【4年真题推荐】2010-2013年全国高考数学试题分类汇编：平面向量

1、 本资料来自于资源最齐全的世纪教育网2010平面向量1.（2010·湖南高考理科·4）在中，=90°AC=4，则等于（ ）21世纪教育网A、-16 B、-8 C、8 D、16【命题立意】以直角三角形为依托，考查平面向量的数量积，基底的选择和平面向量基本定理.【思路点拨】由于=90，因此选向量CA，CB为基底.【规范解答】选D.=(CB-CA)·(-CA)=-CB·CA+CA2=16.【方法技巧】平面向量的考查常常有两条路：一是考查加减法，平行四边形法则和三角形法则，平面向量共线定理.二是考查数量积，平面向量基本定理，考查垂直，夹角和距离（长度）

2、.2.（2010·安徽高考理科·3）设向量， 则下列结论中正确的是（ ）A、 B、21世纪教育网C、与垂直 D、【命题立意】本题主要考查向量的长度、数量积的坐标运算，考查向量平行、垂直的坐标判定方法，考查考生的向量坐标运算求解能力。【思路点拨】利用向量的坐标运算逐项验证。【规范解答】选 C.向量， ， 由， ，所以，故A错误；21世纪教育网由，故B错误；由，所以，故C正确；由，故D错误；3.（2010·辽宁高考理科·8）平面上O,A,B三点不共线，设，则OAB的面积等于( ) (A) (B) (C) (D) 【命题立意】本题考查了平面向量的数量积，夹角公

3、式，考查了三角恒等变换和三角形的面积公式以及运算能力。【思路点拨】cos<a ，b>sin<a，b>SOAB化简整理【规范解答】选C，4.（2010·北京高考文科·4）若是非零向量，且，则函数是( )（A）一次函数且是奇函数 （B）一次函数但不是奇函数（C）二次函数且是偶函数 （D）二次函数但不是偶函数【命题立意】本题考查向量与一次函数的相关知识。【思路点拨】把转化为，再代入到中去。【规范解答】选A。函数，。，为一次函数且是奇函数。【方法技巧】一次函数，当时为非奇非偶函数；当时为奇函数5.（2010·山东高考理科·12）定义平面向

4、量之间的一种运算“”如下，对任意的，令，下面说法错误的是（ ）A.若与共线，则 B. C.对任意的，有 D. ()2 【命题立意】本题在平面向量的基础上，加以创新，属创新题型，考查平面向量的基础知识以及分析问题、解决问题的能力.21世纪教育网【思路点拨】根据所给定义逐个验证.【规范解答】选B，若与共线，则有，故A正确；因为 ，而，所以有 ，故选项B错误，故选B. 21世纪教育网【方法技巧】自定义型信息题 21世纪教育网1、基本特点：该类问题的特点是背景新颖，信息量大，是近几年高考的热点题型. 2、基本对策：解答这类问题时，要通过联想类比，仔细分析题目中所提供的命题，找出其中的相似性和一致性6.

5、（2010·天津高考文科·9）如图，在ABC中，则=（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。：【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。【规范解答】选D，由图可得：【方法技巧】对于此类向量运算题，要注意向量加减法运算的灵活应用，适当的时候，结合三角形进行化简可以降低难度。7.（2010·广东高考文科·5）若向量=(1,1)， =(2，5)，=(3，x)满足条件(8)·=30，则x=( )A6 B5 C4 D3【命题立意】本题考察向量的坐标运算及向量的数量积运算.【思路点拨】 先算

6、出，再由向量的数量积列出方程，从而求出【规范解答】选. ，所以.即：，解得：，故选.8. （2010·湖南高考理科·4） 若非零向量a，b满足|，则a与b的夹角为（ ）A. 300 B. 600 C. 1200 D. 1500来源:21世纪教育网【命题立意】条件简洁明了，内涵丰富，考查学生合情推理的能力.【思路点拨】要求向量a和b的夹角，因此由已知条件产生目标cos.21世纪教育网【规范解答】选C.(2a+b)·b=0，2a·b+b2=0，2|a|b|cos+|b|2=0,又|a|=|b|0，cos=-,=1200.【方法技巧】求向量的夹角常借助数量积.

7、9.（2010·浙江高考理科·16）已知平面向量满足，且与的夹角为120°，则的取值范围是_ .【命题立意】本题考查向量的相关知识，考查向量的模、夹角等。【思路点拨】利用向量的几何意义，作出图形，数列结合的方法求的取值范围。【规范解答】如图所示，又，点P在以AB为弦半径为的圆上的优弧APB上运动。因此。【答案】10.（2010·浙江高考文科·13）已知平面向量则的值是 。【命题立意】本题主要考察了平面向量的四则运算及其几何意义，属中档题。【思路点拨】本题先把垂直关系转化为数量积为0，再利用向量求模公式求解。【规范解答】由题意可知，结合，解得，所

8、以2=，开方可知答案为.【答案】【方法技巧】（1）；（2）。11.（2010·天津高考理科·5）如图，在中，,则= 【命题立意】考查平面向量的概念、平面向量的运算以及向量的运算性质。【思路点拨】根据向量的概念及运算法则进行运算。【规范解答】由图可得：【答案】【方法技巧】对于此类向量运算题，要注意向量加减法运算的灵活应用，适当的时候，结合三角形进行化简可以降低难度。12.（2010·江苏高考·5）在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,2)、B(2,3)、C(2,1)。(1) 求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；(2) 设实数t满足()&#

9、183;=0，求t的值。21世纪教育网【命题立意】本题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。【思路点拨】（1）将平行四边形两条对角线的长转化为向量的模长问题解决；21世纪教育网（2）利用向量的坐标运算解决.【规范解答】（1）方法一：由题设知，则21世纪教育网所以故所求的两条对角线的长分别为、。方法二：设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:E为B、C的中点，E（0，1）又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4） 故所求的两条对角线的长分别为BC=、AD=；（2）由题设知：=(2,1)，。由()·=0，得：，从而所以。或者：，13.（2010

10、·陕西高考理科·1）已知向量 ,若， 则_.【命题立意】本题考查平面向量的坐标运算及平行的条件，属送分题。【思路点拨】关于的方程【规范解答】由得: 【答案】 2011平面向量一、选择题来源:21世纪教育网1.（2011·福建卷理科·10）已知函数.对于曲线y=f（x）上横坐标成等差数列的三个点A,B,C，给出以下判断：21世纪教育网ABC一定是钝角三角形ABC可能是直角三角形ABC可能是等腰三角形来源:21世纪教育网ABC不可能是等腰三角形其中，正确的判断是（ ）A. B. C. D.【思路点拨】设出表示，结合A，B，C三个点的横坐标判断的符号

11、，的符号判断三角形是钝角三角形还是锐角三角形或是直角三角形，再 【精讲精析】选B. 设，21世纪教育网21世纪教育网来源:21世纪教育网正确，不正确，对于，21世纪教育网,选，错误.2.（2011·新课标全国高考理科·10）已知a与b均为单位向量，其夹角为，有下列四个命题 其中的真命题是（ ）A. B. C. D.【思路点拨】，将展开并化成与有关的式子，解关于的不等式，得的取值范围.【精讲精析】选A.，而，解得，同理由，可得.3.（2011·广东高考理科·3）若向量a，b，c满足ab且ac，则c·(a+2b)= A4 B3 C2 D0来源: Z

12、+xx+k.Com【思路点拨】本题主要考查向量数量积的性质及运算律.由两向量垂直数量积为零，然后运用数量积对加法的分配律可求解.【精讲精析】选D.且，从而.故选D.4.（2011·辽宁高考理科·10）若，均为单位向量，且，（-）·（-）0，则|+-|的最大值为（A） （B）1 （C） （D）2【思路点拨】先化简已知的式子，再将所求式子平方，然后利用化简的结果即可【精讲精析】选B，由（-）·（-）0，得，又 且，均为单位向量，得，|+-|2=（+-）2=，故|+-|的最大值为1.5.（2011·辽宁高考文科·3）已知向量=（2，1），=

13、（-1，k），·（2-）=0，则k=（A）-12 （B）-6 （C）6 （D）12 【思路点拨】考察向量的数量积和向量的坐标运算【精讲精析】选D，因为，所以21世纪教育网 又，所以，得二、填空题6.（2011·安徽高考理科·13）已知向量、满足，且，则与的夹角为_【思路点拨】可以求出，再利用夹角公式可求夹角.【精讲精析】答案:.,即则=1，所以所以.7.（2011·福建卷理科·15）设V是全体平面向量构成的集合，若映射满足：对任意向量以及任意R，均有来源:21世纪教育网则称映射f具有性质P.现给出如下映射：21世纪教育网其中，具有性质P的映射的

14、序号为_.（写出所有具有性质P的映射的序号）【思路点拨】对三个映射分别验证是否满，满足则具有性质P，不满足则不具有.【精讲精析】 由题意知，对于：而.故中映射具有性质P.对于：，而，故中映射不具有性质P.对于：，21世纪教育网 .故中映射具有性质P.具有性质P的映射的序号为.8.（2011·福建卷文科·13）若向量a=（1,1），b（-1,2），则a·b等于_.【思路点拨】用数量积的坐标运算法则求值.【精讲精析】1. .9.（2011·江苏高考·10）已知是夹角为的两个单位向量， 若，则实数k的值为_【思路点拨】本题考查的是平面向量的运算，解题

15、的关键是表示出，然后找到关于k的等式进行求解。【精讲精析】由题 ,可以解得【答案】.10.（2011·新课标全国高考文科·13）已知a与b为两个不共线的单位向量，k为实数，若向量a+b与向量ka-b垂直，则k=_ 【思路点拨】向量与向量垂直，展开用数量积公式求得的值.【精讲精析】1 ，即，又为两不共线单位向量，式可化为，若，则，这与，不共线矛盾；若，则恒成立.综上可知，时符合题意.21世纪教育网11.（2011·湖南高考理科·T14）在边长为1的正三角形ABC中，设,则_【思路点拨】本题主要考查向量的基本知识，关键是找好基底，再把向量用基底表示，再进行向

16、量运算.【精讲精析】答案：选为基底.则，()·()=12.（2011·江西高考理科·11） 已知2，·-2，则与的夹角为 .【思路点拨】先根据条件求出与的数量积，再由数量积的定义求出两者的夹角.【精讲精析】答案:13.（2011·江西高考文科·11）已知两个单位向量，的夹角为，若向量，【思路点拨】首先根据数量积的定义，将，再结合即得。【精讲精析】答案：-614.（2011·浙江高考理科·14）若平面向量满足，且以向量为邻边的平行四边形的面积为，则与的夹角的取值范围是 【思路点拨】利用平行四边形的面积可得出的范围,尽

17、而求出夹角的范围.【精讲精析】由可得，故 2012平面向量一、选择题1.（2012·江西高考理科·7）在直角三角形ABC中，点D是斜边AB的中点，点P为线段CD的中点，则（ ）A2 B.4 C.5 D.10【解题指南】用向量法求解.【解析】选D .将各边均赋予向量，则.2.（2012·安徽高考理科·8）在平面直角坐标系中，将向量绕点O按逆时针旋转后得向量，则点的坐标是（ ） 【解题指南】先写出向量，在把向量按逆时针旋转，计算出向量，既得点的坐标.【解析】选.将向量按逆时针旋转后得，则.3.（2012·辽宁高考理科·3）已知两个非零向量

18、，满足|+|=|，则下面结论正确的是（ ）(A) (B) (C) = (D) +=【解题指南】将所给等式两边平方，找到两个向量的关系.【解析】选B. .4.（2012·辽宁高考文科·1）已知向量，若，则（ ）【解题指南】按照数量积的坐标运算，展开即可解决问题.【解析】选D.5.（2012·福建高考文科·3）已知向量，则的充要条件是（ ）ABCD【解题指南】垂直表明数量积为0，结合平面向量的数量积的坐标运算公式进行求解 .【解析】选D .，解得.6.（2012·广东高考理科·8）对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量满足，与的夹角，

19、且和都在集合中，则=( )A B.1 C. D. 【解题指南】解决本小题首先搞清的定义，然后根据,再结合确定是解决本题的关键。【解析】选C.,.7.（2012·广东高考文科·10）对任意两个非零的平面向量，定义. 若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角，且和都在集合中，则=( )A B C1 D【解题指南】解决本小题首先搞清的定义，然后根据,再结合确定是解决本题的关键。【解析】选D.,.8.（2012·陕西高考文科·7）设向量=（1，）与=（，2）垂直，则等于 （ ）(A) (B) (C)0 (D)【解题指南】由向量垂直关系，可计算的值，再由二倍角公

20、式计算.【解析】选C. 已知=（1，），=（，2）， ，故选C.9.（2012·天津高考理科·7）已知为等边三角形，AB=2，设点P,Q满足若（ ）来源:21世纪教育网 (A) (B) (C) (D)【解题指南】根据向量的线性运算及数量积进行运算.来源:21世纪教育网【解析】选A.21世纪教育网=，=，又，且，又在等边三角形中：，所以，解得.二、填空题10.（2012·浙江高考文科·15）与（2012·浙江高考理科·15）相同在ABC中，M是BC的中点，AM=3，BC=10，则=_.【解题指南】考查向量的数量积运算，要注意把所求向量往

21、已知向量上去化。【解析】不妨设ABC为等腰三角形，则，【答案】-16.21世纪教育网11.（2012·安徽高考理科·14）若平面向量满足：；则的最小值是 【解题指南】将两边同时平方，得，根据即可求得.【解析】【答案】.12.（2012·北京高考文科·13）与（2012·北京高考理科·13）相同来源:21世纪教育网己知正方形ABCD的边长为l，点E是AB边上的动点.则的值为 ，的最大值为_.【解题指南】利用图形中的直角关系建系用坐标计算。也可以适当选取基向量进行计算.【解析】方法一：如图所示，以AB，AD所在直线分别为x,y轴建立坐标系

22、，设，则，B（1，0），C（1，1），.方法二：选取作为基向量，设，则。【答案】1，1.13.（2012·湖南高考文科·15）如图4，在平行四边形ABCD中 ，APBD，垂足为P，且= .【解题指南】本题考查平面向量加法的几何运算、平面向量的数量积运算，考查数形结合思想、等价转化思想等数学思想方法.根据向量的三角形法则和平行四边形法则进行线性运算，向量垂直时数量级为零。向量的平方等于模的平方。【解析】设，则，=.【答案】18.14.（2012·江苏高考·9ABCDEF）如图，在矩形中，点是的中点，点在边上，若，则的值是 【解题指南】先建立坐标系。再恰当的

23、表示向量，最后用数量积公式.【解析】以A点为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为 y轴建立直角坐标系xOy,则设，所以.【答案】.15. （2012·安徽高考文科·1）设向量,则|=_【解题指南】根据向量的坐标运算，求出，由，得，从而求出.【解析】 .【答案】.16.（2012·江西高考文科·12）设单位向量=（x，y），=（2，-1）。若，则=_【解题指南】由已知条件联立方程组求得向量的坐标，然后求.【解析】由可得，又因为为单位向量所以，联立解得或，故=.【答案】.17.（2012·新课标全国高考文科·15）与（2012

24、3;新课标全国高考理科·13）相同已知向量夹角为45。 ，且,则 【解题指南】将|2ab|平方展开，将|a|、代入展开式，将展开式看作关于|b|的方程，解得|b|.【解析】的夹角为，.【答案】.21世纪教育网三、解答题18. （2012·山东高考理科·17）已知向量，函数的最大值为6.（）求；（）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.求在上的值域.【解题指南】（1）先利用数量积的坐标运算，再利用和差倍角公式化为的形式；（2）先利用图象变换法求出的解析式，再利用整体代入法求值域.【解析】(1) 所以的最大值

25、为A，函数的最大值为6所以A=6.(2) 将函数的图象向左平移个单位得到的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.所以在上的值域为.2013平面向量一、选择题错误！未指定书签。 （2013年高考上海卷（理）在边长为1的正六边形ABCDEF中,记以A为起点,其余顶点为终点的向量分别为;以D为起点,其余顶点为终点的向量分别为.若分别为的最小值、最大值,其中,则满足（）ABCD【答案】D 错误！未指定书签。 （2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）已知点（）ABCD【答案】A 21世纪教育网错误！未指定书签。 （2013年普通高等学校招

26、生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD版）设是边上一定点,满足,且对于边上任一点,恒有.则（）ABCD【答案】D 21世纪教育网错误！未指定书签。 （2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD版）在四边形ABCD中,则四边形的面积为（）来源:21世纪教育网ABC5D10【答案】C 错误！未指定书签。 （2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD版）在平面直角坐标系中,是坐标原点,两定点满足则点集所表示的区域的面积是（）ABCD【答案】D 错误！未指定书签。 （2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在平面上,.若,则的取值范围是（）21世纪教育网ABCD【答案】D 错误！未指定书签。 （2013年高考湖南卷（理）已知是单位向量,.若向量满足（）21世纪教育网AB CD 【答案】A 错误！未指定书签。 （2013年普通高等学校招生统一考试大纲