2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）数学（文）及答案

1、.绝密启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学文史类北京卷本试卷分第卷选择题第卷非选择题两部分，共150分，考试时间120分钟第卷选择题 共50分本卷须知：1答第卷前，考生务必将自己姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上.2每题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题卷上.3考试完毕，监考人将本试卷和答题卡一并收回.参考公式：三角函数的积化和差公式： 正棱台、圆台的侧面积公式 其中、分别表示上、下底面周长，表示斜高或母线长. 球体的体积公式：，其中R表示球的半径.一、选择题：本大题共10小题，每题5分，共50分.

2、在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合要求的.1设集合等于 ABCD2设，那么 Ay3>y1>y2By2>y1>y3Cy1>y2>y3Dy1>y3>y23“是“的 A必要非充分条件B充分非必要条件C充分必要条件D既非充分又非必要条件4，是平面，m，n是直线.以下命题中不正确的选项是 A假设m，=n，那么m/nB假设mn，=n，那么nC假设m，m，那么D假设m，那么5如图，直线过椭圆的左焦点F1和 一个顶点B，该椭圆的离心率为 ABCD6假设且的最小值是 A2B3C4D57假如圆台的母线与底面成60°角，那么这个圆台的侧面积与轴截面

3、面积的比为 ABCD8假设数列的通项公式是，那么等于 ABCD9从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上， 其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有 A24种B18种C12种D6种10某班试用电子投票系统选举班干部候选人.全班k名同学都有选举权和被选举权，他们的编号分别为1，2，k，规定：同意按“1，不同意含弃权按“0，令 其中i=1，2，k，且j=1，2，k，那么同时同意第1，2号同学中选的人数为 ABCD第卷非选择题 共100分二、填空题：本大题共4小题，每题4分，共16分，把答案填在题中横线上.11某球体的体积与其外表积的数值相等，那么此球体的半径为 12

4、函数中， 是偶函数.13以双曲线右顶点为顶点，左焦点为焦点的抛物线的方程是 14将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆形，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为 三、解答题：本大题共6小题，共84分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题总分值13分函数 求的最小正周期； 求的最大值、最小值.16本小题总分值13分数列是等差数列，且 求数列的通项公式； 令求数列前n项和的公式.17本小题总分值15分 如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，D是BC的中点，AB=a. 求证：直线A1DB1C1； 求点D到平面ACC1的间隔 ； 判断A1B与平面ADC的位置关系， 并

5、证明你的结论.18本小题总分值15分 如图，A1，A为椭圆的两个顶点，F1，F2为椭圆的两个焦点. 写出椭圆的方程及准线方程； 过线段OA上异于O，A的任一点K作OA的垂线，交椭圆于P，P1两点，直线 A1P与AP1交于点M. 求证：点M在双曲线上.19本小题总分值14分 有三个新兴城镇，分别位于A，B，C三点处，且AB=AC=13km，BC=10km.今方案合建一个中心医院，为同时方便三镇，准备建在BC的垂直平分线上的P点处，建立坐标系如图 假设希望点P到三镇间隔 的平方和为最小， 点P应位于何处？ 假设希望点P到三镇的最远间隔 为最小， 点P应位于何处？20本小题总分值14分 设是定义在区

6、间上的函数，且满足条件： i ii对任意的 证明：对任意的 判断函数是否满足题设条件； 在区间1，1上是否存在满足题设条件的函数，且使得对任意的 假设存在，请举一例：假设不存在，请说明理由.绝密启用前2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题文史类北京卷参考解答一、选择题：此题考察根本知识和根本运算. 每题5分，总分值50分.1A 2D 3A 4A 5D 6B 7C 8B 9B 10C二、填空题：此题考察根本知识和根本运算.每题4分,总分值16分.113 12 13 14三、解答题：本大题共6小题，共84分.解容许写出文字说明，证明过程或演算步骤.15本小题主要考察三角函数的倍角、和角公式

7、，以及三角函数的性质等根本知识，考察运算才能，总分值13分. 解：因为所以的最小正周期解：因为所以的最大值为,最小值为16本小题主要考察等差、等比数列等根本知识，考察综合运用数学知识和方法解决问题的才能.总分值13分. 解：设数列公差为，那么 又所以解：由得 将式减去式，得 所以17本小题主要考察直线与平面的位置关系，正棱柱的性质，棱锥的体积等根本知识，考察空间想象才能和逻辑推理才能. 总分值15分.证法一：点D是正ABC中BC边的中点，ADBC，又A1A底面ABC，A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1. 证法二：连结A1C1，那么A1C=A1B. 点D是正A1CB的底边中BC的中点，

8、A1DBC ，BCB1C1，A1DB1C1.解法一：作DEAC于E， 平面ACC1平面ABC，DE平面ACC1于E，即DE的长为点D到平面ACC1的间隔 . 在RtADC中，AC=2CD=所求的间隔 解法二：设点D到平面ACC1的间隔 为，体积 即点D到平面ACC1的间隔 为. 答：直线A1B/平面ADC1，证明如下：证法一：如图1，连结A1C交AC1于F，那么F为A1C的中点，D是BC的中点，DFA1B， 又DF 平面ADC1，A1B平面ADC1，A1B平面ADC1.证法二：如图2,取C1B1的中点D1，那么ADA1D1，C1DD1B，AD平面A1D1B，且C1D平面A1D1B，平面ADC1

9、平面A1D1B，A1B平面A1D1B，A1B平面ADC1.18本小主要考察直线、椭圆和双曲线等根本知识，考察分析问题和解决问题的才能.总分值15分. 解：由图可知,该椭圆的方程为准线方程为证明：设K点坐标,点P、P1的坐标分别记为， 其中那么 直线A1P，P1A的方程分别为： 式除以式得化简上式得代入式得于是，直线A1P与AP1的交点M的坐标为因为所以，直线A1P与AP1的交点M在双曲线.19本小题主要考察函数，不等式等根本知识，考察运用数学知识分析问题和解决问题的才能.总分值14分. 解：设P的坐标为0，那么P至三镇间隔 的平方和为 所以，当时，函数获得最小值. 答:点P的坐标是解法一：P至三镇的最远间隔 为 由解得记于是 因为在上是增函数，而上是减函数. 所以时,函数获得最小值. 答:点P的坐标是 解法二：P至三镇的最远间隔 为 由解得记于是 函数的图象如图，因此，当时，函数获得最小值.答:点P的坐标是 解法三：因为在ABC中，AB=AC=13,且，所以ABC的外心M在线段AO上,其坐标为, 且AM=BM=CM. 当P在射线MA上，记P为P1；当P在射线MA的反向延长线上，记P为P2，这时P到A、B、C三点的最远间隔 为P1C和P2A，且P1CMC，P2AMA，所以点P与外心M重合时，P到三镇的最远间隔 最小.答:点P的坐标是20本小题考察函数、不等式等根本知识，考察