向量代数与空间解析几何

1、.目 录第7章 向量代数与空间解析几何1§1 向量及其线性运算1一、向量的概念1二、向量的线性运算2习题 7-14§2 向量的坐标5一、空间直角坐标系与点的坐标5二、向量的坐标表示及其线性运算的坐标表示7三、向量的方向角与方向余弦10习题 7-211§3 向量与向量的乘法运算12一、向量的数量积12二、向量的向量积14三、向量的混合积16习题 7-318§4 平面及其方程18一、平面的方程19二、两平面的夹角及点到平面的距离21习题 7-423§5 空间直线及其方程23一、空间直线方程23二、两空间直线的夹角25三、直线与平面的夹角及平面束26

2、习题 7-528§6 空间曲面和空间曲线29一、曲面及其方程29二、空间曲线及其方程34三、二次曲面及其方程简介37习题 7-639总 习 题 七40第8章 多元函数微分学及其应用42§1 多元函数的极限与连续42一、平面点集与维空间42二、二元函数的概念45三、二元函数的极限47四、二元函数的连续50习题 8-152§2 偏导数与全微分53一、偏导数53二、全微分60习题 8-267§3 多元函数微分法69一、复合函数微分法69二、隐函数微分法77习题 8-383§4 方向导数与梯度85一、方向导数85二、梯度88习题 8-489§

3、5 多元函数微分学在几何上的应用90一、空间曲线的切线与法平面90二、曲面的切平面与法线95习题 8-598§6 多元函数的极值与最值99一、多元函数的极值99二、多元函数的最值103三、条件极值104习题 8-6110§7 二元函数的泰勒公式110习题 8-7113总 习 题 八113第9章 重积分115§1 二重积分的概念及性质115一、两个实例115二、二重积分的定义117三、二重积分的几何意义118四、二重积分的性质118习题 9-1120§2 二重积分的计算121一、直角坐标系下二重积分的计算121二、极坐标系下二重积分的计算128习题 9-2

4、137§3 三重积分139一、三重积分的概念139二、直角坐标系下三重积分的计算141三、柱面坐标系下三重积分的计算145四、球面坐标系下三重积分的计算147习题 9-3149§4 重积分的应用151一、几何应用151二、物理应用154习题 9-4161总 习 题 九162第10章 曲线积分与曲面积分164§1 对弧长的曲线积分164一、对弧长的曲线积分的概念与性质164二、对弧长的曲线积分的计算166习题 10-1170§2 对坐标的曲线积分171一、对坐标的曲线积分的概念与性质171二、对坐标的曲线积分的计算174三、两类曲线积分之间的联系178习题

5、 10-2180§3 格林公式及其应用182一、格林公式182二、平面上曲线积分与路径无关的条件187三、全微分准则190习题 10-3194§4 对面积的曲面积分195一、对面积的曲面积分的概念与性质195二、对面积的曲面积分的计算197习题 10-4200§5 对坐标的曲面积分201一、对坐标的曲面积分的概念与性质201二、对坐标的曲面积分的计算204三、两类曲面积分之间的联系207习题 10-5210§6 高斯公式与斯托克斯公式211一、高斯公式211二、斯托克斯公式214三、物理应用218习题 10-6220总 习 题 十222第11章 无穷级数

6、226§1 常数项级数的概念及性质226一、常数项级数的概念226二、收敛级数的基本性质229习题 11-1232§2 常数项级数的敛散性233一、正项级数及其敛散性233二、交错级数及其敛散性244三、绝对收敛与条件收敛246习题 11-2249§3 幂级数250一、函数项级数的概念250二、幂级数及其敛散性251三、幂级数的运算及其和函数的性质255习题 11-3259§4 函数展开为幂级数259一、泰勒级数260二、函数展开为幂级数262习题 11-4269§5 函数的幂级数展开式的应用269一、函数值的近似计算269二、计算定积分的近似

7、值271三、欧拉公式272习题 11-5273§6 函数展开为傅里叶级数273一、周期函数的傅里叶级数274二、非周期函数的傅里叶级数283习题 11-6287总 习 题 十 一287第12章 常微分方程290§1 微分方程的基本概念290一、微分方程的概念290二、微分方程的解292三、初值问题292四、积分曲线293习题 12-1293§2 一阶微分方程294一、变量可分离方程294二、齐次方程297三、一阶线性方程298四、全微分方程302习题 12-2306§3 二阶微分方程306一、可降阶的二阶方程307二、二阶线性方程解的结构309三、二阶常

8、系数线性齐次方程的解法311四、二阶常系数线性非齐次方程的解法313五、特殊的二阶变系数线性方程欧拉方程318习题 12-3319§4 高于二阶的微分方程319一、方程319二、方程320三、高阶线性方程解的结构321习题 12-4321总 习 题 十二321习 题 参 考 答 案323#；第7章 向量代数与空间解析几何像平面解析几何一样，空间解析几何通过建立空间直角坐标系，把空间的几何图形与图形上的点所满足的代数方程对应起来，从而利用代数工具来研究空间几何问题本章内容对于学习多元函数微积分学是比较重要的我们首先介绍向量的相关概念及运算，然后利用向量来研究平面和空间直线的方程，最后介

9、绍空间曲面和空间曲线的有关知识§1 向量及其线性运算一、向量的概念客观世界中有这样的一种量，比如质量、时间、体积等，它们只有大小没有方向，这样的量称作标量大量实际问题中，也还存在另外一种量，例如位移、速度、力、力矩等，它们既有大小又有方向，这样的量称作向量图7-1通常用有向线段来表示向量，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向如图7-1，起点为，终点为的有向线段表示一个向量，我们把这个向量记作有时也用一个黑体字母来表示向量，比如、等等向量的共性是所有的向量都有大小和方向，数学上讨论的向量并不涉及它的起点，即与它的起点位置无关，这类向量也称为自由向量两个向量与，只要

10、大小相等，方向相同，都看作是相同的向量，记作如果一个向量在保持大小和方向不变的条件下经过平行移动后可以与另外一个向量重合，那么这两个向量就是相等的，如图7-2，在平行四边形中，向量 向量或的大小也称作向量或的模，记作或模为零的向量称为零向量，记作或零向量没有确定的方向，它的方向是任意的模等于的向量叫做单位向量设两个非零向量与，把它们的起点放在同一点，它们的终点分别是和，如图7-3，则有向线段与所形成的度数不超过的夹角称为向量与的夹角，记作规定零向量与任意非零向量的夹角是任意的如果，则称图7-3 图7-2与垂直，记作如果或者，则称与平行，也称与共线，记作二、向量的线性运算1向量的加法和减法我们知

11、道，两个力的合力按照平行四边形法则确定，力是一种向量，向量的加法运算与力的合成类似，按照如下法则确定：设两个不共线的向量与，如图7-4，任意取一点，作，以，为邻边作平行四边形，则向量是向量与的和图7-4 图7-5在图7-4中，于是我们得到求两个向量和的三角形法则：设两个向量与，如图7-5，作向量，再以向量的终点为起点作向量，则向量即是向量与的和三角形法则对于两个共线的向量也是适用的由向量加法的三角形法则，我们可以对多个向量进行求和，比如，我们只要先作出第一个向量，然后按照先后顺序，将前一个向量的终点作为后继向量的起点，依次作出其余的向量，直到作出最后一个向量，那么以向量的起点作为起点，以向量的

12、终点作为终点的有向线段就是，见下图7-6图7-6 图7-7与向量大小相同方向相反的向量称为向量的负向量，记作我们规定向量与的差，因此由向量求和的三角形法则，我们可以得到，见图7-7从图上不难发现，的起点是的终点，的终点是的终点，也即若把向量与的起点放在同一点，那么由向量的终点指向的终点的有向线段就表示由图7-5和图7-7，以及三角形三边之间的关系，不难得到下面的结论：；向量的加法有下列运算律：（1）交换律 ；（2）结合律 由图7-4容易验证交换律是成立的，下面验证结合律如图7-8所示，可知图7-8，；因此结合律也成立2向量与数的乘法设是一个实数，是一个向量，规定与的乘积是一个向量，它的模，并且

13、当时的方向与的方向相同，当时的方向与的方向相反，当时这样规定的运算也简称为向量的数乘运算与非零向量同向的单位向量称为的单位向量，通常记作由向量与数的乘法规则可知，并且向量与实数的乘法运算满足下面的运算律：（1）结合律 ；（2）分配律，向量的加减法运算和向量的数乘运算统称为向量的线性运算注意到向量与平行，我们有下面判断两个向量平行的充要条件定理1 设向量是非零向量，则向量与向量平行的充分必要条件是：存在实数，使得证根据向量的数乘运算规则，充分性是显然的，下面证明必要性设，如果与同向，取实数，那么，即与大小相同，又与同方向，因此如果与方向相反，则取实数，那么，而且与方向相同，因此证毕例1 利用向量

14、证明三角形中位线定理证如图7-9，在中，、是、上的中点，因此，图7-9注意到，因此，也就是，且习题 7-11什么是单位向量，什么是零向量？2如果，那么吗？如果，那么成立吗？3已知平行四边形两对角线向量为与，利用与表示平行四边形四边的向量4利用向量证明对角线互相平分的四边形是平行四边形5向量与满足什么条件时，？6设，则？§2 向量的坐标本节在引进空间直角坐标系的基础上，介绍空间点的坐标向量的坐标及利用向量的坐标进行向量的线性运算，最后介绍向量的方向角与方向余弦一、空间直角坐标系与点的坐标通过平面直角坐标系，平面上的一个点与一个有序实数对建立了一一对应的关系，从而用代数的方法来解决大量平

15、面几何的问题作为平面直角坐标系的推广，我们引进空间直角坐标系，将空间中的点用一个有序实数组来表示图7-10在空间中取一定点，过该点作三条互相垂直的数轴轴，轴和轴，确定它们的正向符合右手系，也就是当右手的四指从轴正向旋转握向轴的正向时，大拇指的指向就是轴的正向，这样的坐标系称为空间直角坐标系，记作称为坐标原点，轴，轴和轴统称为坐标轴，每两个坐标轴决定的平面称为坐标面，共有三个坐标面，轴与轴确定的平面叫面，另外两个分别叫做面，面，如图7-10所示三个坐标面互相垂直，将空间分为八个部分，每一部分称为一个卦限通常将含有轴，轴和轴正半轴的卦限称为第一卦限，在面的上方依逆时针方向确定第二、第三、第四卦限，

16、第五卦限在第一卦限的下方，第六、第七、第八卦限在面的下方，按照逆时针方向得到这八个卦限常常用罗马数字I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII表示，见图7-11图7-11空间直角坐标系提供了空间位置的参照系统，下面我们就来描述空间点的位置设为空间中的任意一点，过分别作与三条坐标轴垂直的平面，这些平面与三条坐标轴交于三点分别为，设，则空间中的点唯一确定了一个有序实数组；反之，给定一个有序实数组，则可分别在三条坐标轴上得到点，过此三点分别作垂直于轴，轴和轴的平面，这三个平面交于一点，点就是有序实数组唯一确定的点，图7-12见图7-12通过空间直角坐标系，空间中的点与一个有序实数组一一对应称

17、为点的坐标，而数，和分别称为点的横坐标，纵坐标，竖坐标显然，原点的坐标为，面上的点的竖坐标为0，面上点的横坐标为0，面上点的纵坐标为0，轴上的点的坐标为，轴上的点的坐标为，轴上的点的坐标为空间中八个卦限的点的坐标的符号分别为：I、II、III、IV、V、VI、VII、VIII设空间中有两点，我们用点的坐标来表示两点之间的距离图7-13如图7-13所示，过点，分别作垂直于坐标轴的平面，这些平面构成以为对角线的长方体根据勾股定理我们有，因此，两点的距离公式为特别地，点到原点的距离为二、向量的坐标表示及其线性运算的坐标表示前面我们已经用几何方法讨论了向量的概念和线性运算几何方法虽然比较直观，但是不方

18、便计算和解决复杂的问题，因此我们引进向量的坐标表示，也就是用一个有序实数组来表示向量，从而可以用代数方法来进行向量的运算我们先介绍空间一点在直线上和在平面上的投影设为空间中一点，为空间一直线，过点作垂直于直线的平面，平面与直线的交点称为点在直线上的投影(图7-14)设为空间中一点，为空间中一平面，过作垂直于平面的直线，平面与直线的交点称为点在平面上的投影(图7-15)在空间取定一个直角坐标系，设为空间中任意给定的一个向量，将它平移使其起点为坐标原点，终点为，则向量唯一确定了空间一点；反之，设为空间中任意给定的一点，则唯一确定了一个向量于是空间中的所有向量与空间中的所有的点之间建立了一一对应的关

19、系我们把起点为坐标原点的向量称为点的向径，记作图7-15 图7-14直角坐标系中，在轴，轴和轴的正方向上分别取三个单位向量，记作，称为基本单位向量如图7-16，设向量与点的向径相等，并设点在轴，轴和轴上的投影分别为，在面上的投影为由向量的加法可知，而，因此我们称上式为向量按基本单位向量的分解式，分别称为在三个坐标轴上的分向量图7-16由上我们已经看到，通过建立空间直角坐标系，空间中的向量确定了空间中的一个点，以及，这三个有序实数；反过来，我们给定三个有序实数，也可以确定点以及向量，因此向量与有序实数组，一一对应于是我们可用有序实数组，来表示向量，即，称之为向量的坐标表示式，称为向量的坐标利用向

20、量的坐标表示式，我们可以把向量的线性运算转化为数量计算设，则，因此两个向量之间的加减和向量的数乘运算可转化成对应坐标之间的加减以及这个数与对应坐标的数乘运算对于空间中的一般向量，如果每次都要将它平移，使得起点在坐标原点，然后依据终点的坐标来确定向量的坐标，这样不仅麻烦而且也没有必要，下面我们给出向量的坐标表示式设，为直角坐标系中两点，则，因此，向量的坐标等于其终点的坐标减去其起点的坐标显然，两个向量相等当且仅当两个向量对应的坐标相等，根据上一节定理1有下面的结论设向量，且非零，则与平行的充分必要条件是：存在实数，使得，即上式说明，向量与向量的对应坐标成比例，如果分母中有一个为0，则对应的分子也

21、为0，比如，则，同时；如果分母中有两个为0，比如，则，且例1已知两点，以及实数，在点与点的连线上求一点，使得图7-17解 设点的坐标为，则，根据题设可知于是，解得，点称为线段的定比分点当时，可得有向线段的中点坐标，即，三、向量的方向角与方向余弦我们先给出向量的模的坐标表示式设向量，则存在，点的坐标是，根据两点之间的距离公式就有非零向量，与轴，轴和轴正向的夹角称为向量的方向角，分别记作，（规定这三个角都在与之间）；称，为向量的方向余弦下面我们推导方向余弦的计算公式设，如图7-18，为向量的方向角，点在轴，轴和轴上的投影分别为，由立体几何可知，因此， ，注意到，则，因此根据的模的坐标表示式可知，上

22、面三个等式是向量的方向余弦的坐标表示式，不难得出方向余弦满足下面的关系：图7-18另一方面，向量，也即向量的方向余弦构成的向量等于向量的单位向量例2已知，求它的单位向量解，因此的方向余弦，于是的单位向量是习题 7-21求点相对于各坐标面的对称点的坐标2在直角坐标系中，画出下列各点的位置：，3在轴上求与两点和等距离的点4求点到各坐标轴的距离5已知两个力2，-3，1与1，1，3作用于同一点，求要用怎样的力才能使它们平衡6已知两点和，求向量的模，方向余弦7设向量，-2，1，4，-2，2，6，-3，-3，求向量，的坐标8求向量3，1，-4的单位向量9设向量与三个坐标轴所成的方向角都相等，求向量的方向余

23、弦10设，求当时，的值§3 向量与向量的乘法运算本节介绍向量的三种乘法运算：数量积，向量积，混合积一、向量的数量积空间中带有方向的直线称为轴设向量的起点和终点在轴上的投影分别为，如果轴的单位向量是，且，则称数值为向量在轴上的投影，记作轴称为投影轴，称为在轴上的分向量注1向量在轴上的投影是一个数值，不是向量下面我们给出关于向量的投影的几个性质，这些性质的证明请读者自己思考性质1 向量在轴上的投影等于该向量的模乘以它与轴夹角的余弦，即性质2两个向量的和在轴上的投影等于这两个向量在轴上的投影的和，即这个性质也可以推广到有限个向量的情况，即性质3向量与数的乘积在轴上的投影等于该向量在轴上的投

24、影与该数之积，即注2从性质1，我们可看出向量在轴上的投影可以为任意实数，当轴与向量的夹角为锐角时，则投影为正数；当夹角为钝角时，则投影为负数；当夹角为直角时，则投影为0中学阶段我们知道，一个物体在恒力的作用下沿直线的位移是时力所做的功为由此引出两个向量的数量积的概念定义1设向量与的夹角为，称为与的数量积，记作，即数量积的记号用一点来表示，所以数量积也称为点积由定义不难看出，与的数量积是一个数前面提到的力所做的功就是与的数量积，即由数量积的定义我们可以得到下面的结论：（1），并记（2）对非零向量与，当且仅当与的夹角，即我们约定零向量与任意向量都垂直，因此当且仅当根据以上结论，我们不难得出：，由投

25、影的性质1，当时，当时，因此又可以写成如下的形式：当时，；当时，向量的数量积满足下面的运算律：（1）交换律，（2）分配律，（3）数乘结合律按照定义，我们很容易验证交换律是成立的下面我们验证分配律，数乘结合律可以仿照验证当时，左右两边的数量积都为0当时，因此分配律成立由数量积的运算律我们来推导向量的数量积的坐标表示式设，则也就是说，两个向量的数量积等于两个向量的对应坐标相乘再相加因此，两个向量与垂直的充要条件是由于，其中，当与均为非零向量时，我们可以得到两个向量夹角余弦的坐标表示式：例1 已知物体在力（单位为牛顿）的作用下从点移动到点（长度单位为米），则力作了多少功？解 由题设可知，因此（焦耳）

26、所以力作了5焦耳的功例2 已知 ，与夹角为，求解因此例3 已知三点，求解因为向量，所以，于是例4 求向量在上的投影解由，可得二、向量的向量积设是一根杠杆，为支点，力作用于这根杠杆的点处，与的夹角为，由力学规定，对支点的力矩是一个向量，并且的大小，的方向垂直于和所确定的平面，且与和满足右手系，即右手四指从握向方向时，拇指所指的方向就是的方向由此可见，力矩是由两个已知向量与所确定的，现实中还有很多与力矩类似的情况，把它们的共性抽象出来，就得到向量的向量积的概念定义2两个向量与的向量积是一个向量，记作，规定它的模为，规定它的方向垂直于与，且，与构成右手系按照定义，力矩就是与的向量积，即由定义2中关于

27、的规定，我们可以得到下面几个结论：（1）如果以向量与为邻边构成一个平行四边形，那么的模刚好表示这个平行四边形的面积（2）非零向量的充要条件是，即另一方面，我们约定零向量与任何向量都平行，因此向量的充要条件是（3）；特别地，（4），向量的向量积满足下面的运算律：（1）反交换律；（2）数乘结合律；（3）分配律这里我们只验证反交换律不难发现，左右两边的向量的模相等；按照右手法则，右手的四指由转向时拇指的指向与由转向时拇指的指向相反，因此的方向与的方向相反，所以向量积的计算比数量积的计算复杂，不仅要计算模，而且要考虑方向下面我们用向量的坐标来表示向量积，从而解决向量积的计算问题设，则为了便于记忆，可利

28、用行列式将上式表示为利用上式计算，要注意把的坐标写在行列式的第二行，的坐标写在行列式的第三行例5 已知，求与，同时垂直的单位向量解由已知条件可得2，4，-1，2，2，1，根据向量积的定义可知，向量与，同时垂直，而，因此它的模为，于是所求单位向量为，例6 已知的顶点，求的面积解因为1，1，-2，3，2，-2，所以的面积为，而，于是所求面积为三、向量的混合积定义3 设，为三个向量，称实数为三个向量，的混合积，记作即从几何图形上看，如果三个向量，都是非零向量，则混合积的绝对值等于以向量，为棱的平行六面体的体积（图7-20），这个平行六面体的底面积为，高为，其中为与的夹角，则体积如果，成右手系，则与的

29、夹角为锐角，从而，如果，成左手系，则与的夹角为钝角，从而图7-20如果，成右手系，则，与，也同时成右手系，所以混合积，的符号相同，而三个混合积的绝对值都表示以向量，为棱的平行六面体的体积，所以，即，上述结论也称为混合积的轮换不变性若三个向量，平行于同一平面，简称共面，则以它们为棱的平行六面体不存在，从而体积为，因此，反过来，如果，则以，为棱构成的平行六面体体积为，从而，共面因此三个向量，共面的充要条件是由向量积和数量积的计算公式容易推出混合积的计算公式设，则例7 证明，共面证 由于，的混合积，因此，共面习题 7-31判断下列命题是否正确（1）如果，则或（2）如果，且，则（3）2设，求（1），（

30、2），（3），（4）3已知，的模为2，且，求4已知，求向量与向量的夹角5求3，-5，-4在1，-2，-2上的投影6设2，-3，1，1，-1，3，1，-2，0，计算：（1），（2），（3）（4）7设，求8已知3，4，5，求同时垂直于和轴的单位向量9求以，为邻边的四面体的体积§4 平面及其方程空间的平面和直线是空间中最基本的几何图形，是空间解析几何的重要内容之一本节和下节分别讨论如何在空间直角坐标系中建立平面以及直线的方程我们先介绍空间曲面和空间曲线的方程的概念如果（1）曲面上任何点的坐标，满足一个方程，（2）不在曲面上的点的坐标，不满足方程，那么我们称方程为曲面的方程，曲面称为方程所表

31、示的图形我们把空间曲线看成是空间中两张曲面的交线，因此空间曲线上的任意一点如果既在曲面上，又在曲面上，那么空间曲线上的点的坐标，应当满足两个曲面的方程联立的方程组我们称这个方程组为曲线的方程一、平面的方程我们知道，经过一点且垂直于已知直线的平面只有一个，所以要想确定平面的位置，只要知道平面上的一个点以及一条垂直于这个平面的直线下面我们以向量为工具建立平面的方程 如果一个非零向量垂直于一个平面，我们称这个向量为该平面的法向量不难发现，一个平面的法向量有很多，且彼此互相平行图7-21设平面经过一点，且已知平面的一个法向量，见图7-21，下面建立这个平面的方程设是平面上任意一点，则必与的法向量垂直，

32、即，而，因此 （1）当不在平面上时，必定不垂直与，因此的坐标一定不满足方程（1）综上得知方程（1）就是平面的方程方程（1）由平面的一个法向量，以及平面上一点所确定，称为平面的点法式方程例1 已知平面经过三点，求平面的方程解法1由题设可知1，-3，1，-1，-2，2，它们都在平面上的法向量同时垂直于，由向量积的定义，可取，即，因此平面的方程为，即解法2 设为平面上任意一点，则三向量，共面，因此这三个向量的混合积为，则有，于是所在的平面的方程为平面的点法式方程（1）可整理成，其中，这说明一个平面的方程是一个三元一次方程反过来，任给一个三元一次方程 ， （2）其中系数不全为，则存在一组实数，满足方程

33、，即有，因此，代入方程（2）整理可得 ，（3）这说明方程（3）表示一个经过点且法向量为，的平面，注意到方程（2）与方程（3）是同解方程，因此方程（2）所表示的图形也是这个平面我们把方程（2）称为平面的一般式方程，它的系数构成的向量，为平面的法向量例2设平面过点与，且垂直于平面，求的方程解法1设的方程为，由于点，在平面上，因此，根据题意可知，平面的法向量与平面的法向量，垂直，于是将三个方程联立解得，再代入后就得到的方程解法2 平面的法向量同时垂直于平面的法向量和，因此可取，于是得到平面的点法式方程，即这个例子说明讨论平面的方程不仅可以从点法式方程角度考虑，也可以用平面的一般式方程进行讨论，当然读

34、者还可以从其他方面考虑，比如例1中的解法2，从平面上的向量共面这个角度入手对于一些特殊位置的平面，可以考察其方程的特殊形式，下面就平面的一般式方程展开讨论1）平面过原点，则原点满足平面方程，于是，所以平面的方程为2）平面平行于坐标轴例如平面平行于轴，则平面的法向量垂直于轴，即，于是，平面的方程为同理可得平行于轴的平面方程为，平行于轴的平面方程为3）平面过坐标轴例如平面经过轴，则平面经过原点，且平行于轴，则由1）和2）的结论可知，平面的方程为同理过轴的平面方程为，经过轴的平面方程为4）平面平行于坐标面例如平面平行于面，则平面的法向量平行于面的一个法向量，于是，即，所以平面方程为同理平行于面的平面

35、方程为，平行于面的平面方程为例3 求过点（3，-4，-2）且经过轴的平面的方程解设平面的方程为，且与不为0，因为点（3，-4，-2）在平面上，所以，即，因此所求平面的方程为例4 设平面与轴，轴，轴的交点分别为,，,，,，其中，求此平面的方程 解 设平面的方程为，将,，,，,的坐标分别代入方程，解方程组得，因此平面方程为注意到，即平面不经过原点，则，所以平面方程可化为（4）方程（4）称为平面的截距式方程，依次称为平面在轴，轴，轴上的截距二、两平面的夹角及点到平面的距离两个平面的法向量的夹角（取锐角）称为两平面的夹角设两个平面和的方程分别为：，：，它们的法向量分别为，如果与所夹的角为锐角，则与的夹

36、角，如果是钝角，则取为法向量与法向量所夹的角，此时，因此，这就是两平面夹角的余弦公式由两向量平行与垂直的充要条件，我们可得下面的结论：，例5 求两平面与的夹角解 这两个平面的法向量分别为，于是，因此夹角设为平面：外的一点，下面我们讨论到此平面的距离设在平面上的投影为，则设平面的法向量为，则，因此，注意到，于是，而在平面上，于是，因此点到平面：的距离为习题 7-41求过点(3，0，-1)且与平面平行的平面方程2求过点（2，0，-3）且与两平面，垂直的平面方程3求过三点（2，-1，4），（-1，3，-2），（0，2，3）的平面方程4分别按照下列要求求出平面的方程：（1）平行于面，且经过点（0，1，

37、2）；（2）经过轴，且经过点（2，1，3）；（3）平行于轴，且经过点（1，2，3），（3，2，1）；（4）经过点（2，2，2），且在三个坐标轴的正方向上有相等的截距5画出下列平面：（1）； （2）； （3）；（4）；（5）6求点（2，3，-1）到平面的距离7求到原点距离为3且平行于平面的平面8求与平面平行且相距为2的平面的方程9求两平行平面和之间的距离§5 空间直线及其方程一、空间直线方程两个平面如果不平行，则相交于一条直线，我们把空间任意一条直线看成是两个平面与的交线，见图7-22设平面和的方程分别为， ，则直线上的任意一点的坐标满足方程组 （1）其中不成立此外，不在直线上的点的坐

38、标不满足方程组（1），所以方程组（1）就是直线的方程，我们称方程组（1）为直线的一般式方程 图7-22 图7-23下面我们利用向量来推导直线的其它形式的方程如果一个非零向量平行于一条直线，则称为直线的方向向量设为直线上的已知点，的方向向量，如图7-23，则直线就唯一确定了在直线上任意取一点，则向量与向量平行，于是 (2)显然，当且仅当点在直线上时，它的坐标满足(2)式，我们称(2)式为直线的点向式方程或对称式方程（2）式中如果有分母为，则应理解为对应的分子也为直线的方向向量不唯一，我们称直线的任一方向向量的坐标，为直线的一组方向数，称的方向余弦为直线的方向余弦设(2)式中的比例值为，则可得 （

39、3）我们称（3）式为直线的参数式方程例1 将直线化为对称式和参数式方程解 先找直线上的一点，不妨取，代入直线方程可得，解得，即得到再确定直线的方向向量，注意到直线与两个平面的法向量垂直，因此可取1，1，-11，-1，10，-2，-2于是直线的对称式方程为，即这说明它是面上的直线所求直线的参数式方程为例2 设直线经过两点，求直线方程解 取直线的方向向量，则按照（2）式可得直线的方程为上面这个式子也称为直线的两点式方程二、两空间直线的夹角两条直线的方向向量所夹的锐角称为这两条直线的夹角设两条直线与的方程分别为，它们的方向向量分别为，则与的夹角等于和二者中的锐角，因此根据上述结论，我们不难推出：1）

40、；2）；3）设与分别过点，则与共面三向量，共面；4）与相交，且与不共线例3 求过点（2，-3，4）且与两平面，的交线平行的直线方程解 两平面的法向量分别为，所求直线的方向向量可取为，根据直线的点向式方程可得所求直线的方程为例4 求过点（2，1，0）且与直线垂直相交的直线解设所求直线与直线：相交于点，根据直线的参数式方程，可设交点的坐标为，），因此的方向向量可取为，由与垂直可知， 与的方向向量，垂直，因此，解得，所以，于是所求直线的方程为三、直线与平面的夹角及平面束设直线的方程为，平面的方程为，则直线的方向向量为，平面的法向量为，当直线与平面垂直时，规定它们的夹角为；当直线与平面不垂直时，过直线

41、作与平面垂直的平面，称与的交线为在平面上的投影直线，规定与它在平面上的投影直线之间的夹角（）为与的夹角，见图7-24由图我们不难发现，因此图7-24由直线与平面的夹角的正弦公式我们容易得到：1）直线与平面垂直；2）直线与平面平行；特别地，直线在平面上当且仅当，且 例5 求直线与平面的夹角解 直线的方向向量为，2，1，-2，1，0，平面的法向量为，所以，因此通过空间定直线可以作无穷多个平面，所有这些平面的集合称为过该直线的平面束平面束为解决平面与直线的有关问题提供了一条捷径，下面我们讨论平面束的方程设直线为两平面： 与：的交线，即直线的方程为对于任意实数，我们构造方程 （4）由于，与，不成比例，

42、所以对实数，方程（1）的系数：，不全为，从而方程（4）是一个三元一次方程，也就表示一个平面显然，直线上任意一点的坐标既满足的方程，也满足的方程，从而满足方程（4），因此（4）式表示通过的平面对不同的实数，（4）式就代表通过的不同平面，可以证明除了平面以外，任意一个通过直线的平面都对应方程（4）所表示的一个平面，因此方程（4）表示经过直线的平面束中除去以外的所有平面例6 求直线：在平面：上的投影直线的方程解 先求出过直线且垂直于平面的投影平面过直线的平面束为即 ，则平面也在上述方程所表示的平面中，于是由平面与平面垂直可知，解得，因此平面方程为，即，所以投影直线方程为习题 7-51求过点（2，3，

43、4）且与直线平行的直线方程2求过点（1，-2，-3）且与平面垂直的直线的方程3把下列直线的一般式化为标准式方程：（1） （2）4求过点（1，1，1）与直线相交，并垂直于直线的直线方程5求直线与直线之间的夹角6设是直线外一点，是直线上一点，且直线的方向向量为，求证点到直线的距离为7求点（1，1，1）到直线的距离8一平面通过两平行直线与，求平面方程9求直线与平面的夹角10求直线在平面上的投影直线方程§6 空间曲面和空间曲线本节首先介绍几种特殊的空间曲面：球面、柱面和旋转曲面，然后介绍空间曲线的方程及其在坐标面上的投影，最后简单介绍几种常见的二次曲面一、曲面及其方程我们已经知道，一个空间曲

44、面用一个三元方程来表示如果这个方程是一个三元一次方程，那么它表示一个平面，于是我们把平面也称为一次曲面如果这个三元方程是二次的，那么它所表示的曲面也就称为二次曲面下面我们通过几个例子来讨论几种特殊的曲面1.球面到定点的距离等于常数的点的轨迹是一个球面，定点叫做球心，常数叫做球面的半径如图7-25，点在球面上的充要条件是，即 ， （1）上式就表示球面的方程，它还可以写成 ； （2）反之，任意一个如（2）式的二次方程都可以化为，其中，当时方程（2）就表示一个以点为球心，以为半径的球面图7-252.柱面由平行于某定方向的动直线沿空间一条定曲线移动所产生的曲面叫作柱面，动直线叫柱面的母线，定曲线叫柱面

45、的准线，如图7-26图7-26 图7-27值得注意的是，一个柱面的准线并不唯一，任何与母线不平行的平面与柱面的交线都可以作为柱面的准线我们主要讨论母线平行于坐标轴，准线位于坐标面上的柱面方程例1 如图7-27所示，设一个圆柱面的准线方程为它的母线平行于轴，求这个圆柱面解 设是圆柱面上任意一点，过作与轴平行的母线，这条母线与面的交点为，则应当在准线上，于是的坐标应该满足方程，也就是说圆柱面上任意一点都满足方程另一方面，不在这个圆柱面上的点的坐标一定不满足方程，因此方程就表示这个圆柱面一般地，若柱面的母线平行于轴，且以面上的曲线为准线，则柱面的方程为；同样，如果柱面的母线平行于轴，准线为面上的曲线

46、则柱面方程为；而如果柱面的母线平行于轴，准线为面上的曲线则柱面方程为除了圆柱面、平面外，常见的柱面还有下面几种椭圆柱面，其图像见下图7-28图7-28双曲柱面，图像见下图7-29图7-29抛物柱面，图像如图7-30图7-303.旋转曲面由一条平面曲线绕同一平面上的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转曲面，定直线称为旋转轴，曲线称为生成曲线我们只讨论绕坐标轴旋转的旋转曲面例2 设在平面上的曲线的方程为求这条曲线绕轴旋转一周所成的旋转曲面的方程解 如图7-31，在旋转面上任取一点，过作垂直于轴的平面，设该平面与轴交于点，与曲线交于点由于点在曲线上，故它的坐标满足图7-31注意到，点是由点绕轴旋转

47、得到的，因此，即，于是，代入可得 （3）另一方面，如果点不在旋转曲面上，则其坐标一定不满足（3）式，所以方程（3）就是所求的旋转曲面的方程由上面这个例子不难发现，如果生成曲线的方程为则将其绕轴旋转一周所得的旋转曲面的方程是，也就是将生成曲线的方程中的变量保持不变，将变量直接换成同理，我们可以得到曲线绕轴旋转一周所得的旋转曲面方程为我们列出坐标面上的曲线绕坐标轴旋转所得的旋转曲面的方程，希望读者熟悉生成曲线旋转轴旋转曲面轴轴轴轴轴轴下面我们列举几个常见的旋转曲面将面上的直线绕轴旋转一周所得的曲面方程为，即，如图7-32所示，该曲面称为圆锥面 图7-32 图7-33平面上的双曲线绕轴旋转一周所得的

48、旋转曲面的方程为，如图7-33所示，该曲面称为旋转双曲面；平面上的双曲线绕轴旋转而成的旋转曲面的方程为，见图7-34，它也是旋转双曲面将抛物线绕轴旋转一周所得的曲面的方程为，该曲面称为旋转抛物面，如图7-35所示 图7-34 图7-35二、空间曲线及其方程我们把空间曲线看成是空间的两张曲面的交线，在第4节已经介绍了它的方程称曲线的方程为空间曲线的一般式方程例3 方程组表示的是母线平行于轴的圆柱面与平面的交线，即一个椭圆，如图7-36所示 图7-36 图7-37像平面的曲线一样，我们也可以把空间曲线看成是动点的运动轨迹，空间曲线上的每一点的坐标可以表示为参数（为时间或角度）的函数，于是我们就得到

49、了空间曲线的参数方程：例3中的曲线的参数方程可表示为例4 如图7-37，设一动点绕轴以等角速度旋转，旋转半径为，同时在轴正方向以线速度向上平行移动，求动点的轨迹方程解 设时，动点在处，经过秒钟后动点到达点，按照条件可知这个例子中动点的轨迹所形成的曲线也称为螺旋线，这是实际中比较常见的一种曲线，比如螺杆的螺纹就是螺旋线我们已经介绍了空间直线在平面上的投影直线，与之类似，下面我们考虑空间曲线在坐标面上的投影设是一条空间曲线，称以为准线以垂直于面的直线为母线的柱面为曲线关于平面的投影柱面，称投影柱面与面的交线为曲线在面上的投影曲线，简称投影同样，我们还可以定义曲线在其他两个坐标面上的投影，请读者自己写出设空间曲线的一般方程为下面我们来求在面上