函数与导数经典例题

1、函数与导数1.已知函数f(x)4x33tx26txt1,xR,其中tR.(I)当t1时，求曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程；(n)当t0时，求f(x)的单调区间；(出)证明：对任意的t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。(I)解：当t1时，f(x)4x33x26x,f(0)0,f(x)12x26x6f(0)6,所以曲线yf(x)在点(0,f(0)处的切线方程为y6x.(n)解：f(x)12x26tx6t2,

2、令f(x)0,解得xt或x.2因为t0,以下分两种情况讨论：(1)若t0,则工t,当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表:2xt,2/tt,f(x)+-+f(x)/1所以，f(x)的单调递增区间是，上，t,;f(x)的单调递减区间是-,t22(2)若t0,则tt，当x变化时，f(x),f(x)的变化情况如下表：2x,tL2,f(x)+-+f(x)zz所以，f(x)的单调递增区间是，t,&，；f(x)的单调递减区间是t,-22(出)证明：由(n)可知，当t0时，f(x)在0,1内的单调递减，在内单调22递增，以下分两种情况讨论：(1)当1,即t2时，f(x)在(0,1)内单调递减

3、，2f(0)t10,f(1)6t24t3644230.所以对任意t2,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。1,1内单调递增，若2(2)当0I1,即0t2时，f(x)在0,1内单调递减，在17373t(0,1,ft3t1-t30.244f(1)6t24t36t4t32t30.所以f(x)在-,1内存在零点。2什t7373若t(1,2),ft3t1-t310.244f(0)t10所以f(x)在0,-内存在零点。2所以，对任意t(0,2),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。综上，对任意t(0,),f(x)在区间(0,1)内均存在零点。2.已知函数f(x)2x1,h(x)xx.32(I)设函

4、数F(x)=18f(x)x2h(x)2,求F(x)的单调区间与极值；33(n)设aR,斛关于x的方程lgf(x1)-21gh(ax)21gh(4x);24*1(出)设nN，证明：f(n)h(n)h(1)h(2)Lh(n)-.6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(I)F(x)18f(x)x2h(x)2x312x9(x0),一2_F(x)3x12.令F(x)0,得x2(x2舍去).当 x (0,2)时.F (x) 0 ;当 x (2,故当x 0,2)时，F(x)为增函数；当x 2

5、为F(x)的极大值点，且(H)方法一：原方程可化为F(2)3 log42)时,x 2,8 24f (x1)即为 10g4(x 1) log 2 . a x10g2 4当1 a 4时,36 4(a 4)204a 0 ,此时此时方程仅有一解当a 4 时，1a 5,则5时,则1 或 a 5 ,F (x) 0 ,)时，F(x)为减函数.9 25 .3,. 一10g2h(a4,即 x2 6x x620 4a. 323 55a.4 ,由 x 1 x ,得 x2 6x a0 ,方程有两解0,方程有一解 原方程无解.x3 75 a ；3；x)10g2 h(4 x),a, x4,364(a4) 20 4a,方法

6、二：原方程可化为1og4(x 1)10g 2h(4x) 10g2 h(a x),1即-log2(x 21) 10g2 4 x 10g2 aa(x0,0,0,1)(4 x) ax.a, (x 3)2 5.当4时，原方程有一解当5时，原方程有二解当当5时，原方程有一解x :1或a 5时，原方程无解.3；(出)由已知得 h(1) h(2) L h(n)而，1 4n 3 L 1f(n)h(n)n 7666设数列an的前n项和为Sn ,且Snf(n)h(n)-*(nN)从而有a1 G 1 ,当2 k 100时，ak又ak k 1(4k 3) k (4 k 1) k 1 6Sk16&i 4k 3.

7、k 4k 16622(4k 3) k (4k 1) (k 1)(4 k 3) k (4 k 1) k 11 1 06 (4k 3)、£ (4k 1)7iT7即对任意k 2时，有ak Vk ,又因为a1 1 H ,所以现a2 L则S h(1) h(2) L h(n),故原不等式成立.3.设函数f(x)a2lnxx2ax,a0(I)求f(x)的单调区间；(n)求所有实数a,使e1f(x)e2对x1,e恒成立.注：e为自然对数的底数.【解析】(21)本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考查抽象概括、推理论证能力。满分15分。(I)解：因为f(x)a2lnxx2a

8、x.其中x02所以f(x)2xa(xa)(2xa)xx由于a0,所以f(x)的增区间为(0,a),减区间为(a,)(n)证明：由题意得，“1)a1c1,即acf(x)在1,e内单调递增，f(x)e2对x1,e恒成立，f(1)只要f(e)a1e1,222解得ae.aeaeex4.设 f(x)e一2,其中a为正实数.ax(i)当a4时，求f(x)的极值点；3(n)若f(x)为R上的单调函数，求a的取值范围.【解析】(18)(本小题满分13分)本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.解：对f(x)求导得2.一

9、31(I)当，右f(x)0,则4x8x30,解得x1，x2.22综合，可知x(,2)12(1,3)2232岁)f(x)+0一0+f(x)极大值极小值所以，X13是极小值点,X21是极大值点.22(II)若f(x)为R上的单调函数，则f(x)在R上不变号，结合与条件a>0,知2ax2ax10在R上恒成立，因此4a24a4a(a1)0,由此并结合a0,知0a1.5.已知a,b为常数，且aw0,函数f(x)=-ax+b+axlnx,f(e)=2(e=2.71828是自然对数的底数)。(I)求实数b的值；(II)求函数f(x)的单调区间；(III)当a=1时，是否同时存在实数m和M(m<M

10、,使得对每一个tCm,M,直线y=t与曲线y=f(x)(xC1,e)都有公共点？若存在，求出最小的实数m和最大的实数M;e若不存在，说明理由。【解析】22.本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。解：(I)由f(e)2彳4b2,(II)由(I)可得f(x)ax2axlnx.从而f'(x)alnx.因为a0,故：(1)当a0寸，由f(x)>0得x>1,由f(x)<0得0Vx<1;(2)当a0时，由f'(x)0得0x1,由f'(x)

11、S#x1.综上，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(1,),单调递减区间为(0,1)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,)。(III)当a=1时，f(x)x2xlnx,f'(x)Inx.,，一、一1由(II)可得，当x在区间(二e)内变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表:e'x1e(1,1)e1(1,e)ef'(x)-0+f(x)22e单调递减极小值1单调递增222_1又222,所以函数f'(x)(x1,e)的值域为1,2。ee据经可得，若m1,则对每一个tm,M,直线y=t与曲线yf(x)(x1e)都有M

12、2e公共点。1并且对每一个t(,m)U(M,)，直线yt与曲线yf(x)(x-,e)都没有公共点。e综上，当a=1时，存在最小的实数m=1,最大的实数M=Z使得对每一个tm,M,直线y=t1与曲线yf(x)(x,e)都有公共点。e6 .设函数，其中，a、b为常数，已知曲线与在点(2,0)处有相同的切线1。(I)求a、b的值，并写出切线l的方程；(II)若方程有三个互不相同的实根0、，其中，且对任意的，恒成立，求实数m的取值范围。【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分13分)解：(I)f(x)3x24axb,g(x)2x3.g(x)在点(2,0)处有相同的切线,故有f(2)g(2)0,f(2)g(2)1.由此得8 8a 2b12 8a ba1,0, a,解得b2,5.所以a2,b5,切线l的方程为xy20(n)由(I)得f(x)x34x25x2,所以f(x)g(x)x33x22x.依题意，方程x(x23x2m)0有三个互不相同的实数0,Xi,x2,故X1,X2是方程x23x2m所以94(2m)0,即m又对任意的xx,x2,f(x)特别地，取xxi时，f(x()由韦达定理，可得x1x23对任