拉普拉斯变换

1、第六章 拉普拉斯变换本章基本要求 理解和掌握导数和积分的拉普拉斯变换 掌握有理分式反演法 掌握延迟定理，位移定理和卷积定理 理解黎曼-梅林反演公式；运算微积方法求解微积分方程。6.1 拉普拉斯变换的概念一 Laplace 变换的定义1 傅里叶变换的限制：1）函数满足狄利克雷条件 2）在（-，+）上满足 绝对可积的条件 3）在整个数轴上有定义xxfd| )(| 实际应用中，绝对可积的条件比较强，许多函数都不满足该条件，如正弦，余弦，阶跃，线性函数等；另外，在无线电技术中，函数往往以t作为自变量，t0无意义。2 拉普拉斯变换研究的对象函数1）函数满足这样的条件: a) t0时，f(t)=0 b)

2、t=0时，f(t)右侧连续，)0()(lim0ftft的实变函数为t)(,000)()(tftttftf2）设单位阶跃函数， 则原函数f(t)，研究函数为f(t)u(t)。0001)(tttu3 从傅里叶变换推导拉普拉斯变换:)()()(0满足傅立叶变换的要求为有限值时，函数当ttetutfdtetf0)(21)()(21)()(21)(dteetfdteetutfFdeFetftittittitidsd,is则令dsesfitfdtetfsFiistst)(21)()()(0从上面推导可知，函数f(t)(t0)拉普拉斯变换，实际上就是函数f(t)u(t)e-t的傅里叶变换。4 Laplace

3、变换的定义设f(t)为定义在0，）上的实变函数或复值函数，若含 复变量的积分在s的某个区域内存在，则由此积分定义的复函数称为函数f(t)的Laplace变换或像函数，记作F(s)=Lf(t)，)0(,(为实数）is0)(dtetfst0)()(dtetfsFst0)(为有限值dtetftdsesfitfiist)(21)(而f(t)称为F(s)的拉氏逆变换或原函数，记作f(t)=L-F(s)，上式也称作黎曼-梅林反演公式。二 Laplace变换的存在条件1 Laplace 变换存在的充分条件是：（1）在 0 t 0 和 0，使对于任何t (0 t 上有意义，而且是一个解析函数。三 例题例1 指

4、数函数 eat (a为复常数) Re (Re 1 1d1 )(d1 d L 0)(0)(0)(0)(asaseaseastaseasteetastastastasat例2 Heaviside阶跃 函数:0 , 00 , 1)(tttu)0(Re 1d 1)( L0sstetfst例3 线性函数f (t) = t (t 0): )0(Re 1| 1)d( 1d 1|1)(d 1d)( L 2 0 0220 0 00 ssesstestestesetsttetfstststststst例4atttfe )() Re (Re )(1| )(1)(d 10 1d | 1d 1d L 2 0 )(20)

5、(0)( 0 )(0)(0)(asaseastaseasasteetasetastettetastastastastastasat同理) Re (Re )(! L1asasnetnatn解：ttftttftttfss-st-st-std)( e d)()(ed)(ed dddF(s)000从而类推nnnnssFtftd)(d) 1()( 例5)( tft求sFtftd(s)d) 1()( 6.2 基本函数的拉普拉斯变换一 单位阶跃函数二 (t)函数1(t)L0t)()(00000，当ststedtttettL三 函数tn（n-1)的拉氏变换1010) 1(1)(L,stxnxnnxnnsndx

6、exssdxesxt则令dtettLstnn06.3 Laplace 变换的基本性质Laplace 变换F(s) 的特性：（1） F(s) 在 Re(s)0 的半平面代表一个解析函数。（2）当 |Arg s| /2 - ( 0) 时：0)(limsFs,|s存在， )(sF且满足0+i0-is 平面o解析区域)()()()( 22112211sFcsFctfctfc)0 (Re i1i1i 21 i 21sin 22iisssseettt)0(Re 21cos 22iissseettt ) Re (Re 1 spspest 一 线性定理：与 Fourier 变换一样。例注意：一、初始条件进入L

7、apace 变换公式中，这一点在实际 应用中非常重要。二、原函数对 t 的求导，变成像函数 与p 相乘。)0()()( fssFtf)0()0( )0( )0()()( )1()2(21)(nnnnnnfsffsfssFstf0)(elim)(tfiptt二 原函数导数定理:原函数对 t 的积分变成像函数与 s 相除)( 1d)( 0tst三 原函数积分定理:四 相似性定理五 位移定理：六 延迟定理：)()( sFtfet)()( 00sFettfst)(1)( asFaatf),()( ),()( 2211sFtfsFtfttfftftf02121d)()()(*)(七 卷积定理:)()()

8、(*)( 2121sFsFtftf八 像函数微分性质nnnndssFdtft)() 1()(即： 像函数求积分，相当于原函数除 t 的像函数。 )( d )(sttfssF九 像函数积分定理十 关于参数的运算对于含参数的函数f(t,)的拉氏变换来说，由于关于t的积分（即拉氏变换）与关于的运算顺序可以交换，所以aaaadsFdtfLsFtfLsFtfL00),(),(),(),(),(lim),(lim十一 初值定理)(lim)(lim)0()(lim),()(L0ssFtffssFsFtfsts存在，则且设十二 终值定理)(lim)(lim)(0Re)()(lim),()(L00ssFtfFs

9、ssFtfsFtfstt的平面上，则的奇点位于存在，或且设例1（P205例10.3.4）的拉氏变换。求积分正弦函数dtti0sin)(S例2（P206例10.3.5）的拉氏变换。求积分余弦函数dtticos)(C例3（补充例题）求解初始问题020ttyeydtdy例4（补充例题）求解初始问题0 00ttyytyy例5（补充题，利用原函数积分法求解积分方程）设C，R，E为正常数，求解积分方程（该方程来自电路理论）ttEdttiCtRi0)0()(1)(6.3 Laplace变换的反演关于 t 的微分方程 关于 p的代数方程关于 p的代数方程 原微分方程的解Laplace 变换 Laplace 变

10、换的反演一 有理分式的反演 把有理分式分解,然后利用一些基本公式和 Laplace 变换的性质求原函数。 一般步骤：1）化简，使分子幂次低于分母； 2）分母分解因式； 3）利用待定系数法进行部分分式展开 4）利用拉氏变换表求解注：需要注意多阶极点和共轭极点的情况。例1 求 的原函数（p208例10.4.1）) 3)(2)(1(1)(2sssssF例2 求 的原函数（p208例10.4.2）) 1)(1(13)(2ssssF例3 求 的原函数813692)(423sssssF解)3( 339) 3( 21) 3( 21) 9)(3)(3(3692)(222223ssssssssssssF因此原函

11、数为tteetftt3sin313cos)(21)(33i 3i 333) 9)(3)(3(3692223sDsCsBsAssssssI通分后比较p的同次幂系数得：919) 3(21) 3(2191) 3(21) 3(21,i)/63(i)/63(2/12/136i27i272727999992i 3i 3331222sssssssssIDCBADCBADCBADCBADCBADCBA代入原式得二 查表法反演例4：求 的原函数。sesFs )(由表查得解tsL 111又由延迟定理)()( 00sFettfpt)(1e 1tss例5 求 的原函数。解：由表查得由位移定理：因此原函数为2222)(

12、 )(sss和2222cos sin sstst和tesstftestfttcos)( )(sin)( )(22122211)()( sFtfet例6 求 的原函数（p210例10.4.5）2222)22() 1()(sssssF*三 一般反演方法：黎曼-梅林反演公式在 L 右边，像函数解析，无奇点。故作围道 (L+CR) 在 L 的左边。设 在 L 的左边只有有限个孤立奇点 pk，由留数定理因在 L 的右边无奇点，所以可以说：pk 是全平面上像函数的奇点。(如果像是多值函数，问题比较复杂)(sFiide )(i 21)(ssFtfpt)(Res)(stesFtfFourier变换与Lapla

13、ce变换的比较1 Fourier 变换 与 逆变换比较对称，但 Fourier 变换对函数要求较严；数值计算比较成熟（FFT）;2 尽管 Laplace 逆变换是复变积分，因像函数是一个解析函数，可以利用复变函数理论的公式; 无现成的数值计算程序；每个问题的极点分布不一样。6.4 拉普拉斯变换应用举例一 利用拉氏变换求积分（1）如求 的积分，先求 的积分，然后令t=1。02)cos(dxx02)0()cos(xdxtx例1（p215例10.5.2）dxeIx02（2）若 ，则)()(sFtfL00)(lim)(sFtfs例2（p216例10.5.3）0sintdtteIat（3）若 ，则利用基

14、本公式11和初值定理，得到)()(sFtfL00)()(dssFdf例2（p216例10.5.4）)0(0badtteeIbtat二 利用拉氏变换求解微分方程，积分方程例1 （p217例10.5.6）解方程0)0( , 1)0(0)()( )( yyttytytty例2 L-R串联电路有交流源 E=E0sint, 求电路中的电流。LRE(t)K解：电流方程：0)0(sindd0jtERjtjL两边作 Laplace 变换：220)()(sEsRJsLsJ解得：220)(sRLsEsFtLRtLRtLRLRttLRtLRteLRLEtLtRLRELRLReeLEeeLEeLEtj22202220

15、022000)(00cossin|/cossin/dsindsin)(220/1)(sLRsLEsJtLRLRsts)/(1221e/1 ,sin 应用卷积定理第一项：稳定振荡，第二项：衰减见下页ttgfgfsGsF0d)()( )()(222222cossind sind sinsincos)sind( cosd coscos)osd(1dsinbaaxaaxbexeaxxeaxabaxeabaxaeaxeabaxaexeaxabaxaeaxceaxeaxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbxbx)sin(cossinsincoscossincossin2220222022222222202220tLREttLREtLRLtLRRLREtLtR