FIR滤波器的设计

1、数字信号处理数字信号处理引引 言言IIR 数字滤波器设计利用模拟滤波器的设计成果，可以简便、有效数字滤波器设计利用模拟滤波器的设计成果，可以简便、有效地完成数字滤波器的设计。但是地完成数字滤波器的设计。但是 IIR 系统幅频特性的改善一般是系统幅频特性的改善一般是以相位的非线性为代价的。如果对系统有线性相位要求，以相位的非线性为代价的。如果对系统有线性相位要求，IIR 系统系统需要增加复杂的相位校正网络。需要增加复杂的相位校正网络。一个离散时间系统一个离散时间系统 H(z) = B(z)/A(z)，若分母多项式，若分母多项式 A(z) 的系数都的系数都等于零，那么该系统就变成等于零，那么该系统

2、就变成 FIR 系统，即系统，即显然，系数显然，系数 记为该系统的单位抽样响应记为该系统的单位抽样响应 ，并且当并且当 nN-1 时，有时，有 h(n)=0。1110110( )NNnNnnH zbb zbzb z011,Nb bb(0), (1), (1)hbh N 引引 言言FIR 滤波器的优点之一：系统总是稳定的。滤波器的优点之一：系统总是稳定的。FIR 滤波器的系统函数可以表示为滤波器的系统函数可以表示为易知，易知，H(z) 在在 Z 平面上有平面上有 N-1个零点，个零点，z=0 是是 N-1 阶极点，因此阶极点，因此FIR 系统总是稳定的（极点都在单位圆内）。系统总是稳定的（极点都

3、在单位圆内）。FIR 滤波器的优点之二：容易实现线性相位。滤波器的优点之二：容易实现线性相位。当当 FIR 系统的单位冲激响应满足系统的单位冲激响应满足时，该系统具有线性相位。时，该系统具有线性相位。1101)1(10)()()()(NNnnNNNnnzzfznhzznhzH)1()(nNhnh2/ ) 1()(N2/ ) 1(2/)(N（N为奇数）为奇数）（N为偶数）为偶数）当当 FIR 系统的单位抽样响应满足对称条件，即系统的单位抽样响应满足对称条件，即 ，则有则有令令 m=N-1-n，代入上式则有，代入上式则有)1()(nNhnh1010)1()()(NnnNnnznNhznhzH)()

4、()(1)1(101)1(zHzzmhzzHNNmmN由上式可以看出，由上式可以看出，H(z) 的零点也是的零点也是 H(z-1) 的的零点，反之亦然。令零点，反之亦然。令 zk 为为 H(z) 的一个零点，的一个零点，则则 (zk)* 、1/zk 和和 1/(zk)* 也是也是 H(z) 的零点。的零点。ImRe单位圆单位圆1Z平面平面0zk引引 言言引引 言言FIR 滤波器的优点之三：允许设置多通带（或多阻带）滤波器。滤波器的优点之三：允许设置多通带（或多阻带）滤波器。FIR 滤波器的优点之四：滤波器的优点之四：FIR 滤波器可以采用滤波器可以采用 FFT 方法实现其功方法实现其功能，从而

5、大大提高效率。能，从而大大提高效率。FIR 滤波器的缺点：由于滤波器的缺点：由于 FIR 系统只有零点，因此这类系统不像系统只有零点，因此这类系统不像FIR 滤波器不像滤波器不像 IIR 滤波器那样容易取得比较好的通带与阻带衰滤波器那样容易取得比较好的通带与阻带衰减特性。要取得较好的衰减特性，一般要求减特性。要取得较好的衰减特性，一般要求 H(z) 的阶次较高。的阶次较高。综合起来看，综合起来看， FIR 滤波器具有滤波器具有IIR 滤波器没有的许多特点，得到滤波器没有的许多特点，得到了越来越广泛的应用。了越来越广泛的应用。第十一章第十一章 FIR 滤波器设计滤波器设计窗函数法窗函数法频率抽样

6、法频率抽样法1. 窗函数法窗函数法考虑下图所示的低通数字滤波器：考虑下图所示的低通数字滤波器：假定其幅频响应假定其幅频响应 |Hd(j)|=1，相频特性，相频特性 ()=0，那么该滤波器的，那么该滤波器的单位冲激响应为：单位冲激响应为：|Hd(j)|0c-c2-2-1nndedejHnhcnjnjddcc)sin(21)(21)(n0/c1. 窗函数法窗函数法很显然，这样的系统是非因果的，因此是物理不可实现的。我们很显然，这样的系统是非因果的，因此是物理不可实现的。我们可以将可以将 hd(n) 截短并移位得到截短并移位得到 h(n):那么那么 h(n) 是因果的，且为有限长，长度为是因果的，且

7、为有限长，长度为 M+1，令，令即可得所设计的滤波器的系统函数。即可得所设计的滤波器的系统函数。n0MnMnhnhd, 1 , 0 ),2()(-M/2M/2移位移位MnnznhzH0)()(1. 窗函数法窗函数法如果指定如果指定 H(j) 相频特性相频特性 () 时，不是令其为时，不是令其为 0，而是令，而是令则有则有此时此时hd(n) 是以是以 n=M/2 对称的，因此对称的，因此2/)(M/2/21( )|()|2sin (/ 2)12(/ 2) ccj njMddcj njMhnHjeednMeednMn0M/2MMnnhnhd, 1 , 0 ),()(习题习题 ：设计一个设计一个 F

8、IR 低通滤波器，使得所希望的频率响应低通滤波器，使得所希望的频率响应 Hd(j)在在 之间为之间为 1，在，在 之间为之间为 0，分别取，分别取 M = 10, 20, 40, 观察其幅频响应的特点。观察其幅频响应的特点。解答：解答：给出给出 Hd(j)然后然后为了使得为了使得 H(0)=1，可对，可对 h(n) 归一化，即归一化，即 25. 0025. 0 25. 0 , 025. 00 ,)(2/jMdejH1. 窗函数法窗函数法)2/()2/(sin)(MnMnnhcd)2/(25. 0)2/(sin)(MnMnnhd( )( ),0,1, dh nhnnMMnnhnhnh, 1 ,

9、0 ,)()()(归一化的单位冲激响应归一化的单位冲激响应 h(n) ：1. 窗函数法窗函数法M =10M =20M =40相应的幅频响应：相应的幅频响应：吉布斯现象的产生是由于对吉布斯现象的产生是由于对 hd(n) 的截短所造成的。将无穷长的的截短所造成的。将无穷长的hd(n) 仅取长为仅取长为 M+1 的一段，相当于在的一段，相当于在 hd(n) 上施加了长为上施加了长为 M+1的矩形窗的矩形窗 w(n)。时域加窗导致频域。时域加窗导致频域 Hd(j) 和矩形窗频谱的卷积。和矩形窗频谱的卷积。1. 窗函数法窗函数法“吉布斯（吉布斯（Gibbs）现象）现象”时域相乘对应于频域卷积，因此幅频响

10、应为：时域相乘对应于频域卷积，因此幅频响应为：将无限长序列将无限长序列 hd(n) 截短得到得截短得到得 h(n) ，这一过程相当于，这一过程相当于 hd(n) 和矩和矩形窗形窗 wR(n) 相乘，即相乘，即矩形窗函数及其频谱为矩形窗函数及其频谱为( ),01( )( )( )0, ddRh nnNh nh n wn其它11( )( )()( )()22dRdRHHWjHWd1,01( )0, RnNwn其它1122sin(/ 2)()( )sin(/ 2)NNjjRRNWjeWe1. 窗函数法窗函数法用截止频率为用截止频率为 c 的理想低通滤波器为例来进行分析，则有的理想低通滤波器为例来进行

11、分析，则有上式中的积分等于上式中的积分等于 在在 c 到到 c 区间内函数区间内函数 WR(- )与与 轴围出轴围出的面积。随着的面积。随着 的变化，不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出的变化，不同正负、不同大小的旁瓣移入和移出积分区间，使得面积发送变化，即积分区间，使得面积发送变化，即 H() 的大小产生波动。这就的大小产生波动。这就意味着卷积以后得到的幅频响应意味着卷积以后得到的幅频响应 H() 其实就是其实就是 Hd() 经过窗函经过窗函数处理后轮廓被模糊的表现形式。数处理后轮廓被模糊的表现形式。1. 窗函数法窗函数法1( )()2ccRHWd0-c-c Hd()0- WR()2/N考察几

12、个特殊的频率点：考察几个特殊的频率点：1. 窗函数法窗函数法0-c-c 0-c-c 1( )()2ccRHWd=0=c当当 =0时：时：如果如果 c2/N，H(0)近似近似等于等于WR() 的全部面积。的全部面积。 1(0)()2ccRHWd当当 = c 时：时：如果如果 c 2/N， 1()()2cccRcHWd21)0()(HHc1. 窗函数法窗函数法0-c-c 0-c-c 1( )()2ccRHWd=c- 2/N=c+2/N当当 =c-2/N时：时：如果如果 c 2/N， 0895. 1)0()2(HNHc当当 =c+2/N时：时：如果如果 c 2/N， 212()()2cccRcHWd

13、NN212()()2cccRcHWdNN0895. 0)0()2(HNHc1. 窗函数法窗函数法最终得到最终得到 H(j) ：由上图可知，加窗处理使得得滤波器的频率响应与理想滤波器的由上图可知，加窗处理使得得滤波器的频率响应与理想滤波器的频率响应之间产生差异，表现为过渡带和波动的出现。我们希望频率响应之间产生差异，表现为过渡带和波动的出现。我们希望所设计的滤波器尽量逼近理想滤波器，就要设法减少波动的幅度，所设计的滤波器尽量逼近理想滤波器，就要设法减少波动的幅度，同时使过渡带变窄。同时使过渡带变窄。0-c-c1/21.0895-0.89511. 窗函数法窗函数法n过渡带：过渡带是正负尖峰之间的频

14、带。过渡带的带宽等于过渡带：过渡带是正负尖峰之间的频带。过渡带的带宽等于所用窗函数频谱的主瓣宽度。对于矩形窗来说，过渡带的带所用窗函数频谱的主瓣宽度。对于矩形窗来说，过渡带的带宽为宽为 4/N。对于某一特定类型的窗函数，增大窗的宽度可使。对于某一特定类型的窗函数，增大窗的宽度可使过渡带变窄。过渡带变窄。n波动：波动是由窗函数频谱的旁瓣引起。波动的幅度及多少波动：波动是由窗函数频谱的旁瓣引起。波动的幅度及多少取决于旁瓣的相对幅度及数量。旁瓣的相对幅度越大，波动取决于旁瓣的相对幅度及数量。旁瓣的相对幅度越大，波动的幅度就越大。旁瓣越多，产生的波动也越多。波动的幅度的幅度就越大。旁瓣越多，产生的波动

15、也越多。波动的幅度只取决于窗函数的类型，而与窗的宽度无关。只取决于窗函数的类型，而与窗的宽度无关。在设计在设计 FIR 数字滤波器时，窗函数的频谱应该满足：数字滤波器时，窗函数的频谱应该满足：n主瓣宽度尽可能的窄，以使过渡带尽量陡峭；主瓣宽度尽可能的窄，以使过渡带尽量陡峭；n最大旁瓣相对于主瓣尽可能的小，使能量尽可能集中于主瓣最大旁瓣相对于主瓣尽可能的小，使能量尽可能集中于主瓣内，这样能够使得波动减小。内，这样能够使得波动减小。在引入其它类型的窗函数之前，先定义如下指标：在引入其它类型的窗函数之前，先定义如下指标： 主瓣宽度主瓣宽度 精确过渡带带宽（精确过渡带带宽（3dB带宽）带宽） 最大旁瓣

16、幅度最大旁瓣幅度 旁瓣衰减速度旁瓣衰减速度0归一化归一化 |W(j)|/dB-31. 窗函数法窗函数法阻带最小衰减阻带最小衰减1. 窗函数法窗函数法矩形窗：矩形窗：三角窗：三角窗： , 010 , 1)(其它NnnwR)2/sin()2/sin()(21NejWNjR 121 ,122210 ,12)(NnNNnNnNnnw212)2/sin()4/sin(2)(NjeNNjW)2/sin()2/sin()(NWR2)2/sin()4/sin(2)(NNW1. 窗函数法窗函数法汉宁（汉宁（Hanning）窗）窗:汉明（汉明（Hamming）窗）窗: 1, 2 , 1 , 0 ),12cos(5

17、 . 05 . 0)(NnNnnw21)2()2(25. 0)(5 . 0)(NjRRReNWNWWjW)2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWRRR 1, 2 , 1 , 0 ),12cos(46. 054. 0)(NnNnnw)2()2(23. 0)(54. 0)(NWNWWWRRR1. 窗函数法窗函数法布莱克曼（布莱克曼（Blackman）窗）窗: 1, 2 , 1 , 0 ),14cos(08. 0)12cos(5 . 042. 0)(NnNnNnnw)4()4(04. 0 )2()2(25. 0)(42. 0)(NWNWNWNWWWRRRRR1. 窗函数法窗函数法 5 种

18、窗函数种窗函数:1. 窗函数法窗函数法 5 种窗函数的幅频函数种窗函数的幅频函数:1. 窗函数法窗函数法 5 种窗函数的指标种窗函数的指标:n矩形窗最简单，但其矩形窗最简单，但其 -21dB 的阻带最小衰减在实际应用中远的阻带最小衰减在实际应用中远远不够。另外，矩形窗还会造成很强的吉布斯效应。远不够。另外，矩形窗还会造成很强的吉布斯效应。n三角窗的阻带衰减性能与矩形窗相比有所改善，但代价是过三角窗的阻带衰减性能与矩形窗相比有所改善，但代价是过度带加宽。度带加宽。窗函数窗函数 主瓣宽度主瓣宽度 精确过渡带精确过渡带 最大旁瓣幅度最大旁瓣幅度 最小阻带衰减最小阻带衰减4/N8/N 8/N 8/N

19、12/N矩形窗矩形窗三角窗三角窗汉宁窗汉宁窗汉明窗汉明窗布莱克曼窗布莱克曼窗-13dB-27dB-31dB-41dB-57dB1.8/N6.1/N 6.2/N 6.6/N 11/N-21dB-25dB-44dB-53dB-73dB1. 窗函数法窗函数法n汉宁窗的幅频响应：汉宁窗的幅频响应：汉宁窗幅度谱中三个部分的求和结果，使得旁瓣互相抵消，从而汉宁窗幅度谱中三个部分的求和结果，使得旁瓣互相抵消，从而使能量更有效地集中于主瓣，但付出的代价则是主瓣宽度的使能量更有效地集中于主瓣，但付出的代价则是主瓣宽度的增加为矩形窗的两倍。增加为矩形窗的两倍。)2()2(25. 0)(5 . 0)(NWNWWWR

20、RR1. 窗函数法窗函数法n汉明窗与汉宁窗相比主瓣宽度保持不变，但最大旁瓣幅度减汉明窗与汉宁窗相比主瓣宽度保持不变，但最大旁瓣幅度减小为小为 -41dB，阻带最小衰减降低为，阻带最小衰减降低为 -53dB。n布莱克曼窗的最大旁瓣幅度得到了进一步的抑制（布莱克曼窗的最大旁瓣幅度得到了进一步的抑制（-57dB ），），最小阻带衰减达到最小阻带衰减达到 -74dB，但主瓣宽度却比矩形窗的主瓣宽度，但主瓣宽度却比矩形窗的主瓣宽度大三倍。大三倍。应用窗函数法设计应用窗函数法设计 FIR 数字滤波器的步骤：数字滤波器的步骤：根据所要设计的滤波器的性能指标（阻带最小衰减、过渡带根据所要设计的滤波器的性能指标

21、（阻带最小衰减、过渡带宽），通过查表来选定窗函数的类型和宽度：宽），通过查表来选定窗函数的类型和宽度： 一般情况下一般情况下 N 取奇数。取奇数。上取整滤波器过渡带窗函数的精确过渡带N1. 窗函数法窗函数法根据所期望的频率响应根据所期望的频率响应 Hd(j) 经过傅里叶反变换得到冲激响经过傅里叶反变换得到冲激响应应hd(n) 。如果所期望的。如果所期望的 Hd(j) 不是理想滤波器，而是存在过不是理想滤波器，而是存在过渡带，则设计中所使用的截止频率渡带，则设计中所使用的截止频率 c 不采用通带截止频率不采用通带截止频率 p或阻带截止频率或阻带截止频率 s ，而是使用它们的中点，即，而是使用它们

22、的中点，即求出求出 FIR 滤波器的单位冲激响应：滤波器的单位冲激响应：利用利用h(n) 计算计算 FIR 滤波器的频率响应滤波器的频率响应H(j)，并检验各项指标，并检验各项指标，如果不符合要求，则重新修改如果不符合要求，则重新修改 N 及及 w(n)。2spc10 ),()()(Nnnwnhnhd1. 窗函数法窗函数法)2/()2/(sin)(MnMnnhcd习题习题 ：设计一个设计一个FIR 低通滤波器，使得所希望的频率响应低通滤波器，使得所希望的频率响应 Hd(j)在在 之间为之间为 1，在，在 之间为之间为 0，分别采用矩形，分别采用矩形窗和汉明窗，窗函数长度窗和汉明窗，窗函数长度

23、M +1, M=30, 观察加窗后对滤波器幅频观察加窗后对滤波器幅频响应的影响。响应的影响。解答：解答：给出给出 Hd(j)然后然后其中其中 w(n) 为窗函数。为窗函数。25. 0025. 0 25. 0 , 025. 00 ,)(2/jMdejH)2/()2/(sin)(MnMnnhcd)2/(25. 0)2/(sin)(MnMnnhd)()()(nwnhnhd1. 窗函数法窗函数法求出的求出的 h(n)：1. 窗函数法窗函数法幅频响应：幅频响应：1. 窗函数法窗函数法习题习题 ：设计一个设计一个FIR 低通滤波器，其技术指标为：通带截止频率低通滤波器，其技术指标为：通带截止频率 fp=2

24、kHz，阻带截止频率，阻带截止频率 fs=3kHz ，阻带最小衰减，阻带最小衰减 40dB，采样频，采样频率率 Fs=10kHz。解答：解答：确定过渡带确定过渡带 和截止频率和截止频率 c 给出给出 Hd(j)求出单位冲激响应：求出单位冲激响应：kHz5 . 22pscfff5 . 0/2sccFf , 05 . 0 ,)(其它jdejH)()(5 . 0sin21)(nndeenhccjnjdkHz1psfff2 . 0/2sFf1. 窗函数法窗函数法阻带最小衰减阻带最小衰减 为为40dB，通过查表可知，汉宁窗即能满足要求，因，通过查表可知，汉宁窗即能满足要求，因此窗口长度为：此窗口长度为：

25、则则从而得到滤波器的单位冲激响应：从而得到滤波器的单位冲激响应：1. 窗函数法窗函数法312 . 02 . 6上取整上取整滤波器过渡带窗函数的精确过渡带N152/ ) 1( N)()15()15(5 . 0sin)(nwnnnh滤波器的冲激响应及幅频特性：滤波器的冲激响应及幅频特性：1. 窗函数法窗函数法数字高通滤波器的设计：数字高通滤波器的设计：令高通滤波器的频率响应为令高通滤波器的频率响应为则则从上述结果可以看出，一个高通滤波器相当于用一个全通滤波器从上述结果可以看出，一个高通滤波器相当于用一个全通滤波器减去一个低通滤波器。减去一个低通滤波器。1. 窗函数法窗函数法 0 , 0 ,)(cc

26、jdejH()()11( )221cos ()sin ()221cos ()sin ()22sin()sin()()= ccccccjnjndchnededjndndjndndnnn数字带通滤波器的设计：数字带通滤波器的设计：令带通滤波器的频率响应为令带通滤波器的频率响应为则则从上述结果可以看出，一个带通滤波器相当于两个截止频率不同从上述结果可以看出，一个带通滤波器相当于两个截止频率不同的低通滤波器相减。的低通滤波器相减。1. 窗函数法窗函数法 , 0 ,)(其它hljdejH)()(sin)(sin 2121)()()(nnndedenhlhnjnjdhllh数字带阻滤波器的设计：数字带阻滤

27、波器的设计：令带阻滤波器的频率响应为令带阻滤波器的频率响应为则则从上述结果可以看出，一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加从上述结果可以看出，一个带阻滤波器相当于一个低通滤波器加上一个高通滤波器。上一个高通滤波器。1. 窗函数法窗函数法 , 0 , ,)(其它hljdejH)()(sin)(sin)(sin 212121)()()()(nnnndededenhhlnjnjnjdhllh习题习题 ：设计一个设计一个 FIR 带通滤波器，其技术指标为：通带边缘在带通滤波器，其技术指标为：通带边缘在 3.5kHz 和和 4.5kHz 处处 ，中心频率在，中心频率在 4kHz 处，过渡带为处，过渡带为

28、0.5kHz，阻带最小衰减阻带最小衰减 50dB，采样频率，采样频率 Fs=22kHz。解答：解答：确定过渡带确定过渡带 、截止频率、截止频率 l 和和 h给出给出 Hd(j)kHz75. 42/5 . 05 . 42/kHz25. 32/5 . 05 . 32/31ffffffhl0455. 022/5 . 02/2sFf4318. 0/23045. 0/2shhsllFfFf , 0 ,)(其它hljdejH)()(sin)(sin)(nnnnhlhd1. 窗函数法窗函数法阻带最小衰减为阻带最小衰减为40dB，通过查表可知，汉明窗满足要求，因此窗，通过查表可知，汉明窗满足要求，因此窗口长度

29、为：口长度为：希望希望 N 为奇数，因此取为奇数，因此取 N=147，则有，则有从而得到滤波器的单位冲激响应：从而得到滤波器的单位冲激响应：1. 窗函数法窗函数法1460455. 06 . 6上取整上取整滤波器过渡带窗函数的精确过渡带N732/ ) 1( N)()73()(3045. 0sin)73(4318. 0sin)(nwnnnnh滤波器的冲激响应即幅频特性：滤波器的冲激响应即幅频特性：1. 窗函数法窗函数法LSI 系统可以在时域或频域中加以描述，因此，线性相位系统可以在时域或频域中加以描述，因此，线性相位 FIR 数数字滤波器也有两种相应的设计方法：窗函数法和频率响应法。窗字滤波器也有

30、两种相应的设计方法：窗函数法和频率响应法。窗函数法从时域出发，用窗函数对理想滤波器的单位冲激序列函数法从时域出发，用窗函数对理想滤波器的单位冲激序列 hd(n) 进行截短后得到序列进行截短后得到序列 h(n)，然后利用这个有限长序列，然后利用这个有限长序列 h(n) 去逼近去逼近 hd(n)，这样得到的频率响应逼近于理想的频率响应，这样得到的频率响应逼近于理想的频率响应 Hd(j)。频率采样法从频域出发进行逼近。设所要设计的频率采样法从频域出发进行逼近。设所要设计的 FIR 数字滤波器数字滤波器的频率响应为的频率响应为 Hd(j)，它是以，它是以 2为周期的周期函数。现在对其抽为周期的周期函数

31、。现在对其抽样，使每个周期内有样，使每个周期内有 N 个抽样值，即个抽样值，即2. 频率抽样法频率抽样法kNddkjHkH2)()(然后再对然后再对 Hd(k) 做做 IDFT，可得到，可得到 N 点单位冲激序列：点单位冲激序列：取取 h(n) 的的 DTFT，有：，有：2. 频率抽样法频率抽样法102)(1)(NknkNjdekHNnhdejHnhnjdd)(21)(2111000211001202()12()01()( )( )1( )11( )111( )1NNNjnkj nj nNdkkkNNjnkj nNdknj NNdjkkjNjk NNNdjkkNH jh n eHk eeNHk

32、eeNeHkNeeeHkNe逼近逼近2. 频率抽样法频率抽样法222()()()2221222()()()02221(1)/2(1)/0()1( )sin(2/)/ 2( )sin (2/)/ 2NNNjkjkjkNNNNdjjjkkkkNNNNj Nj NkNdkH jeeeHkNeeeNk NeHk eNk N这样，我们由连续的这样，我们由连续的 Hd(j) 抽样得到抽样得到 Hd(k)，由，由 Hd(k) 的反变换的反变换 得到得到 h(n)，再由，再由 h(n) 做做 DTFT 又得连续谱又得连续谱 H(j)，而，而 H(j) 是对是对Hd(j) 的逼近。的逼近。为了考察为了考察 H(

33、j) 对对Hd(j) 的逼近效果，我们对的逼近效果，我们对 H(j) 再抽样，令再抽样，令抽样点数抽样点数 l=mN，m 为大于为大于 1 的整数，得的整数，得 H(l), l=1,2,mN-1，则，则有：有：显然，如果显然，如果 l=mk，那么，那么 ，这就说明频，这就说明频率响应率响应 H(j) 在在 l=mk 的抽样点上严格的等于的抽样点上严格的等于 Hd(j)，而在，而在 lmk 的抽样点上的抽样点上 H(j) 是由内插函数的插值所决定的。是由内插函数的插值所决定的。 2. 频率抽样法频率抽样法2/ )/2/2(sin2/ )/2/2(sin)( )()(/)1(10/)1(2NkmN

34、lNNkmNlNekHejHlHNkNjNkdmNlNjlmNl1, 1 , 0 ),()(NkkHlHd定义内插函数：定义内插函数：则有：则有：连续谱连续谱 H(j) 是以是以 N 个离散值个离散值 Hd(k) 作为权重和插值函数作为权重和插值函数 S(,k)线性组合的结果。显然，线性组合的结果。显然，N 越大越大 H(j) 对的对的 Hd(j) 逼近程度越好。逼近程度越好。这种滤波器的设计方法称为频率抽样法。这种滤波器的设计方法称为频率抽样法。2. 频率抽样法频率抽样法2/ )/2/2(sin2/ )/2/2(sin),(/)1(NkmNlNNkmNlNekSNkNj),()()(102/

35、)1(kSkHejHNkdNj应用频率抽样法设计滤波器需要首先指定应用频率抽样法设计滤波器需要首先指定 Hd(k)。指定的。指定的 Hd(k) 应应满足下述条件：满足下述条件：通带内通带内 |Hd(k)|=1，阻带内，阻带内 |Hd(k)|=0，且在通带内赋给，且在通带内赋给 Hd(k) 一一个相位函数；个相位函数；指定的指定的 Hd(k) 保证求出的保证求出的 h(n) 是实的。是实的。由由 h(n) 求出的求出的H(j) 具有线性相位。具有线性相位。首先考虑第首先考虑第2个条件。如果要求个条件。如果要求 h(n) 是实的，则：是实的，则：2. 频率抽样法频率抽样法102)()(NnnkNj

36、denhkH)()()()()(102102kNHkHenhenhkHddNnnkNjNnnkNjd然后考虑第然后考虑第3个条件。个条件。如果如果 为实数，则为实数，则 H(j) 具有线性相位具有线性相位考虑到考虑到 |Hd(k)|=1因此有因此有把以上结果结合起来考虑：把以上结果结合起来考虑：当当 N 为偶数时，为偶数时， , 这与这与 DFT 的对称性质不符，此的对称性质不符，此时不能再按照时不能再按照 指定指定Hd(k)。2. 频率抽样法频率抽样法)()()1(/)1()1(/)(1(kHeeeekNHdNjNkNjNjNkNNjd2/ )/2(sin2/ )/2(sin)()(/)1(

37、102/)1(NkNNkNekHejHNkNjNkdNjNkNjdekH/)1()(2/) 1()(N1, 1 , 0 ,)(/)1(NkekHNkNjd)()(kHkNHddNkNjdekH/)1()(按照如下的原则指定按照如下的原则指定 Hd(k) ：当当 N 为偶数时，为偶数时，或者或者:当当 N 为奇数时，为奇数时，2. 频率抽样法频率抽样法1, 12/ ,2/ , 012/, 1 , 0 ,)(/)1(/)1(NNkeNkNkekHNkNjNkNjd1, 1 , 0 ,)(/)1(NkekHNkNjd2/ , 0)2/(12/, 2 , 1 ),()(12/, 1 , 0 ,)(/)1(NkNHNkkHkNHNkekHdddNkNjd回忆回忆 FIR 系统的线性相位特性。当系统的单位冲激响应满足系统的线性相位特性。当系统的单位冲激响应满足时，该系统具有线性相位。时，该系统具有线性相位。类型类型滤波器：滤波器： ，且，且 N 为奇数。为奇数。类型类型 滤波器：滤波器： ，且，且 N 为偶数。为偶数。)1()(nNhnh)1()(nNhnh2/ )1(02/ )1()cos()()(NnNjnnaejH2/ ) 1()(N)1()(nNhnh2/ ) 1()(N2/12/ )1(21cos)()(NnNjnnbejH2. 频率抽样法频率抽样法类型类型 滤波器：滤波器：