线性代数特殊行列式附行列式计算方法总结

1、特殊行列式及行列式计算方法总结1.几类特殊行列式2.上（下）三角行列式、对角行列式（教材 P7例5、例6）3.分块行列式（教材P14例10）一般化结果：以副对角线为标准的行列式00川0a1na11a12IIIa1n川0in0a1n00a2,na2na21a22III0+Fbdqi+0ina2,n0+!q+rn+0000an,2IIIan _d,n A.an _l,nann000an1III00an1an2IIIan, n_1annn（n）AnCnxm片0n>m1 A11 f°m>0Bm=CBm=A'Bm4.范德蒙行列式（教材P18例12）°n>mA

2、nCnABmCm 网Bm0m炸十1厂A Bm注：4种特殊行列式的结果需牢记!以下几种行列式的特殊解法必须熟练掌握!低阶行列式计算二阶、三阶行列式一一对角线法则（教材P2、P3）高阶行列式的计算【五种解题方法】1)利用行列式定义直接计算特殊行列式;2)3)利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式；利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算适用于行列式的某一行或某一列中有很多零元素，并且非零元素的代数余子式很容易计算;4）递推法或数学归纳法;5）升阶法（又称加边法）【常见的化简行列式的方法】1. 利用行列式定义直接计算特殊行列式例1（ 2001年考研题）00IH

3、01000IH200+44h4i+44F4401999III00020000|l|00000|l|002001分析：该行列式的特点是每行每列只有一个元素,因此很容易联想到直接利用行列式定义进行计算解法一：定义法D=(-1)(n丄n 2,2,1, n)2001! = (-1)0 1 2 1999 02001! =2001!解法二：行列式性质法 利用行列式性质2把最后一行依次与第n-1,n-2,2,1行交换（这里n=2001）,即进行2000次换行以后，变成副对角行列式。00III00III，八2001400IIID =(1)+01999III20000川解法三：分块法00200101020020

4、012001)=(1 )2001_1( j)22001! = 2001!H4+H400000000III01i000III20；0+44 V Ii+111 1q01999III00,020000川00!” L .000川00!2001利用分块行列式的结果可以得到0000IIIIII02102000(2000-1)D=2001+HH+卜=2001 (-1)22000!=2001 ！01999III0020000III00解法四：降阶定理展开按照每一行分别逐次展开，此处不再详细计算。2. 利用行列式的性质将高阶行列式化成已知结果的特殊行列式例2分析：该行列式的特点是1很多，可以通过a-d和r4来将

5、行列式中的很多11 + a11111 -a11D =111 + b11111-b化成0.解:aa001100I1100|11 -a11=ab11-a11$ J=ab0-a1100bb0011 200111111-b1111-b001-bD 二11巾弋0=ab00-a0001100114Z 2=a b3印a12b1胡3a2afb2a2b；3a3afbsa3bf3a4a：b4a4b：D 二b；，(a广 0)分析：该类行列式特点是每行a的次数递减，b的次数增加特点与范德蒙行列式相似，因此可以利用行列式的性质将 D化成范德蒙行列式解:f 33 3 3u = a a? a3 a433 3 3二 a a?

6、a3a4(5a1已2a1(与a1（蜀(直)2%a2a2a2世）（色）2（与a3a3a3b4、“b4、2b4、3（丄）（丄）（丄）a4a4a4a b32)a2 a3a41111V(2a(7a33 3 3-a1 a2a3a4' I 丨1 勺：4 <4ai练习：（11-12年IT专业期末考试题）若实数x, y, z各不相等，则矩阵M二的行列式M =2<x3. 利用行列式的行（列）扩展定理以及行列式的性质，将行列式降阶进行计算Dn 二a川00IIIIIIIIIIII00III分析：该行列式特点是a处于主对角线,b在a后的一个位置，最后一行中b是第一个元素，a是最后一个元素n4 丄

7、/*n+i i n -4二a a (-1) b b解：按第一列展开:ab0IIIIII00b0ab00IIIIH+ (-1)n+ ba bhh000IIIIIIab4Ra b0000a11Dn = a (-1)n丄/ 八n十n二 a (T) b练习：（11-12年期中考试题）xy0 000xy 0000x 00000 xyy00 0xDn4. 行（列）和相等的行列式IIIIIIIII分析：该行列式的特点是主对角线上元素为a，其余位置上都是n列加到第1列上。（类似题型:教材 P12例 8，P27 8(2)解:Dn-a (n - 1)bbn 1二a （n -1）b（a -b）5.箭头形（爪行）行列

8、式分析：该类行列式特点是第一行、IIIIIIIIIb=a + (n_1)bba -bb。可将第2,3,川b川0iid川a - b120III0IIIIIIIIIIII 川第一列及主对角上元素不为0解此类行列式方法，是将行列式化成上三角行列式。解：分别从第2,3,n列提出因子2,3,，n,然后将第2,3， 再加到第1列上。0,其余位置都为 ,n列分别乘以-1,111:11110川-z -III23ni / i23n110川0010III0=n!101III0001III0IIIIIIIIIHI100III1000III1D 二n!二nJ (一1)i 2 I注：爪形行列式非常重要,很多看似复杂的行

9、列式通过简单变化以后都可以化成爪形行列式进行计算!练习：1) 教材习题P28: 8(6)2）（ 11-12年期末考试题）a23An =n -1n3）（ 11-12年IT期末考试题）-2-31*1-(n-1)_na01*1000aIII00川Ht001*1a0001*10aan Aan0000a-x00n-10x000nX1a2a3IIIan印X2a3IIIanD =印a2X3IIIanIIIma1a2a3inXn分析：该类行列式特点是每一行只有主对角线上的元素与第一个元素不同解:X1a2a3IIIaX1x2 -a20IIIa 一0X3 _ a3IIIIIIHIa 一 x00IIID 二an00

10、Xn 7=(Xi - aJ(x2 - a2)| I (xn _ an)X1x - a-1-1a?X2 - a?10a3X3a301IIIan-(xi - aJ(X2 -a2)|l(Xn -an)n1、i 4 xi - ai0aia2X2 - a?1IIIIIIIIIIIIIIIIIIXn _ an00anXn - an0ain(k a)1 十瓦一 i 1i=1 Xi - ai6.递推法或数学归纳法该方法用于行列式结构具有一定的对称性,教材P15例11就是递推法的经典例IIIDn =1+a2III(盯0)III1+an题。利用同样的方法可以计算教材 P27 8(4)。7.升阶法通常计算行列式都采

11、用降阶的方法， 是行列式从高阶降到低阶，但是对于某些行 列式，可以通过加上一行或一列使得行列式变成特殊行列式，再进行计算 例 8 (教材 P28 8(6)1+4分析：该题有很多解法，这里重点介绍升阶法。因为行列式中有很多1,因此可以增加一行1,使得行列式变成比较特殊或者好处理的行列式。注意：行列式是 方形的，因此在增加一行以后还要增加一列， 以保持行列式的形状。为了使行列 式的值不改变，因此增加的列为1,0,0,0.111III1111III101 + a11III1ri-r1-1a10HI00+1+1+a21-III1-11-1+01-a21-III401-+0+11FIIIr1+an-1F

12、0F04HIIan定理3Dn =a1 a2.an(1+)i=1 ai例 9 (教材 P27 6(4)分析：此行列式可以应用性质D=a2 a4 abb2b4c2 c4 cdd2d46将行列式化为上三角行列式，也可以对比范德蒙行列式的形式，通过添加一行和一列把行列式变成范德蒙行列式以后再进行计 算。解法一:4 “33 -ar?D 二h -ar10001b - ab(b - a)2 2 2b (b -a )按第一列展开(ba)(ca)(da)=(b _a)(c -a)(d _a) c3 Tc -ac(c _a)2 2 2c (c -a )1) b2b (b+a)1bb2(b a) 1d ad(d - a)2221 d (d -a )11cd22c (c + a) d (d +a)0c-bc2(c+a) _b2(b +a) d2(d +a) _b2(b +a)0d -b按第一行展开(b-a)(c-a)(d-a)cbdbc2(c a)-b2(b a) d2(d a)