 x ( -8, X2) U (X1,+8)时，u(x)<0 , f ' (x)<0 , + 2ax + 1)ex 2.讨论f(x)的单调区间;1 若a<-7，求证：当x0时，f(x)<0.解：(1)因为 f(x) = (ax2 + 2ax + 1)ex-2,所以 f '(x) = (ax2 + 4ax+ 2a+ 1)ex,令 u(x) = ax2+ 4ax+ 2a+ 1, 当a= 0时，u(x)>0 , f '(x)>0，所以f (x)的单调递增区间为(8,+ ).2 当 a>

12、0 时，A = (4 a) 4a(2 a+ 1) = 4a(2a-1),A >0,令 u(x) = 0,得 X1 =-羽- a, X2= - 2aJ 2a - a，且 X1<X2. a所以当 x ( -8, X1)U (X2,+8)时，u(x)>0 , f'(x)>0,当 x (X1, X2)时，u(x)<0 , f ' ( x)<0 ,所以f(x)的单调递增区间为 一8, - 2a- 2a - a ,- 2a+ 2a - a, +8 ，单调aa递减区间为 一 2a-v2a一a 一2a+p2a一a.所以f(x)的单调递增区间为-2a+2a-2

13、a2-aa，单调递减区间为一a 'aoo2a+ ；2a aa2a2a2 a+(oa> 2时，f(x)的单调递增区间为oo2a2a2 a2a+2a2 a，单调递减区间为2a2a2 a 2a+2a2 aa ，a1当Ow aw 时，f (x)的单调递增区间为(o,+o )；当a<0时，f(x)的单调递增区间为-2a+ .洁-a, - 2a- ,2孑a ,单调递减区间为aa2a+# 2a2 a 2a 寸 2a2 a a，a ，证明：f(x) = (ax2 + 2ax+ 1)ex 2= aex(x2+ 2x) + ex 2,令 0 (a) = ae (x + 2x) + e 2,x 2显然当 x>0 时，e (x + 2x) >0,1 1所以当 a< 7时，0 (a)< 0 7x 2 ce x + 2x x+ e 2.所以要证当x>0时，f(x)<0，只需证当x>0时,x2小e x + 2x7x+ e 2w 0,即证当 x>0 时，ex(x2 + 2x 7) + 14>0.令 g(x) = e