复变函数课后部分习题解答

1、1.2求下列各式的值。（1）(-i)解：-i=2cos( -30)+isin(-30) =2cos30- isin30(-i)=2cos(305)-isin(305) =2(-/2-i/2) =-16-16i 1.2求下列式子的值（2）（1+i）解：令z=1+i 则x=Re（z）=1，y=Im（z）=1r=tan=1x0,y0属于第一象限角=1+i=（cos+isin）（1+i）=（）（cos+isin） =8（0-i） =-8i 1.2求下式的值(3)因为-1=（cos+sin）所以=cos(/6)+sin(/6) (k=0,1,2,3,4,5,6). 习题一1.2（4）求(1-i)的值。解

2、：(1-i) =(cos-+isin-) =cos()+isin() (k=0,1,2) 1.3求方程+8=0的所有根。解：所求方程的根就是w=因为-8=8（cos+isin）所以= cos(+2k)/3+isin(+2k)/3 k=0,1,2其中=2即 =2cos/3+isin/3=1i =2cos(+2)/3+isin(+2)/3=-2 =2cos(+4)/3+isin(+4)/3= 1i 习题二1.5 描出下列不等式所确定的区域或者闭区域，并指明它是有界还是无界的，单连通还是多连通的。(1) Im(z)0 解：设z=x+iy因为Im(z)0，即，y0而所以，不等式所确定的区域D为：不包括

3、实轴的上半平面。由所确定的区域可知，不存在某一个正数M，使得确定区域内的每个点z满足，所以该区域是无界的。在该区域D内任意作一条简单闭曲线，该曲线的内部总是属于D区域，所以区域D为单连通区域。综上所述，该不等式确定的区域是不包含实轴的上半区域，是无界的单连通区域。 描出下列不等式的区域或闭区域，并指出它是有界还是无界的，单连通的还是多连通的。1.5（2）|z+1|4解：该不等式的区域如图所示：y1 5 x 圆（x-1）2+y2=4的外部（不包括圆周），无界的，为开的多连通区域 1.5.描出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的0Re(z)1由直线X=0

4、与X=1所围成的带形区域，不包括两直线在内，是无界的、开的单连通区域。 1.5描述下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单连通的还是多连通的：（4）解：即为由圆周与所围成的环形闭区域（包括圆周），是有界多连通闭区域。如图：已知映射w=z3， 求（1） 点z1=i，z2=1+i，z3=+i，在w平面上的像。解：z=rei，则w=z3r3ei3。于是1 Z1=i=eei2,z2=1+i=2(cos4+isin4)= 2ei4Z3=3+i=2（32+i12）=2(cos6+isin6)=2 ei6经映射后在w平面上的像分别是 W1=ei33=-i, W2=232e34=22（-

5、12+i12）=-2+i2， W3=23ei2=8i第47页3.5计算下列各题（1）01zsinzdz=01(-zdcosz) =-(zcosz)z=1 -(zcosz)z=0 - 01cosz dz ) =cos1-sin1注：因输入法问题。故特设定z的共轭负数为z*,除号为/1.7：设f（z）=1/z2 (z/z*z*/z) (z0)当z0时，极限不存在解法一：首先假设zr ei 则有：(z/z*z*/z) r2 ( e-2 i- e2 i )/ r2 -2isin2 可见是随发生变化而变化的变量 所以根据极限必须为常数可知 当z0时，极限不存在 是以此题得证。解法二：首先假设zx+iy

6、则(z/z*z*/z) (z*2 z2 )/x2 y2 -4ixy/ x2 y2 所以可见，当z0时，即当x0, y0时 因为有lim (x0, y0)xy/ x2 y2 极限不存在 所以当z0时，f（z）=1/z2 (z/z*z*/z)的极限不存在 是以此题得证。2.1 利用导数定义推出：（1） (zn)、=nzn-1(n为正整数)； 解 = =(nz+cz+.+c) =nz2.1(2) (1z)=-1z2limz0-1z-z+1zz=limz0-1z(z-z) =-1z2 (2)f(x)=2x3+3y3i解：u=2x3 ，v=3y3 。 , , 上述4个偏导处处连续，但仅当2x2=3y2时

7、C-R方程成立。因而函数只在直线=0上可导，但是在复平面上不解析。 习题2 2.2的第一小题下列函数在何处可导？何处解析？解：在 z 平面上处处连续，且当且仅当2x = 1 时，u,v 才满足C-R 条件，故f (z) = u + i v = x -i y仅在直线 上可导，在z 平面上处处不解析。7.6(2)：求下列函数的傅里叶变换：f(t)=costsint.解：F()=-+sintcoste-itdt =12-+sin2te-itdt =1212i-+(e2it-e-2it)e-itdt =14i(-+e-i-2tdt-+e-i+2tdt =14i2-2-2+2 =i2+2-222以下函数

8、何处可导？何处解析？ f（z）=sinxchy+icosxshy 解： u=sinxchy v=cosxshy 可得 并且上述四个一阶偏导数均连续，所以f(z)在复平面内处处可导，从而在复平面内处处解析。25页 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数(1) (z-1)5解：由题可知(z-1)5 处处解析 其导数f(z)=5(z-1)4 25页 习题二 2.3指出函数的解析性区域并求其导数 （2）解：设，则令 则 又令 即 所以在复平面内处处解析，即在复平面内处处解析，其导数为。题：指出下列函数的解析性区域，并求其导数；（）（）-解：令得和所以该函数除和外在复平面上处处解析；该函数的导数为

9、：（）-25页： 习题二 2.3指出下列函数的解析性区域，并求其倒数。（4）.az+bcz+d (c d中至少有一个不为0)解.当c=0时，函数在复平面处处解析；（az+bd）的倒数为ad；当c！=0时：函数除z=-dc 外在复平面处处可导，处处解析；（az+bcz+d）的倒数为acz+d-c（az+b）（cz+d）2=ad-bc（cz+d）2第二章2.4求下列函数的奇点；（1）z+1z(z2+1)解:因为：当z(z2+1)=0;所以 z=0；z2=-1由Z=-1 计m=-1=cos+i sinZ=m=cos+2n2+i sin+2n2 （n=0,1）当n=0时，z=i；当n=1时，z=-i；

10、所以本题奇点分别为0；-i ; i ;2.4 求下列函数的奇点:(2) 解:令原函数分母 即:原函数在处不解析,故原函数的奇点为 2.10求Ln（-i），Ln（-3+4i）和他们的主值。解：Ln（-i）=Ln|-i|+i（arg（-i）+2k）=i（- 2 +2k）=i（2k- 12），k=0，+1，+2， ln（-i）=ln|-i| + i arg（-i）=- i2Ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + iarg（-3+4i）+2k=ln5+i（-arctan43）+2k=ln5-i（arctan43-（2k+1），k=0，+1，+2，ln（-3+4i）=ln|-3+4i| + i ar

11、g(-3+4i)=ln5+i(-arctan43)习题2.12=习题三46页3.1沿下列路线计算积分03+iz2dz ：（1）自原点至3+i 的直线段；解：此直线的参数方程可写成： x=3t，y=t， 0t1， 或 z=3t+it，0t1， z=3t+it，dz =（3+i）dt.于是 03+iz2dz =01（3+i）3t2dt=13（3+i）3 书46页3.1沿下列路线计算积分(2) 自原点沿实轴至，再由铅直向上至解设原点到到到 3.2 试用积分的值，其中C为正向圆周：.解：正向圆周的参数方程为：由公式得：复变函数期中作业 习题三34沿指定曲线的正向计算下列各积分:（1）c ezz-2dz,C:z-2=1;解：由柯西积分公式得 c ezz-2dz=2iez z=2=2ie2 3.4 （4）czdzz-3 , C:|z|=2解：因为 C：|z|=2，被积函数奇点z=3所以 f（z）=zz-3在D内解析所以 czz-3dz=0 习题三3.4（8）cezdz/z5 C:z=1解：取z0=0在C内，f(z)在C内解析所以，原式=