2022年1978年全国统一高考数学试卷

1、一，解答题（共 11 小题,满分 120 分）1（4 分）将多项式 x5y9xy5 分别在以下范畴内分解因式： （ 1）有理数范畴.（2）实数范畴.（3）复数范畴2（4 分）已知正方形的边长为 a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积3（4 分）求函数的定义域4（4 分）不查表求 cos80 °cos35 °+cos10 °cos55 °的值5（4 分）化简：6（14 分）已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数对于不同范畴的 k 值,分别指出方程所代表图形的内形,并画出显示其数量特点的草图7（14 分）如图,AB 是半

2、圆的直径, C 是半圆上一点, 直线 MN 切半圆于 C 点,AM MN 于 M 点,BNMN 于 N 点, CD AB 于 D 点 求证：（1）CD=CM=CN .（ 2） CD2=AM.BN b8（12 分）已知： 18 =5, log189=a（a2）求 log36459（20 分）已知ABC 的三内角的大小成等差数列, tgAtgC=求角 A ,B,C 的大小,又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于,求三角形各边 a,b,c 的长（提示：必要时可验证）10（ 20 分）已知： ,为锐角,且 3sin2+2si2n =1, 3sin2 2sin2 =0求证：11（ 20 分）已知函数 y

3、=x 2+（2m+1）x+m21（m 为实数）（ 1） m 是什么数值时, y 的极值是 0？（2） ）求证：不论 m 是什么数值,函数图象（即抛物线）的顶点都在同一条直线L 1 上可编辑资料 - - - 欢迎下载参考答案与试题解析一，解答题（共 11 小题,满分 120 分）1（4 分）将多项式 x5y9xy5 分别在以下范畴内分解因式： （ 1）有理数范畴.（2）实数范畴.（3）复数范畴考点：虚数单位 i 及其性质专题：运算题分析：直接依据（ 1）有理数范畴.（2）实数范畴.（ 3）复数范畴的要求,分解因式即可 解答：解：（ 1） x5y 9xy5=xy （x2+3y2）（x23y2）（

4、2） x5y 9xy5=xy （x2+3y2）（x+y）（ xy）（ 3） x5y 9xy5=xy （x+yi ）（xyi ）（x+y）（ xy）点评：此题考查实数系与数系的扩充,考查同学的基础学问,是基础题2（4 分）已知正方形的边长为 a,求侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长的直圆柱体的体积考点：棱柱，棱锥，棱台的体积 专题：运算题.综合法分析：由题设,设圆柱体的半径为 r,由于侧面积等于这个正方形的面积,高等于这个正方形边长, 即 2r=a,由此方程求得半径,再由直圆柱体的体积公式求体积即可解答：解：设底面半径为 r,直圆柱体的高为 h由于侧面积等于这个正方形的面积,高等于

5、这个正方形边长所以有底面周长 2r=a,h=a,解得,由公式圆柱体体积 V=r2h=答：直圆柱体的体积的体积是点评：此题考查正方形的面积公式与圆柱体的侧面积公式以及体积公式,是考查基本公式把握娴熟程度的一道题3（4 分）求函数的定义域考点：对数函数的定义域.函数的定义域及其求法 专题：运算题分析：使函数的分母不为 0,对数的真数大于 0,偶次根式被开放数非负解答：解：由题意知： x10 且 2 x 0解得 1x2故函数定义域为（ 1, 2）点评：此题求将对数，根式，分式复合在一起的综合型函数的定义域,留意取交集4（4 分）不查表求 cos80 °cos35 °+cos10

6、°cos55 °的值考点：两角和与差的正弦函数可编辑资料 - - - 欢迎下载专题：运算题分析：先利用诱导公式使原式等于 sin10°cos35°+cos10°sin35°,进而利用两角和公式化简整理, 最终利用特别角求得答案解答：解：原式 =sin10°cos35°+cos10°sin35°=sin（ 10°+35°）=sin45°=点评：此题主要考查了两角和公式,诱导公式的化简求值属基础题5（4 分）化简：考点：根式与分数指数幂的互化及其化简运算分析：依据指数的

7、运算性质逐步进行化简,求值即可得到答案 解答：解：原式 =2.=点评：指数式的化简关键是娴熟把握指数的运算性质：ar.as=ar+s（a0,r,sR）（ ar）s=ar.s（a 0, r,sQ）（ a.b）r=ar.br（ a 0, b 0, rQ）6（14 分）已知方程 kx2+y2=4,其中 k 为实数对于不同范畴的 k 值,分别指出方程所代表图形的内形,并画出显示其数量特点的草图考点：圆锥曲线的共同特点专题：运算题分析：（ 1）k=1,方程的图形是圆半径为2,当 k1 且 k时,方程的图形是椭圆,中心在坐标原点, 长轴在 y 轴上.当 1k0 时方程的图形是椭圆,中心在坐标原点,长轴在x

8、 轴上（2） ） k=0 时,方程为 y2=4,图形是两条平行于 x 轴的直线 y=±2（3） ） k0 时,这时图形是双曲线,中心在坐标原点,实轴在y 轴上,解答：解：（ 1） k 0 时,方程的图形是椭圆,中心在坐标原点,此时又可分为：k 1 时,长轴在y 轴上,半长轴 =2,半短轴 =. k=1 时,为半径 r=2 的圆. k1 时,长轴在 x 轴上,半长轴=,半短轴 =2（2） ） k=0 时,方程为 y2=4,图形是两条平行于 x 轴的直线 y=±2 如图：可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） ） k 0 时,方程为,这时图形是双曲线,中心在坐标原点,实轴在y

9、轴上, 如图：点评：此题主要考查了圆锥曲线的共同特点属基础题7（14 分）如图,AB 是半圆的直径, C 是半圆上一点, 直线 MN 切半圆于 C 点,AM MN 于 M 点,BNMN 于 N 点, CD AB 于 D 点 求证：（1）CD=CM=CN .（ 2） CD2=AM.BN 考点：与圆有关的比例线段专题：证明题分析：（ 1）第一依据题中圆的切线条件得二组角相等,再依据全等三角形的判定定理得两三角形全等,从而证得线段相等.（ 2）在直角三角形 ABC 中应用射影定理求得一个线段的等式,再依据线段的相等关系可求得CD2=AM.BN 解答：证明：（1）连接 CA ，CB,就 ACB=9&#

10、176;0 ACM= ABC , ACD= ABC ACM= ACD AMC ADC CM=CD 同理 CN=CD CD=CM=CN（ 2） CDAB ,ACD=9°0 CD2=AD.DB由（ 1）知 AM=AD , BN=BD CD2=AM.BN 点评：此题考查与圆有关的切线性质，全等三角形的判定以及平面几何的射影定理,属简洁题8（12 分）已知： 18b=5, log189=a（a2）求 log3645考点：对数的运算性质分析：依据指数与对数式的互化,可先将18b=5 化为 log185=b,然后代入即可得到答案 解答：解： 18b=5, log185=b可编辑资料 - - -

11、欢迎下载点评：此题主要考查指数式与对数式的互化以及对数的换底公式确定要把握对数的运算法就9（20 分）已知ABC 的三内角的大小成等差数列, tgAtgC=求角 A ,B,C 的大小,又已知顶点 C 的对边 c 上的高等于,求三角形各边 a,b,c 的长（提示：必要时可验证）考点：同角三角函数基本关系的运用.等差数列的性质.三角形中的几何运算 专题：运算题分析：ABC 的三内角的大小成等差数列, 求出 B=60°,A+C=120°,利用两角和的正切, 求出 tgA+tgC然后求出 tgA,tgC,求出 A, C 的值,利用任意角的三角函数求出a, b, c可编辑资料 - -

12、 - 欢迎下载解答：解： A+B+C=18°0又 2B=A+C B=60°,A+C=120°可编辑资料 - - - 欢迎下载而 tgA+tgC=（ 1tgAtgC ） tg（A+C ）=（ 2）由（ 1）（ 2）可知 tgA, tgC 是=0 的两根解这方程得： x1=1,x2=2+设 AC,就得 tgA=1, tgC=2+A=45°,C=120° 45°=75°又知 c 上的高等于 4, a=8.b=.c=AD+DB=bcos45°+acos60 °=4点评：此题考查同角三角函数基本关系的运用, 等差数

13、列的性质, 三角形中的几何运算, 考查运算才能,是中档题10（ 20 分）已知： ,为锐角,且 3sin2+2si2n =1, 3sin2 2sin2 =0求证：考点：同角三角函数基本关系的运用专题：证明题分析：欲证：往往通过转化为证明其某一三角函数值是一个特别值得到证明,利用题中的两个关系,我们先求sin（ +2）的值即可解决问题解答：解：由 3sin2+2sin2 =,1 得： 3sin2=cos2sin22+co2s2 =9si2n co2s +9si4n 9sin2 =1sin =（ 为锐角）sin（+2）=sin cos2+cossin2 （=s3isnin2）+cos（3sin co）s =3sin （sin2+co2s） =3sin =1点评：此题主要考查了同角三角函数基本关系的运用以及二倍角公式,证明的关键是求出 sin（+2）是一道三角变换的中档题可编辑资料 - - - 欢迎下载11（ 20 分）已知函数 y=x 2+（2m+1）x+m21（m 为实数）（ 1） m 是什么数值时, y 的极值是 0？（ 2）先求出函数图象抛物线的顶点坐标,依据点的横坐标与纵坐标消取参数迹,再进一步验证即可m 即可得顶点轨解答：解：（ 1）用配方法得：的微小值为所以当极值为 0 时,（ 2）函数图象抛物线的顶点坐标为即,二式相减得：,此即各抛物线顶点坐标