用相频曲线测阻尼系数的探索

1、用相频曲线测阻尼系数的探索用相频曲线测阻尼系数的探索指导教师指导教师 陈乾陈乾10105112 吉新程吉新程“受迫振动的研究”实验 简介简介“受迫振动的研究”实验 简介简介l系统做受迫振动的方程为系统做受迫振动的方程为l在小阻尼条件（在小阻尼条件（ ）下，解为）下，解为l稳定后成为简谐振动稳定后成为简谐振动l其中振幅其中振幅 相位差相位差l可以看出，振幅和相位差都和阻尼系数有关，而且通过可以看出，振幅和相位差都和阻尼系数有关，而且通过计算可以知道阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统计算可以知道阻尼系数越小，共振角频率越接近于系统的固有频率，共振振幅也越大。的固有频率，共振振幅也越大。l因此，振

2、动系统的阻尼系数因此，振动系统的阻尼系数 是描述这样一个振动系统是描述这样一个振动系统振动规律的重要参数，因此有测量的必要。振动规律的重要参数，因此有测量的必要。tmcosdtd2dtd202222)t(cos)at(coseba ta)t(cosb222220b4)(m2202-arctan书中给出的方法书中给出的方法l系统的振幅系统的振幅 ，系统共振（，系统共振（ ）时，得到共振振幅时，得到共振振幅 ，两式相除，并利用，两式相除，并利用弱阻尼弱阻尼 时，共振峰附近时，共振峰附近 的近似的近似处理，得到处理，得到l这样，从幅频曲线上若读出这样，从幅频曲线上若读出 处对应的两个处对应的两个横坐

3、标横坐标 ，带入上式便可得，带入上式便可得 ，这样也就，这样也就计算出了阻尼系数计算出了阻尼系数 222220b4)(m220r2m0b220222220220rb42220002 , 121rb2对书中方法的质疑对书中方法的质疑l在得到最终表达式在得到最终表达式 的过程中，利用的过程中，利用了弱阻尼了弱阻尼 时，共振峰附近时，共振峰附近 的近似，但事实上，从实验的图线可以看出，的近似，但事实上，从实验的图线可以看出，对应对应 的的 并不是很靠近共振峰，也并不是很靠近共振峰，也就是说近似条件不能很好的满足。就是说近似条件不能很好的满足。l于是我们打算探索新的更精确的计算阻尼系于是我们打算探索新

4、的更精确的计算阻尼系数数 的方法。的方法。2220002 , 121rb新方法的探索新方法的探索猜想猜想l书中的方法实际上利用了幅频曲线书中的方法实际上利用了幅频曲线 中中的信息来计算的信息来计算 。但，实验中得出的相频曲线同样含。但，实验中得出的相频曲线同样含有有 的信息。的信息。l因此，我们猜想，可以利用相频曲线因此，我们猜想，可以利用相频曲线 来来计算阻尼系数计算阻尼系数 。222220b4)(m2202-arctan新方法的探索新方法的探索模仿模仿l在探索的初期，我们模仿书中的处理方法，也类似的计在探索的初期，我们模仿书中的处理方法，也类似的计算算 l发现难以化简。考虑到发现难以化简。

5、考虑到 的数学表达式的特点，我们改的数学表达式的特点，我们改成计算：成计算： l这样对于相频曲线中这样对于相频曲线中 的点，带入上式便可得的点，带入上式便可得到到 ，似乎得到了新的方法！但操作时才意识，似乎得到了新的方法！但操作时才意识到到 ，根本无法读出满足，根本无法读出满足 的点。的点。0r1tantan220220r2arctan2-arctan002),(2202202220220r)(22)(222-tantan202220r1tantan202rtan新方法的探索新方法的探索改造改造l为了克服为了克服 发散的问题，我们试想可以计发散的问题，我们试想可以计算算 l如此一来，如此一来，

6、 不会发散，就可以读数了。但不会发散，就可以读数了。但此时的公式太复杂，无法得到关于此时的公式太复杂，无法得到关于 的简单的简单的表达式。的表达式。l此时，问题陷入了困境此时，问题陷入了困境rtan220220r2arctansin2-arctansinsinsin1sinr新方法的探索新方法的探索反思反思l稍加思考就会发现，出现困难的原因在于我们照搬稍加思考就会发现，出现困难的原因在于我们照搬了书中的处理思想。其实书中计算了书中的处理思想。其实书中计算 是因为是因为 的的表达式中有表达式中有m这个不定参数，所以必须求比值以消这个不定参数，所以必须求比值以消去去m。l而我们研究的相频曲线中的表

7、达式中只有而我们研究的相频曲线中的表达式中只有 无不定参数，何不直接从无不定参数，何不直接从 入手呢？况且入手呢？况且 一直一直趋于趋于 ，并不含关于，并不含关于 的信息，因此不必像书上的信息，因此不必像书上一样，计算一样，计算l因此我们决定直接利用因此我们决定直接利用 的表达式计算的表达式计算 rbb0r2r新方法的探索新方法的探索试探试探l通过上面的分析，我们直接写出通过上面的分析，我们直接写出 的表达式：的表达式： 将这个公式写成将这个公式写成 的形式：的形式： 设设 进一步化为：进一步化为：l仿照书中方法，令仿照书中方法，令 ，得，得 （负值舍（负值舍去）。带入上式，化为去）。带入上式

8、，化为 ，这样，读出，这样，读出 的点对应的的点对应的 ，代入上式，即求得，代入上式，即求得 2202-arctan)f(0200012arctanx020 x1x2arctanxx12215x2tan0215x0新方法的探索新方法的探索修正修正l读数时，又遇到了困难，读数时，又遇到了困难， 超出了本超出了本次实验记录的数据范围。其实这只是小问题，次实验记录的数据范围。其实这只是小问题，我们可以重新选择我们可以重新选择x，使其在范围之内。为了，使其在范围之内。为了不盲目寻找，可以用待定系数法。令不盲目寻找，可以用待定系数法。令 （ ），得到），得到 ，由，由 得到得到 ，综上得，综上得 。l但

9、这只是一个范围，到底取什么样的数据点可但这只是一个范围，到底取什么样的数据点可以使得方法最优呢？以使得方法最优呢？ 61803. 02150 xx12024x2)0343. 1 ,9570. 0(x )0879. 0 ,-0.067()0879. 0 , 0(新方法的探索新方法的探索优化优化l如何使计算结果更精确呢？下面略作分析：如何使计算结果更精确呢？下面略作分析：l将将 代入代入 ，得到，得到l其中其中 、 为定值，因此，为定值，因此， 的计算误差由的计算误差由 的读数误的读数误差决定。差决定。l下面定量化分析：对上式求全微分，下面定量化分析：对上式求全微分， ，可见在读数误差可见在读数误

10、差 不变时，不变时， 与与 成反比。因此最成反比。因此最好选这样的好选这样的 ，使由，使由 求得的求得的x所对应的所对应的 尽量尽量大，再考虑到本次实验中各原始数据（如大，再考虑到本次实验中各原始数据（如 ）的记录）的记录范围，在本次实验中初步决定取范围，在本次实验中初步决定取l至此，问题已经解决，已经得出用相频曲线计算至此，问题已经解决，已经得出用相频曲线计算 的的方法。方法。xx1220 x1x2arctan2tan00dcos12d20dd2cosxx12cos0 0000150,16030,20新方法的探索新方法的探索总结总结l将用相频曲线求将用相频曲线求 的新方法步骤总结如下：的新方

11、法步骤总结如下： 1 . 利用实验中测出的数据点作出相频曲线利用实验中测出的数据点作出相频曲线 取多个测量点（这里以两个为例），使其对应的取多个测量点（这里以两个为例），使其对应的 落落在在 中，读出中，读出 、 ， 、 。 2 . 将将 和和 分别代入公式分别代入公式 3 . 求得求得 、 ，取平均作为，取平均作为 的近似值。的近似值。00000150,16030,20121x2x11,x22,x2x1xtan0212221实验验证实验验证l用实验测得的数据（此处省略）进行验证：用实验测得的数据（此处省略）进行验证：lX1=0.9650， 得得lX2=1.0250， 得得l用书中的方法求得用

12、书中的方法求得017.22)059(s. 011025 .150)s (055. 012)s (057. 01)s (056. 01讨论讨论l法一在求解时，运用了多处近似，且近似条件并不能法一在求解时，运用了多处近似，且近似条件并不能很好地满足，而新方法没有作近似，理论上来说，应很好地满足，而新方法没有作近似，理论上来说，应该更精确。该更精确。l此方法仍有改进的空间，设想如下：此方法仍有改进的空间，设想如下： (1)利用更具体的分析，得到更好的利用更具体的分析，得到更好的 ，可望得到更精，可望得到更精确的结果。确的结果。 (2)借助借助matlab，利用所有的数据，拟合出曲线，利用所有的数据，拟合出曲线 从而定出参数从而定出参数 。20 x1Txta