椭圆的简单几何性质典型例题

1、典型例题例 1 椭圆的一个顶点为，其长轴长是短轴长的2 倍，求椭圆的标准方程分析：题目没有指出焦点的位置，要考虑两种位置解：（ 1）当为长轴端点时， ， 椭圆的标准方程为： ；（ 2）当为短轴端点时， ， 椭圆的标准方程为： ； 说明： 椭圆的标准方程有两个， 给出一个顶点的坐标和对称轴的位置， 是不能确定椭圆 的横竖的，因而要考虑两种情况典型例题二例2 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率解： ，说明：求椭圆的离心率问题，通常有两种处理方法，一是求，求，再求比二是列含和 的齐次方程，再化含的方程，解方程即可典型例题三例 3 已知中心在原点， 焦点在轴上的椭圆与直线交于、 两点

2、， 为中点， 的斜率为 0.25 ， 椭圆的短轴长为 2，求椭圆的方程解：由题意，设椭圆方程为，由，得，为所求说明：（ 1）此题求椭圆方程采用的是待定系数法； （2）直线与曲线的综合问题，经常要 借用根与系数的关系，来解决弦长、弦中点、弦斜率问题典型例题四例 4 椭圆上不同三点， ，与焦点的距离成等差数列（1）求证；（ 2）若线段的垂直平分线与轴的交点为，求直线的斜率 证明： （1）由椭圆方程知， ，由圆锥曲线的统一定义知： ，同理 ，且，2）因为线段的中点为，所以它的垂直平分线方程为又点在轴上，设其坐标为，代入上式，得又点，都在椭圆上，将此式代入，并利用的结论得典型例题五例5 已知椭圆，、为

3、两焦点，问能否在椭圆上找一点，使到左准线的距离是与的等比中 项？若存在，则求出点的坐标；若不存在，请说明理由解：假设存在，设，由已知条件得?,.左准线的方程是，又由焦半径公式知：?整理得.解之得或.另一方面.则与矛盾，所以满足条件的点不存在.说明：（1）利用焦半径公式解常可简化解题过程.（2）本例是存在性问题，解决存在性问题，一般用分析法，即假设存在，根据已知条 件进行推理和运算.进而根据推理得到的结果，再作判断.（ 3）本例也可设存在，推出矛盾结论（读者自己完成）.典型例题六例6 已知椭圆，求过点且被平分的弦所在的直线方程.分析一：已知一点求直线，关键是求斜率，故设斜率为，利用条件求.解法一

4、：设所求直线的斜率为，则直线方程为.代入椭圆方程，并整理得由韦达定理得.是弦中点，.故得.所以所求直线方程为 分析二：设弦两端坐标为、 ，列关于、的方程组，从而求斜率： . 解法二：设过的直线与椭圆交于、 ，则由题意得得.将、代入得，即直线的斜率为. 所求直线方程为.说明：（1）有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点 轨迹；过定点的弦中点轨迹.（2）解法二是 “点差法 ”，解决有关弦中点问题的题较方便，要点是巧代斜率.（3） 有关弦及弦中点问题常用的方法是：“韦达定理应用 ”及“点差法 ”.有关二次曲线 问题也适用.典型例题七例7 求适合条件的椭圆的标准方程.（

5、1）长轴长是短轴长的 2 倍，且过点；（2） 在轴上的一个焦点与短轴两端点的联机互相垂直，且焦距为6.分析：当方程有两种形式时，应分别求解，如（1）题中由求出， ，在得方程后，不能依此写出另一方程.解：（ 1）设椭圆的标准方程为或.由已知. 又过点，因此有或. 由、，得，或，.故所求的方程为或.（2）设方程为.由已知， ，所以.故所求方程为.说明： 根据条件求椭圆的标准方程的思路是 “选标准，定参数 ”.关键在于焦点的位置是 否确定，若不能确定，应设方程或.典型例题八例8 椭圆的右焦点为，过点，点在椭圆上，当为最小值时，求点的坐标.分析：本题的关键是求出离心率，把转化为到右准线的距离，从而得最

6、小值.一般地， 求均可用此法.解：由已知：，.所以，右准线.过作，垂足为， 交椭圆于， 故.显然的最小值为， 即为所求点， 因此，且在椭圆上. 故.所 以.说明：本题关键在于未知式中的 “2的”处理.事实上，如图， ，即是到右准线的距离的一 半，即图中的，问题转化为求椭圆上一点，使到的距离与到右准线距离之和取最小值.典型例题九例9 求椭圆上的点到直线的距离的最小值分析： 先写出椭圆的参数方程， 由点到直线的距离建立三角函数关系式， 求出距离的最 小值解：椭圆的参数方程为设椭圆上的点的坐标为，则点到直线的距离为当时，说明：当直接设点的坐标不易解决问题时，可建立曲线的参数方程典型例题十例 10 设

7、椭圆的中心是坐标原点，长轴在轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最 远距离是，求这个椭圆的方程，并求椭圆上的点的距离等于的点的坐标分析：本题考查椭圆的性质、 距离公式、 最大值以及分析问题的能力， 在求的最大值时， 要注意讨论的取值范围 此题可以用椭圆的标准方程， 也可用椭圆的参数方程， 要善于应用 不等式、平面几何、 三角等知识解决一些综合性问题， 从而加强等价转换、 形数结合的思想， 提高逻辑推理能力解法一：设所求椭圆的直角坐标方程是，其中待定由可得，即设椭圆上的点到点的距离是，则其中如果，则当时， （从而）有最大值 由题设得，由此得，与矛盾因此必有成立，于是当时， （从而）有最大值 由

8、题设得，可得， 所求椭圆方程是.由及求得的椭圆方程可得，椭圆上的点，点到点的距离是解法二：根据题设条件，可取椭圆的参数方程是，其中，待定， ，为参数 由可得，即设椭圆上的点到点的距离为，则如果，即，则当时， （从而）有最大值 由题设得，由此得，与矛盾，因此必有成立 于是当时（从而）有最大值由题设知，.所求椭圆的参数方程是.由，可得椭圆上的是，典型例题十一例 11 设，求的最大值和最小值分析： 本题的关键是利用形数结合， 观察方程与椭圆方程的结构一致 设， 显然它表示 一个圆，由此可以画出图形，考虑椭圆及圆的位置关系求得最值解：由，得可见它表示一个椭圆，其中心在点，焦点在轴上，且过（0， 0）点

9、和（ 3， 0）点设，则它表示一个圆，其圆心为（ 1， 0）半径为0， 0）点时，半径在同一坐标系中作出椭圆及圆，如图所示观察图形可知，当圆过（最小，即，此时；当圆过（3, 0）点时，半径最大，即，.的最小值为 0，最大值为 15 典型例题十二例 12 已知椭圆，、是其长轴的两个端点（ 1）过一个焦点作垂直于长轴的弦，求证：不论、如何变化，（ 2）如果椭圆上存在一个点，使，求的离心率的取值范围分析：本题从已知条件出发， 两问都应从和的正切值出发做出估计， 因此要从点的坐标、 斜率入手本题的第（ 2）问中，其关键是根据什么去列出离心率满足的不等式，只能是椭 圆的固有性质： ，根据得到，将代入，消

10、去，用、 、表示，以便利用列出不等式这里要求 思路清楚，计算准确，一气呵成解：（ 1）设，于是，是到的角.故.（ 2）设，则， 由于对称性，不妨设，于是是到的角, 整理得或（舍），典型例题十三例13已知椭圆的离心率，求的值.分析：分两种情况进行讨论.解：当椭圆的焦点在轴上时，得由，得.当椭圆的焦点在轴上时，得.由，得，即.满足条件的或.说明：本题易出现漏解.排除错误的办法是： 因为与9的大小关系不定，所以椭圆的焦 点可能在轴上，也可能在轴上.故必须进行讨论.典型例题十四例14 已知椭圆上一点到右焦点的距离为，求到左准线的距离. 分析：利用椭圆的两个定义，或利用第二定义和椭圆两准线的距离求解.

11、解法一：由，得， ，.由椭圆定义， ，得由椭圆第二定义， ，为到左准线的距离， 即到左准线的距离为.解法二：T,为到右准线的距离，又椭圆两准线的距离为. 到左准线的距离为.说明：运用椭圆的第二定义时，要注意焦点和准线的同侧性.否则就会产生误解.椭圆有两个定义， 是从不同的角度反映椭圆的特征， 解题时要灵活选择， 运用自如. 一般地， 如遇到动点到两个定点的问题， 用椭圆第一定义； 如果遇到动点到定直线的距离问题， 则用 椭圆的第二定义.典型例题十五例 15 设椭圆 （为参数 ）上一点与轴正向所成角，求点坐标. 分析：利用参数与之间的关系求解.解：设，由与轴正向所成角为，即.而，由此得到， ，

12、点坐标为.典型例题十六例 16 设是离心率为的椭圆 上的一点，到左焦点和右焦点的距离分别为和，求证： ， 分析： 本题考查椭圆的两个定义， 利用椭圆第二定义， 可将椭圆上点到焦点的距离转化 为点到相应准线距离解：点到椭圆的左准线的距离， ， 由椭圆第二定义， ，,由椭圆第一定义，说明： 本题求证的是椭圆的焦半径公式， 在解决与椭圆的焦半径(或焦点弦)的有关问 题时，有着广泛的应用请写出椭圆焦点在轴上的焦半径公式典型例题十七例 17 已知椭圆内有一点， 、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点(1) 求的最大值、最小值及对应的点坐标；(2) 求的最小值及对应的点的坐标分析：本题考查椭圆中的最值问

13、题， 通常探求变量的最值有两种方法： 一是目标函数当， 即代数方法二是数形结合，即几何方法本题若按先建立目标函数，再求最值，则不易解 决；若抓住椭圆的定义，转化目标，运用数形结合，就能简捷求解解：(1) 如上图，设是椭圆上任一点，由，等号仅当时成立，此时、共线. 由，等号仅当时成立，此时、共线.建立、的直线方程，解方程组得两交点、 综上所述，点与重合时，取最小值，点与重合时，取最大值(2) 如下图，设是椭圆上任一点，作垂直椭圆右准线，为垂足，由，由椭圆第二定义知，要使其和最小需有、共线，即求到右准线距离右准线方程为.到右准线距离为 此时点纵坐标与点纵坐标相同为 1，代入椭圆得满足条件的点坐标

14、说明： 求的最小值， 就是用第二定义转化后， 过向相应准线作垂线段 巧用焦点半径与 点准距互化是解决有关问题的重要手段典型例题十八例 18(1)写出椭圆的参数方程；(2)求椭圆内接矩形的最大面积分析：本题考查椭圆的参数方程及其应用 为简化运算和减少未知数的个数， 常用椭圆 的参数方程表示曲线上一点坐标，所求问题便化归为三角问题解：(1) (2)设椭圆内接矩形面积为，由对称性知，矩形的邻边分别平行于轴和轴，设为矩形在 第一象限的顶点， ，则 故椭圆内接矩形的最大面积为12说明： 通过椭圆参数方程，转化为三角函数的最值问题， 一般地， 与圆锥曲线有关的最 值问题，用参数方程形式较简便典型例题十九例

15、 19 已知，是椭圆的两个焦点，是椭圆上一点，且(1)求椭圆离心率的取值范围；(2)求证的面积与椭圆短轴长有关 分析：不失一般性，可以设椭圆方程为()，()思路一：根据题设容易想到两条直线的夹角公式，即，设， ，化简可得又，两方程联 立消去得，由，可以确定离心率的取值范围；解出可以求出的面积，但这一过程很繁思路二：利用焦半径公式， ，在中运用余弦定理，求，再利用，可以确定离心率的取值 范围，将代入椭圆方程中求，便可求出的面积思路三：利用正弦定理、余弦定理，结合求解解：(法 1)设椭圆方程为() ，则，在中，由余弦定理得解得,即.故椭圆离心率的取范围是(2)将代入得，即即的面积只与椭圆的短轴长有关(法 2)设，则(1)在中，由正弦定理得?，当且仅当时等号成立 故椭圆离心率的取值范围是 (2)在中，由余弦定理得：?，即即的面积与椭圆短轴长有关说明： 椭圆上的一点与两个焦点， 构成的三角形为椭圆的焦点三角形， 涉及有关焦点三 角形问题， 通常运用三角形的边角关系定理 解题中通过变形，使之出现的结构， 这样就