二维随机变量函数的分布大学数学教案2

1、第三节二维随机变量函数的分布 在实际应用中，有些随机变量往往是两个或两个以上随机变量的函数 例如，考虑全国年 龄在 40 岁以上的人群，用X和Y分别表示一个人的年龄和体重， Z表示这个人的血压， 并且已 知Z与X，Y的函数关系式 z =g(x,Y), 现希望通过(X,Y)的分布来确定 Z的分布此类问题就是我们将要讨论的两个随机向量函数的 分布问题. 在本节中，我们重点讨论两种特殊的函数关系 ： (i) Z X Y ; (ii) Z =maxX,Y和 Z =min X,Y，其中 X 与 Y相互独立. 注：应指出的是，将两个随机变量函数的分布问题推广到 是表述和计算的繁杂程度的提高，并没有本质性的

2、差异 . 内容分布图示 引言 离散型随机向量的函数的分布 例 1 例 2 例 3 连续型随机向量的函数的分布 例 4 连续型随机向量函数的联合概率密度 例 5 和的分布 例 6 例 7 正态随机变量的线性组合 例 8 例 9 例 10 商的分布 例 11 积的分布 例 12 最大、最小分布 例 13 例 14 内容小结 课堂练习 习题 3-3 内容要点： 一、 离散型随机变量的函数的分布 设(X,Y)是二维离散型随机变量，g(x,y)是一个二元函数，则 g(X,Y)作为(X,Y)的函数是 一个随机变量，如果(X,Y)的概率分布为 PX 二,丫二 yj二 pj (i,j =1,2,) 设 Z =

3、g(X,Y)的所有可能取值为 zk,k=1,2，,则Z的概率分布为 PZ =Zk二 Pg(X,Y)二 Zk二 7 PX =Xi,丫二 yj, k =1,2/ , g(xHyj)=Zk 二、 连续型随机变量的函数的分布 设(X ,Y)是二维连续型随机向量 ，其概率密度函数为 f (x, y),令 g(x,y)为一个二元函数 则 g(X,Y)是(X,Y)的函数. 可用类似于求一元随机变量函数分布的方法来求 Z =g(X,Y)的分布. a) 求分布函数 Fz(z), FZ(Z) =PZ Ez二 Pg(X,Y)乞 z二 P(X,Y) DZ = f(x,y)dxdy. DZ 其中,DZ =(x,y) |

4、g(x,y) Z. b) 求其概率密度函数 fz(z),对几乎所有的 乙有 fz( Z)=F；(Z). 定理 1 设(X-X2)是具有密度函数 仁为风)的连续型随机向量 n个随机变量函数的分布问题只 (1)设 =91(為彳2), 丫2 =92(為彳2)是 R2到自身的 - 映射，即存在定义在该变换的值域上 的逆变换： 为二 h(%, y2),x2 二怡(,丫2); 假设变换和它的逆都是连续的 ； 假设偏导数 削（i =1,2,j =1,2）存在且连续; 假设逆变换的雅可比行列式 一打1 71 *2 1 0, _h2 72 即 J（yi，y2）对于在变换的值域中的（2）是不为 o 的则丫1,丫2

5、具有联合密度 w（yi,y2）彳 J | f （h（yi,y2）,h2（yi,y2）. 定理 2 设 X,Y 相互独立，且 XN（叫,门2）, YN（2,Q2）.则Z=X Y仍然服从正态分 布，且 2 2 ZN（ =2,；1 二2）. 更一般地，可以证明：有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍然服从正态分布 有 定理 3 ai,an， 若 Xi N（叫，；2）（i =1,2,，n）,且它们相互独立，则对任意不全为零的常数 有 n Z aiXi N 瓦 aiR,瓦 aq2 I. i吕 三、 M =max(X,Y)及 N =min(X,Y)的分布 设随机变量 X,Y 相互独立，其分布函数分别为

6、Fx(x)和 Fy(y),由于 M =max(X,Y)不大于 z 等价于X和丫都不大于乙故有 FM (z) =PM Ez =PX 乞 z,Y Ez = PX 兰 zPYEz =FX (Z)FY(Z); 类似地，可得 N =min( X,Y)的分布函数 FN (z) =PN _z =1 PN z=1PX z,Y z =1PX AZPY:Z =1 1FX(Z) 1 FY(Z). 0 -1 0 1 2 -1 0.2 0.15 0.1 0.3 2 0.1 0 0.1 0.05 例题选讲： 离散型随机变量的函数的分布 例 1（讲义例 1）设随机变量（X,Y）的概率分布如下表 Pij 0.2 0.15 0.1 0.3 0.1 0 0.1 0.05 (X,Y) (-1,-1) (-1,0) (-1,1) (-1,2) (2,-1) (2,0) (2,1) （2,2 ） Z = X +Y -2 -1 0 1 1 2 3 4 Z = XY 1 0 -1 -2 -2 0 2 4 求二维随机变量的函数 Z 的分布：（1）Z 二 X，Y; （2）Z 二 XY. 解 由（X,Y）的概率分布可得 Z -2 -1 0 1 2 3 4 Pi 0.2 0.15