数的结构分析

1、數的結構分析 單位量與單位數 四則運算中，不論是整數、分數或小數，只有在單位量都相同之下，才對單位數進行運算。以下分別舉例說明之。一、 加法：所謂的加法，就是相同單位，兩數合併後重新點算。1. 整數加法：以7加8為例。7和8的單位量都是1，7單位數為7個1組成，8單位數為8個1組成。兩數的單位量都是1，因為單位量相同，所以可以合併為15。2. 分數加法：以加為例。是將1切成4份佔1份，即1個，所以的單位量為，單位數為1。同樣的，的單位量為。單位數為2，兩數的單位量不同，無法進行加法運算，因此我們必須先將兩數重新等分（即通分），找到共同的單位量。即將和通分，每個分成3份，則原來的1就變成12等份

2、，原佔12等份中的3等份，即（單位量，單位數3）。同樣的，把每個分成4份，則原來的1就變成12份，原佔12份中的8份，即（單位量，單位數8）。如此兩數的單位量都變成後，單位數3和8即可進行合併，重新點算得11個，寫成。兩數的單位量並非只有一個共同單位，也可分為24、48等份，只要是兩數共同等份都可以。不過為了計算方便，我們習慣選擇最小等份（即最小公倍數）。1. ，因此，我們必須將其切成10份，每份就變成，如此原來的單位數4，在100份中，就變成佔40份；原來的單位數14，則佔14份。兩數找到共同等份後，就可以合併為0.54。二、減法：相同單位中，從某數中拿走某定量後，重新點算。1. 整數減法。

3、以10減4為例。10的單位量1，單位數10；4的單位量1，單位數4。兩數單位量相同，所以可直接進行拿去的動作，剩下6個單位數，單位量1。2. 分數的減法：以減為例。單位量， 的單位數1。單位量， 的單位數1，。兩數的單位量不同，所以要進行減法運算前，必須先將兩種單位量化為相同單位量，即把每個分為5份，原來的1變成就10等份，原佔5份，即；每個分成2份，原來的1就變成10等份。原佔2等份，即。單位量，單位數2。兩數的單位量都變成後，就可針對單位數進行減法動作。被減數5，拿去2後，重新點算剩下3，即。3. 。三、乘法：相同單位中，一定量連加幾次後，重新點算。1. 整數乘法：以4乘以5為例。定量4，

4、連加5次（而非第1次加4，第2次加0.4），或說成4的5倍，也就是5個4堆，重新點算是20。2. 分數乘法：以乘以為例。首先確定定量為，連加次（或的是多少？或它的倍是多少？）。此時，先回到分數的基本概念，是把1切成4份佔3份，或3個。的倍則是把再切成3份後，得，然後連加2次（）。因此×就成了，也就是÷3×2。3. 小數乘法：以0.3乘0.2為例。首先確定量為0.3，把1分成10等份，取其中3份，再和10等份比較，即。連加次，就是把每個又分成10份，1就變成100份，再把原來三等份連加兩次，最後和100份比較，佔32=6份，即6，換算成小數為0.06。四、除法：它含

5、有倆個概念。第一，等分除：把被除數等分成幾份後，每份佔多少。第二，包含除：以除數為1，比被除數比了幾次。1. 整數除法：以8除2等於4為例。若把8個蘋果分給2個人，每人的到4個蘋果。等分兩個4份，所以為等分除。我有8個蘋果，你有2個，我是你的幾倍。以你為1，和8個蘋果比較，可比4次，所以為包含除。2. 分數除法：以除以3為例。的單位量為，單位數4。將4份平均分成3等份。將4（）先各分1，剩下1（），再將1（）平均切成3等份後，每等份為：1個，又分成3等份其中的一等份，但此等份在全部1中佔多少呢？因為它不容易命名。因此，一開始要平均等分時，直接將每個切成3等份，就變成等份，題目上要求分4個；也就

6、是。12（）平均分3等份後，每等份為：4小等份，佔15份中的4份，即。此為等分除。 再以除以為例，說明包含除。包含除是以除數為1，比被除數比了幾次。換言之，也就是被除數為除數的幾倍。首先要先將和找到共通的單位（通分），和的共通單位為，為，單位量為，單位數為12。通分後為，5為單位數。為單位量，單位相同後，即可比較單位數。以除數5為1，比被除數12，比了2又次，即2。1. 小數除法：以1.5除0.2為例。兩數的單位都是0.1，1.5有15個0.1，0.2有2個0.1，單位相同，取2和15比較，比了7又次，即7，即7.5。 四則運算中，以分數的乘法和除法最難理解，學生常常搞錯。分數的乘法先用乘數的

7、分母除，找到共同單位後，分子連加，再和原來的1比較。 分數的除法先弄清楚：包含除和等分除。等分除和分數乘法的差別，就在等分除先用除數的分子除，找到小單位後，再乘1所包含幾個這個小單位，便可找到1。例：一塊布的是公尺，這塊布是多少公尺？在中，公尺佔3等份中的2等份，因此先將公尺分成兩等份，找到1等份為公尺。1有3等份，再將公尺乘以3，就可找到1塊布的長度。所以等分除的算式先用除數的分子除，和分數的乘法先用乘數的分母除不同。（回到分數÷整數） 包含除就必須先分分母，找出相同的單位量。例：一條紅色緞帶長公尺，綠色緞帶是公尺，紅色緞帶是綠色的幾倍？此時和單位數不同，先通分為必須及。等單位都是

8、後，以除數的單位數4為1，比3，比了次。所以，分數包含除先通分找出相同的單位量後，再算整數的除法。 乘、除法若無具體操作的經驗，對於問題情境將很難掌握。一般學生對於乘除符號難以掌握，其關鍵就在此。 四則運算之間的概念是相當密切。在教學過程中，教師若對數結構的觀念不清楚，就很難引導學生應用以前學過的經驗來處理數學問題。目前課本中的教材並無特別強調縱的聯結，故造成學生無法獲得有意義的學習。學生學到的概念往往前後的呈現不一致，致新舊概念無法同化，而對數學產生錯亂的感覺，當然他們就不可能喜歡數學了。例如：分數除法為什麼要顛倒相乘。原先所學到除法的觀念，如果老師在教學中，無法讓學生得到前後一致性的理解，

9、就會帶給學生太多的不確定感。這就好像對空畫餅一般，學生吃不到卻又強迫他們瞞騙自己說，餅又香又好吃。 任何數學工具的起源，都起自於處理生活情境問題。所以，任何數學問題，也必定看的到摸的到，也就是說它們必定可以操作的。但是一般數學教學，卻硬生生的將數學與問題情境分離，學生被拖出原有的問題情境，不能體驗到問題，又如何談數學敏感度呢！學生連問題都摸不清頭緒，又如何採取解決方式呢？不幸的目前數學教學，一再強調不斷的練習計算，結果學生熟練了算式，卻失去解決問題的樂趣。 另一方面，當我們在教室談尊重學生，是不是應該就實質的層面來考慮，以學生的經驗為出發點，不就是維護學生受教權的尊重嗎？而要解決學生對數學的厭

10、煩，就必須將問題的回復到現實情境，也就是教材有現場感，讓學生切身的體驗問題，並造成衝突。對教師來說，除非他願意花費時間等待學生，讓學生身歷其境，活在當下，否則，一味追逐速度的快感，只會付出更大的代價。再者，回到教室現場感時，學生所面臨的各種問題，非常需要教師有意識引導。在無安排的情況下，那會造成學生更多的挫折感。因此從問題的安排考慮，如果教師提問無系統的安排，或放任學生自行摸索，更能顯現教師專業的素養。基準量和比較量 本單元主要是要銜接六上（第十一冊）第10單元比值的觀念。但這些教材內容都是由乘法和除法演化的觀念而來的。因此，要學習本單元時，必須先回到乘、除法的基本觀念，才能幫助於學生理解本單

11、元。 本單元分為三層意義：第一層問題的意義，其問題如下： 小明有六個蘋果，小英有兩個，小明是小英的幾倍？ 紅緞帶8公尺，綠緞帶2公尺，紅是綠色緞帶的幾倍？ 以上的量都是有具體的量，以後者為1，也就是基準量，比前者（比較量）比了幾次，得到的答案皆為所比較之後的次數，也就是比值。 第二層次的意義，其問題型態如下：一隻青蛙有兩隻腿，六隻青蛙幾隻腿？一盤子裝5個蘋果，5個盤子有多少蘋果？ 以上每個問題出現兩個量，其一是為基準量，另一則把基準量當成1時，比較之次數（比值）。因此，所列之乘式，被乘數表示為基準量，乘數表示比值，所得之數則為比較量。 第三層次的意義，其問題如下：我的錢是你的三倍，我有30元，

12、你有多少元？我的年齡是弟弟的5倍，我是25歲，弟是幾歲？ 以上的問題都是知道倍數所呈現的量，要求另一數1倍的量。因此，倍數所呈現的量為比較量，比較之次數為比值。所以比較量除比值，即可找到基準量，也就是1倍的量有多少。 從本單元基準量和比較量的三層意義，我們可以了解它與乘、除法的概念關係密切。因此，教學前先復習乘、除法的舊經驗，之後導入本單元。母子和 本單元主要連結基準量和比較量，基準量又叫母數，比較量又叫子數，基準量與比較量的和就叫母子和。 主要內容：母數與子數為整數倍、小數倍、分數倍和百分數等關係。一求母子和 由母子和求母數或子數 其問題類型如下：哥哥的年齡是弟弟年兩倍，哥哥是24歲，請問倆人共幾歲？（整數倍）紅緞帶比綠緞帶多，紅緞帶為50元，請問兩條緞帶共多少元？（小數倍） 我的錢是你的倍，我是9元，那我們共多少錢？（分數倍）小明存款3000元，銀行利率5，請問一年後小明可領回多少元？（百分數）甲、乙共350元，甲是乙的1.5倍，請問乙是多少元？（求母數） 學生若未明確了解單位數、量，而直接以公式運算，學生就只將答案計算出來，卻不知其具體意義。在實施本單元教學時，老師應先確定學生對整數、小數、分數倍的單