2020年中考三轮冲刺复习培优同步练习：《二次函数》动点问题压轴

1、同步练习：二次函数动点问题压轴1如图，在平面直角坐标系中，二次函数yx2+6x5的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其顶点为P，连接PA、AC、CP，过点C作y轴的垂线l（1）P的坐标 ，C的坐标 ；（2）直线1上是否存在点Q，使PBQ的面积等于PAC面积的2倍？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由2如图所示，抛物线yax2+bx+4的顶点坐标为（3，），与y轴交于点A过点A作ABx轴，交抛物线于点B，点C是第四象限的抛物线上的一个动点，过点C作y轴的平行线，交直线AB于点D（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点E在y轴的负半轴上，且AEAD，直线CE交抛物线yax2+bx+4

2、于点F求点F的坐标；过点D作DGCE于点G，连接OD、ED，当ODECDG时，求直线DG的函数表达式3如图，已知抛物线yx2+x+4，且与x轴相交于A，B两点（B点在A点右侧）与y轴交于C点（1）若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点（不与B、C重合），则是否存在一点P，使PBC的面积最大若存在，请求出PBC的最大面积；若不存在，试说明理由（2）若M是抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线BC于点N，当MN3时，求M点的坐标4函数的图象与性质拓展学习展示：【问题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线G1：yax2+bx+与x轴相交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，则a ，

3、b 【操作】将图中抛物线G1沿BC方向平移BC长度的距离得到抛物线G2，G2在y轴左侧的部分与G1在y轴右侧的部分组成的新图象记为G，如图请直接写出图象G对应的函数解析式【探究】在图中，过点C作直线l平行于x轴，与图象G交于D，E两点，如图求图象G在直线l上方的部分对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围【应用】P是抛物线G2对称轴上一个动点，当PDE是直角三角形时，直接写出P点的坐标5如图，已知二次函数yx24的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，C的半径为，P为C上一动点（1）点B，C的坐标分别为B ，C ；（2）当P点运动到（1，2）时，判断PB与C的位置关系，并说出理由；（3）是

4、否存在点P，使得PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）连接PB，若E为PB的中点，连接OE，则OE的最大值 6如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，将ABO沿x轴正方向平移后，点A、点B的对应点分别为点D、点C，且四边形ABCD为菱形，连接AC，抛物线yax2+bx+c经过A、B、C三点，点P为AC上方抛物线上一动点，作PEAC，垂足为E（1）求此抛物线的函数关系式；（2）求线段PE长度的最大值；（3）如图，延长PE交x轴于点F，连接OP，若OPF为等腰三角形，请直接写出点P的坐标7如图，直线yx3分别与x轴、y轴交于点B，C，抛物线yax2

5、+bx+c经过B，C两点，且与x轴的另一交点为A（1，0）（1）求抛物线的函数解析式；（2）如图，点P在第三象限内的抛物线上连接AC，PB，PC，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；G为x轴上一点，当PG+AG取得最小值时，求点P的坐标；（3）如图，Q为x轴下方抛物线上任意一点，D是抛物线的对称轴与x轴的交点，直线AQ，BQ分别交抛物线的对称轴于点M，N问：DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由8如图，已知抛物线yax2+bx+c与直线yx+相交于A（1，0），B（4，m）两点，抛物线yax2+bx+c交y轴于点C（0，），交x轴正半轴于点D，抛物线的顶点为

6、M（1）求抛物线的表达式及点M的坐标；（2）设P为直线AB下方的抛物线上一动点，当PAB的面积最大时，求此时PAB的面积及点P的坐标；（3）Q为x轴上一动点，N是抛物线上一点，当QMNMAD（点Q与点M对应）时，求点Q的坐标9已知抛物线yax2+bx+c（a0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C（0，3），顶点D的坐标为（1，4）（1）求抛物线的解析式（2）在y轴上找一点E，使得EAC为等腰三角形，请直接写出点E的坐标（3）点P是x轴上的动点，点Q是抛物线上的动点，是否存在点P、Q，使得以点P、Q、B、D为顶点，BD为一边的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P、Q坐标；

7、若不存在，请说明理由10已知：如图，抛物线yax2+4x+c经过原点O（0，0）和点A （3，3），P为抛物线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，垂足为B（m，0），并与直线OA交于点C（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OA上方时，求线段PC的最大值11如图，二次函数y+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），与y轴交于点C若点P，Q同时从A点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB，AC边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动（1）直接写出二次函数的解析式；（2）当P，Q运动到t秒时，将APQ沿PQ翻折，若点A恰好落在抛物线上D点处，求出D点坐标；（3）当点P运动

8、到B点时，点Q停止运动，这时，在x轴上是否存在点E，使得以A，E，Q为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出E点坐标；若不存在，请说明理由12如图1，在平面直角坐标系中，直线yx+4与抛物线y+bx+c（b，c是常数）交于A、B两点，点A在x轴上，点B在y轴上设抛物线与x轴的另一个交点为点C（1）求该抛物线的解析式；（2）P是抛物线上一动点（不与点A、B重合），如图2，若点P在直线AB上方，连接OP交AB于点D，求的最大值；如图3，若点P在x轴的上方，连接PC，以PC为边作正方形CPEF，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变当顶点F恰好落在y轴上，求出对应的点P的坐标13如图1，

9、在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线yax2+bx+c经过A、B、C三点，且其对称轴为x1，其中点C（0，），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点D是直线CB上方抛物线上的动点，当四边形DCAB的面积取最大值时，求点D的坐标；如图（2），连接CA，在抛物线上有一点M，满足MCBACO，请直接写出点M的横坐标14如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线C1：yx2+6x+2的顶点为M，与y轴相交于点N，先将抛物线C1沿x轴翻折，再向右平移p个单位长度后得到抛物线C2，直线l：ykx+b经过M，N两点（1）求点M的坐标，并结合图象直接写出不等式x2+6x+2kx+b的解集；（2）

10、若抛物线C2的顶点D与点M关于原点对称，求p的值及抛物线C2的解析式；（3）若抛物线C1与x轴的交点为E、F，试问四边形EMBD是何种特殊四边形？并说明其理由15如图1，已知抛物线yx2+2x+3与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴交于点C其顶点为D（1）求点D的坐标和直线BC对应的一次函数关系式；（2）若正方形PQMN的一边PQ在线段AB上，另两个顶点M、N分别在BC、AC上，试求M、N两点的坐标；（3）如图2，E是线段BC上的动点，过点E作DE的垂线交BD于点F，求DF的最小值参考答案1解：（1）yx2+6x5（x3）2+4，顶点P（3，4），令x0得到y5，C（0，5）故答案为：（

11、3，4），（0，5）；（2）令y0，x26x+50，解得x1或5，A（1，0），B（5，0），设直线PC的解析式为ykx+b，则有，解得：，直线PC的解析式为y3x5，设直线交x轴于D，则D（，0），设直线PQ交x轴于E，当BE2AD时，PBQ的面积等于PAC的面积的2倍，AD，BE，E（，0）或E（，0），则直线PE的解析式为y6x+22，Q（，5），直线PE的解析式为yx+，Q（，5），综上所述，满足条件的点Q的坐标为：（，5）或（，5）2解：（1）抛物线yax2+bx+4的顶点坐标为（3，），ya（x3）2+ax26ax+9a+，9a+4，a，抛物线解析式为yx2+x+4；（2）如图1，

12、设C（m，m2+m+4）；ADAE，ADx轴，CDy轴，ADAEm，OA4，OEm4，点E在y轴的负半轴上，E（0，4m），设CE的解析式为：ykx+b，则，解得，CE的解析式为：y（）x+4m，解法一：x2+x+4（）x+4m，x2+（m1）x+m0，x2+（4m）x4m0，（x+4）（xm）0，x14，x2m，定点F（4，6）；解法二：CE的解析式为：y（）x+4m（x1）m+x+4，由画图可知：F是直线CE上的定点，x10，x4，定点F（4，6）；如图2，过E作EHCD于H，交DG于Q，连接OQ，由知：OEm4，DAEADHEHD90°，ADAE，四边形AEHD是正方形，EDH

13、45°，ADAEDHEH，ODECDG，ODE+EDQEDQ+CDG45°，即ODQ45°，ADO+CDG45°，在OA的延长线上取APQH，连接PD，PADQHD90°，ADDH，PADQHD（SAS），PDDQ，ADPCDG，APQH，ADP+ADO45°ODQ，ODOD，PDOQDO（SAS），OPOQ，EHDH，EHCDHQ，GEHCDG，EHCDHQ（ASA），CHQH（m4）AP，OQOP4+，OEm4，EQEHQHm（）m，在RtOEQ中，由勾股定理得：OE2+EQ2OQ2，（m4）2+（）2（4+）2，m310m224

14、m0，解得：m10（舍），m212，m32（舍），D（12，4），Q（6，8），设直线DG的解析式为：ykx+b，则，解得，直线DG的函数表达式为：y2x203解：（1）当x0时，yx2+x+44，点C的坐标为（0，4）设直线BC的解析式为ykx+b（k0）将B（8，0）、C（0，4）代入ykx+b，解得：，直线BC的解析式为yx+4假设存在，设点P的坐标为（x，x2+x+4）（0x8），过点P作PDy轴，交直线BC于点D，则点D的坐标为（x，x+4），如图所示PDx2+x+4（x+4）x2+2x，SPBCPDOB×8（x2+2x）x2+8x（x4）2+1610，当x4时，PBC的面

15、积最大，最大面积是160x8，存在点P，使PBC的面积最大，最大面积是16（2）设点M的坐标为（m，m2+m+4），则点N的坐标为（m，m+4），MN|m2+m+4（m+4）|m2+2m|又MN3，|m2+2m|3当0m8时，有m2+2m30，解得：m12，m26，点M的坐标为（2，6）或（6，4）；当m0或m8时，有m2+2m+30，解得：m342，m44+2，点M的坐标为（42，1）或（4+2，1）综上所述：M点的坐标为（42，1）、（2，6）、（6，4）或（4+2，1）4解：【问题】yax2+bx+a（x+1）（x3），解得：a，b1，故答案为：，1；【操作】抛物线G1沿BC方向平移BC

16、长度的距离得到抛物线G2，相当于抛物线向左平移3个单位，向上平移个单位，G1：yax2+bx+x2+x+（x1）2+2，G2：y（x1+3）2+2+x22x+，当x0时，yx22x+，当x0时，yx2+x+；【探究】C点的坐标为（0，）当y时，解得：x10，x22，E（2，），当时，解得：x10，x24，D（4，），抛物线G1的顶点为（1，2），抛物线G2的顶点为（2，），4x2或0x1时，函数y随x的增大而增大；【应用】如图，过点P作x轴的平行线交过点D与x轴的垂线于点M，交过E点与x轴的垂线于点N，设点P（2，m），则ENm，PN4，DMm，PM2，EPN+MPD90°，MDP+

17、DPM90°，EPNMDP，tanEPNtanMDP，即，即，解得：m±2，故点P的坐标为：5解：（1）在yx24中，令y0，则x±3，令x0，则y4，B（3，0），C（0，4）；故答案为：（3，0），（0，4）；（2）如图（2），当P点运动到（1，2）时，即处于点P1位置，此时，P（P1）B与C相切；P1（1，2），而点B、C的坐标分别为（3，0）、（0，4），P1B220，P1C25，BC225，故P1B2+P1C2BC2，CP1P1B，P1B与C相切；（3）存在点P，使得PBC为直角三角形，当PB与相切时，PBC为直角三角形，如图（2），连接BC，OB3OC

18、4，BC5，CP2BP2，CP2，BP22，过P2作P2Ex轴于E，P2Fy轴于F，则CP2FBP2E，设OFP2E2x，FP2OEx，BE3x，CF2x4，2，x，2x，FP2，EP2，P2（，），由（2）知，P1符合条件，即P1（1，2）；综上所述：点P的坐标为：（1，2）或（，）；（4）如图（3），连接AP，OBOA，BEEP，OEAP，当AP最大时，OE的值最大，当P在AC的延长线上时，AP的值最大，最大值5+，OE的最大值为故答案为：6解：（1）当x0时，y2，当y0时，x2，BCAB4，解得，故抛物线的表达式为：yx2+x+2；（2）过点P作PHx轴于H，交AC于点G，设直线AC为

19、：ykx+t，则，解得，设，则，BAO60°，四边形ABCD为菱形，CAD30°，PGEAGH60°，当x1时，PE最大，最大值为；（3）由（2）知：CAD30°EAF，则AFE90°EAF60°，当OPF为等腰三角形，则OPF为等边三角形，则直线OP的倾斜角为60°，设直线OP的表达式为：yx，联立并解得：x2±2，点P为AC上方抛物线上一动点，即2x4，故x2+2，故点P（2+2，62）7解：（1）在yx3中，令x0，得y3；令y0，得x3B（3，0），C（0，3）设抛物线的函数解析式为ya（x+3）（x1）将

20、点C（0，3）代入，得a1抛物线的函数解析式为yx2+2x3；（2）如图1，过点P作PEx轴于点E，交BC于点F设点P的坐标为（t，t2+2t3），则点F的坐标为（t，t3）PFt3（t2+2t3）t23tS四边形ABPCSBPC+SABCPFOB+ABOC（t23t）+60，当t时，S四边形ABPC取得最大值此时点P的坐标为；如图2，作点P关于x轴的对称点P'，PP'交x轴于点I，连接AP，AP'，过点P作PJAP'于点J，交x轴于点G当GJAG时，PG+AG取得最小值，此时sinGAJtanGAJ设点P的坐标为（t，t2+2t3），则PIt22t+3，AIt

21、+1由对称的性质，得PAIGAJ，tanPAI，即解得t1，t21（舍去）此时点P的坐标为；（3）DM+DN是定值如图3，过点Q作QHx轴于点HNDx轴，QHNDBQHBND，AMDAQH，设点Q的坐标为（k，k2+2k3），则HQk22k+3，BH3+k，AH1kD是抛物线的对称轴与x轴的交点，ADBD2，DN22k，DM2k+6DM+DN2k+6+22k8DM+DN是定值，该定值为88解：（1）把点B（4，m）代入yx+中，得m，B（4，），把点A（1，0）、B（4，）、C（0，）代入抛物线中，得，解得 抛物线的解析式为yx2x，yx2x（x1）22，点M的坐标为（1，2）（2）点P为直线

22、AB下方抛物线上一动点，1x4，如图1所示，过点P作y轴的平行线交AB于点H，设点P的坐标为（m，m2m），则点H（m，m+），SPABHP（xBxA）（m2+m+2）×5（m）2+，0，当m时，S最大，最大为，此时点P（，）（3）如图2所示，令y0，解得x11，x23，D（3，0），M（1，2），A（1，0），AMD为等腰直角三角形，设点N的坐标为（n，n2n），QENMFQ（AAS），FQEN2，MFEQn2n，n2n+1n+2，解得n5或1（舍），点Q的坐标为（7，0），根据对称性可知，点Q的坐标为（5，0）时也满足条件，ADM是等腰直角三角形，当点Q是AD的中点，N与A或D重

23、合时，QMNMAD，此时Q（1，0）时综上所述：点Q的坐标为（7，0）或（5，0）或（1，0）9解：（1）抛物线的顶点为（1，4），设抛物线的解析式为ya（x1）24，将点C（0，3）代入抛物线ya（x1）24中，得a43，a1，抛物线的解析式为ya（x1）24x22x3；（2）由（1）知，抛物线的解析式为yx22x3，令y0，则x22x30，x1或x3，B（3，0），A（1，0），令x0，则y3，C（0，3），AC，设点E（0，m），则AE，CE|m+3|，ACE是等腰三角形，当ACAE时，m3或m3（点C的纵坐标，舍去），E（3，0），当ACCE时，|m+3|，m3±，E（0，3

24、+）或（0，3），当AECE时，|m+3|，m，E（0，），即满足条件的点E的坐标为（0，3）、（0，3+）、（0，3）、（0，）；（3）如图，存在，D（1，4），将线段BD向上平移4个单位，再向右（或向左）平移适当的距离，使点B的对应点落在抛物线上，这样便存在点Q，此时点D的对应点就是点P，点Q的纵坐标为4，设Q（t，4），将点Q的坐标代入抛物线yx22x3中得，t22t34，t1+2或t12，Q（1+2，4）或（12，4），分别过点D，Q作x轴的垂线，垂足分别为F，G，抛物线yx22x3与x轴的右边的交点B的坐标为（3，0），且D（1，4），FBPG312，点P的横坐标为（1+2）21+2

25、或（12）212，即P（1+2，0）、Q（1+2，4）或P（12，0）、Q（12，4）10解：（1）把O（0，0），A（3，3）代入得：，解得：，则抛物线解析式为yx2+4x；（2）设直线OA解析式为ykx，把A（3，3）代入得：k1，即直线OA解析式为yx，PBx轴，P，C，B三点纵坐标相等，B（m，0），把xm代入yx中得：ym，即C（m，m），把xm代入yx2+4x中得：ym2+4m，即P（m，m2+4m），P在直线OA上方，PCm2+4mmm2+3m（0m3），当m时，PC取得最大值，最大值为11解：（1）二次函数yx2+bx+c的图象与x轴交于A（3，0），B（1，0），解得，二次函

26、数的解析式为；（2）如图，D点关于PQ与A点对称，过点Q作FQAP 于F，APAQt，APDP，AQDQ，APAQQDDP，四边形AQDP为菱形FQOC，DQAPt，D在二次函数 上，或 t0（与A重合，舍去），；（3）存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）如图，过点Q作QDOA于D，此时QDOC，A（3，0），B（1，0），C（0，4），O（0，0），AB4，OA3，OC4，AQ4QDOC，作AQ的垂直平分线，交x轴于E，此时AEEQ，即AEQ为等腰三角形设AEx，则EQx，DE|ADAE|x|，在RtEDQ中，（x）2+（）2x2，解得 x，OAAE3，

27、E（，0），点E在x轴的负半轴上；以Q为圆心，AQ长半径画圆，交x轴于E，此时QEQA4，EDAD，AE，OAAE3，E（，0）；当AEAQ4时，OAAE341，或OA+AE7，E（1，0）或（7，0）综上所述，存在满足条件的点E，点E的坐标为（，0）或（，0）或（1，0）或（7，0）12解：（1）直线yx+4与坐标轴交于A、B两点，当x0时，y4，x4时，y0，A（4，0），B（0，4），把A，B两点的坐标代入抛物线解析式得，解得，抛物线的解析式为；（2）如图1，作PFBO交AB于点F，PFDOBD，则，OB4为定值，当PF取最大值时，有最大值，设P（x，），其中4x0，则F（x，x+4），

28、PF，0且对称轴是直线x2，当x2时，PF有最大值，此时PF2，；点C（2，0），CO2，如图2，点F在y轴上时，过点P作PHx轴于H，在正方形CPEF中，CPCF，PCF90°，PCH+OCF90°，PCH+HPC90°，HPCOCF，在CPH和FCO中，HPCOCF，PHCCOF，PCFC，CPHFCO（AAS），PHCO2，点P的纵坐标为2，解得，13解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线的解析式是：；（2）设直线BC的解析式为ykx+直线BC过点B（3，0），03k+，则k，故直线BC解析式为yx+设直线m解析式为，且直线m直线BC，当直线m与抛物线只有一个交点时，点D到BC的距离最远，此时BCD取最大值，故四边形DCAB有最大值令，（3）24××（3b3）0时，直线m与抛物线有唯一交点，解之得：，则直线m的表达式为：yx+，联立并解得，D；存在，点M的横坐标为或；符合条件的直线有两条：CM1和CM2（分别在CB的上方和下方），（）在RtACO中，ACO30°，在RtCOB中，CBO30°，BCM1BCM215°，在BCE中，BCEBEC215°，BCBE，则E（