高中数学圆的方程专题复习

1、高中数学圆的方程典型题型归纳总结类型一：巧用圆系求圆的过程在解析几何中，符合特定条件的某些圆构成一个圆系，一个圆系所具有的共同形式的方程称为圆系方程。常用的圆系方程有如下几种：以为圆心的同心圆系方程过直线与圆的交点的圆系方程过两圆和圆的交点的圆系方程此圆系方程中不包含圆，直接应用该圆系方程，必须检验圆是否满足题意，谨防漏解。当时，得到两圆公共弦所在直线方程例 1：圆与直线相交于两点，为坐标原点，假设，求实数的值。分析：此题最易想到设出，由得到，利用设而不求的思想，联立方程，由根与系数关系得出关于的方程，最后验证得解。倘假设充分挖掘此题的几何关系，不难得出在以为直径的圆上。而刚好为直线与圆的交点

2、，选取过直线与圆交点的圆系方程，可极大地简化运算过程。解：过直线与圆的交点的圆系方程为：，即资料. 依题意，在以为直径的圆上，那么圆心显然在直线上，那么，解之可得又满足方程，那么故例 2：求过两圆和的交点且面积最小的圆的方程。解：圆和的公共弦方程为，即过直线与圆的交点的圆系方程为，即依题意， 欲使所求圆面积最小，只需圆半径最小， 那么两圆的公共弦必为所求圆的直径，圆心必在公共弦所在直线上。即，那么代回圆系方程得所求圆方程例 3: 求证： m为任意实数时，直线(m 1)x (2m 1)y m 5 恒过一定点P，并求 P 点坐标。分析：不管 m为何实数时，直线恒过定点，因此，这个定点就一定是直线系

3、中任意两直线的交点。解：由原方程得m(x 2y 1) (x y 5) 0，x2y10解得 x9即 xy50y4 ，资料直线过定点P 9， 4注：方程可看作经过两直线交点的直线系。例 4 圆 C： x 1 2 y 2 2 25，直线 l ： 2m+1 x+ m+1 y7m 4=0m R .（ 1证明：不管 m取什么实数，直线 l 与圆恒交于两点；（ 2求直线被圆 C截得的弦长最小时 l 的方程 .剖析：直线过定点，而该定点在圆内，此题便可解得. 1证明： l 的方程 x+y 4+m 2x+y 7 =0.2x+y 7=0，x=3， m R，+ 4=0， 得=1，x yy即 l 恒过定点 A 3，

4、1.圆心 C 1， 2， AC5 5半径，点 A在圆 C内，从而直线l 恒与圆 C相交于两点 .（ 2解：弦长最小时， l AC，由 kAC 1 ， 2 l 的方程为 2x y 5=0.评述：假设定点A在圆外，要使直线与圆相交那么需要什么条件呢？思考讨论类型二：直线与圆的位置关系例 5、假设直线 yxm与曲线 y4x 2有且只有一个公共点，求实数m 的取值范围 .解：曲线 y4x2表示半圆 x 2y 24( y 0) ，利用数形结合法，可得实数m 的取值范围是2m 2 或 m2 2 .变式练习： 1. 假设直线 y=x+k 与曲线 x=1y2恰有一个公共点，那么k 的取值范围是 _.解析：利用

5、数形结合 .答案： 1 k1 或 k=2例 6圆 ( x 3) 2( y3)29 上到直线 3x4 y 11 0 的距离为1 的点有几个？分析： 借助图形直观求解或先求出直线l1 、 l2 的方程，从代数计算中寻找解答解法一： 圆 (x3)2( y3)29的圆心为 O1(3 , 3) ，半径 r3设圆心 O1 到直线 3x4 y113343110 的距离为 d ，那么 d32422 3 如图，在圆心 O1 同侧，与直线 3x 4 y11 0 平行且距离为1 的直线 l1 与圆有两个交点，这两个交点符合题意资料又 r d 3 2 1与直线 3x4 y110 平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也

6、符合题意符合题意的点共有3 个解法二： 符合题意的点是平行于直线3x4 y110 ，且与之距离为1 的直线和圆的交点设所求直线为 3x 4 y m0m11，那么 d1，3242 m 11 5 ，即 m 6 ，或 m 16 ，也即l1：3x 4y6 0 ，或 l 2：3x 4 y 16 0 设圆(3)2(y3)29的圆心到直线l1 、 l 2 的距离为 d1 、 d2 ，那么O1：x334363343161d132423 ， d23242 l1 与 O1 相切，与圆 O1 有一个公共点； l2与圆 O1 相交，与圆 O1 有两个公共点即符合题意的点共3个说明： 对于此题，假设不留心，那么易发生以

7、下误解：设圆心 O1 到直线 3x4 y11 0 的距离为 d ，那么 d33431132422 3圆 O1 到 3x4y11 0距离为 1 的点有两个显然，上述误解中的d 是圆心到直线 3x4 y110 的距离， dr ，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1类型三：圆中的最值问题例 7：圆 x 2y 24 x4 y 10 0 上的点到直线x y140 的最大距离与最小距离的差是解 ： 圆 ( x 2) 2( y2) 218 的 圆 心 为 2 ， 2 ， 半 径 r3 2，圆心到直线的距离d10，直线与圆相离，圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是5 2 r

8、2(d r ) (d r )2r6 2 .资料例 8(1) 圆(3)2(y4)21， P(x , y) 为圆 O 上的动点，求 d x22的最大、最小值O1：xy(2) 圆(2)2y21y2 的最大、最小值，求x2 y的最O2：x， P( x , y) 为圆上任一点求1x大、最小值分析： (1) 、 (2) 两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决解： (1)( 法 1) 由圆的标准方程( x3) 2( y4) 21可设圆的参数方程为x3cos,是参数y4sin,那么 dx 2y296 coscos2168 sinsin 2266 cos8sin2610 cos() 其中

9、 tan43所以 dmax261036 ， dmin261016 ( 法 2) 圆上点到原点距离的最大值d 1 等于圆心到原点的距离'1，圆上点到原点距离的最d1 加上半径小值 d2 等于圆心到原点的距离'减去半径 1d 1所以 d1324216d2324214 所以 dmax36 dmin16 (2) ( 法 1) 由 (x 2)2y 2x2cos ,1 得圆的参数方程：是参数y sin,那么 y2sin2 令 sin2t ，x1cos3cos3得 sint cos23t， 1t 2sin()23t23tsin()133t33 1 t 244所以 tmax3333， tmin

10、44即 y2 的最大值为33 ，最小值为 33 x144此时 x2 y2 cos2 sin25 cos() 资料所以 x2 y 的最大值为 25，最小值为 2 5( 法 2) 设 y2k ，那么 kxy k 2 0 由于 P( x , y) 是圆上点，当直线与圆有交点时，如图所x1示，两条切线的斜率分别是最大、最小值由 d2kk233 k 21，得 k14所以 y2 的最大值为 33 ，最小值为 33 x144令 x2 y t ，同理两条切线在x 轴上的截距分别是最大、最小值由 d2m1 ，得 m25 5所以 x2 y 的最大值为25 ，最小值为25 例 9、对于圆 x2( y1) 21上任一点 P(x , y) ，不等式 xy m 0 恒成立，求实数m 的取值范围设圆 x2( y1)21上任一点 P(cos,1 sin)0,2) xcos ， y1 sin xym0 恒成立 cos1sinm0即 m (1 cos sin ) 恒成立只须m 不小于(1cossin ) 的最大值设 u(sincos) 12 si