2022年2013年全国中考数学压轴题分类解析汇编专题05定值问题

1、专题 5：定值问题21. （ 2021 江西南昌 8 分） 如图,已知二次函数L1： y=x 4x+3 与 x 轴交于 A B 两点（点A 在点 B 左边）,与 y 轴交于点 C（1） 写出二次函数 L1 的开口方向，对称轴和顶点坐标.2（2） 争论二次函数 L2：y=kx 4kx+3k （k0）写出二次函数 L2 与二次函数 L1 有关图象的两条相同的性质.如直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E，F 两点,问线段EF的长度是否发生变化？假如不会,恳求出 EF的长度.假如会,请说明理由可编辑资料 - - - 欢迎下载2【答案】 解：（ 1）抛物线 yx24x3x21,可编辑资料 - - -

2、 欢迎下载二次函数 L1 的开口向上,对称轴是直线x=2 ,顶点坐标（ 2, 1）.（ 2）二次函数L2 与 L1 有关图象的两条相同的性质：对称轴为 x=2.都经过 A（1, 0）, B（ 3, 0）两点.线段 EF的长度不会发生变化.直线 y=8k 与抛物线 L2 交于 E，F 两点,22kx 4kx+3k=8k , k0,x 4x+3=8.解得： x1= 1, x2=5.EF=x2 x 1=6.线段 EF的长度不会发生变化.【考点】 二次函数综合题,二次函数的性质.2【分析】（ 1）抛物线 y=ax +bx+c 中： a 的值预备了抛物线的开口方向,a 0 时,抛物线的开口向上. a 0

3、 时,抛物线的开口向下.抛物线的对称轴方程和顶点坐标,可化为顶点式或用公式求解.（ 2）新函数是由原函数的各项系数同时乘以k 所得,因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析.可编辑资料 - - - 欢迎下载联立直线和抛物线L2 的解析式,先求出点E，F 的坐标,从而可表示出EF 的长,如该长度为定值,就线段EF的长不会发生变化.2. （ 2021 江苏苏州 9 分） 如图,正方形 ABCD的边 AD与矩形 EFGH的边 FG重合,将正方形ABCD以 1cm/s 的速度沿 FG方向移动,移动开头前点A 与点 F 重合 . 在移动过程中,边AD始终与边 FG重合,连接 CG,过点 A

4、作 CG的平行线交线段GH于点 P,连接 PD.已知正方形 ABCD的边长为 1cm,矩形 EFGH的边 FG，GH的长分别为 4cm，3cm. 设正方形移动时间为x（ s ）,线段 GP的长为 y（cm）,其中0x2.5.试求出 y 关于 x 的函数关系式,并求出y =3 时相应 x 的值.记 DGP的面积为 S1, CDG的面积为 S2试说明 S1 S2 是常数.当线段 PD所在直线与正方形ABCD的对角线 AC垂直时,求线段 PD的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载【答案】 解：（ 1） CGAP, CGD= PAG,就 tanCGD=tanPAG . CD= PG .可编辑资料 -

5、- - 欢迎下载GF=4, CD=DA=,1 AF=x, GD=3 x, AG=4 x.GDAG可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载1=y,即 y= 4x .y关于 x 的函数关系式为y= 4x .可编辑资料 - - - 欢迎下载3x4x当 y =3 时, 3= 4x3x3x3x,解得 :x=2.5 .可编辑资料 - - - 欢迎下载（2）可编辑资料 - - - 欢迎下载 S = 1GP GD=14x3x1 x+2 ,S = 1GD CD= 13x11 x+ 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载12223x22222可编辑资料 - - - 欢迎下载 SS =1 x

6、+21 x+31 为常数.可编辑资料 - - - 欢迎下载122222可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 3）延长 PD交 AC于点 Q.正方形 ABCD中, AC为对角线, CAD=4°5 .PQAC, ADQ=4°5 . GDP= ADQ=4°5 . DGP是等腰直角三角形,就GD=G.P可编辑资料 - - - 欢迎下载 3x= 4x3x,化简得： x 25x+5=0 ,解得： x= 55 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载0x2.5 ,x= 55 .2可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载在 RtDGP中,PD=GD=2 3x =

7、2355=2+10 .可编辑资料 - - - 欢迎下载cos45022【考点】 正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特别角的三角函数值.【分析】（ 1）依据题意表示出AG，GD的长度,再由 tanCGD=tanPAG 可解出 x 的值.（2） 利用（ 1）得出的 y 与 x 的关系式表示出 S1，S2,然后作差即可.（3） 延长 PD交 AC于点 Q,然后判定 DGP是等腰直角三角形, 从而结合 x 的范畴得出 x 的值,在 RtDGP中,解直角三角形可得出PD的长度.3. （ 2021 山东潍坊 11 分）如图, 已知抛物线与坐

8、标轴分别交于A 2,O，B2 ,0 ，C0 ,l 三点,过坐标原点O的直线 y=kx 与抛物线交于 M，N 两点分别过点C，D0 , 2 作可编辑资料 - - - 欢迎下载平行于 x 轴的直线l1 ， l 2 可编辑资料 - - - 欢迎下载(1) 求抛物线对应二次函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载(2) 求证以 ON为直径的圆与直线l1 相切.可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载(3) 求线段 MN的长 用 k 表示 ,并证明 M，N 两点到直线l2 的距离之和等于线段MN的长可编辑资料 - - - 欢迎下载2【答案】 解：（ 1）设抛物线对应二次函数

9、的解析式为y=ax bx c,1可编辑资料 - - - 欢迎下载4a2b+c=0就 4a+2b+c=0 c=1a=4解得 b=0.c=1可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载抛物线对应二次函数的解析式所以12.y=x14可编辑资料 - - - 欢迎下载（ 2）设 Mx1, y1 , Nx 2, y 2 ,由于点 M，N在抛物线上,可编辑资料 - - - 欢迎下载12122可编辑资料 - - - 欢迎下载y1=x11,y 2 =x 21 ,x2 =4y 2+1 .44可编辑资料 - - - 欢迎下载2又 ON22x 2y24 y221y 2y222, ONy 22 .可

10、编辑资料 - - - 欢迎下载又y2 l , ON=2 y2.可编辑资料 - - - 欢迎下载设 ON的中点 E,分别过点 N，E 向直线l1 作垂线,垂足为 P，可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载F, 就 EFOCNP 22y2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载ON=2E,F可编辑资料 - - - 欢迎下载即 ON的中点到直线l1 的距离等于 ON长度的一半,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载以 ON为直径的圆与l1 相切.可编辑资料 - - - 欢迎下载（3）过点M作MHNP交NP于点H,就可编辑资料 - - - 欢迎下载22

11、2MNMHNH2x 2x12y 2y1,可编辑资料 - - - 欢迎下载22222可编辑资料 - - - 欢迎下载又y1=kx 1, y 2=kx2,（ y2 y12=kx 2 x1 . MN=1+k x 2 一 xl .可编辑资料 - - - 欢迎下载又点 M，N既在 y=kx 的图象上又在抛物线上,可编辑资料 - - - 欢迎下载 kx=1 x 21 ,即 x 4kx 4=0,x x=4k,x·x= 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载24222221212 22可编辑资料 - - - 欢迎下载MN=1+k x 2 一 x l =1+k =161+k . MN=41+k .可编辑

12、资料 - - - 欢迎下载延长 NP交 l 2 于点 Q,过点 M作 MS l2 交 l 2 于点 S,可编辑资料 - - - 欢迎下载12就 MS NQ=y12 y 2 2= 1 x 21+ 1 x 21+4可编辑资料 - - - 欢迎下载44可编辑资料 - - - 欢迎下载= 1 x 2 +x 2 +2= 1x +x22xx+2= 116k 2 +8 +2=4k 2 +4=4 1+k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载121212444可编辑资料 - - - 欢迎下载MS+NQ=M,N即 M，N两点到l2 距离之和等于线段MN的长.可编辑资料 - - - 欢迎下载【考点】 二次函数综合题,

13、待定系数法,曲线上点的坐标与方程的关系,中点坐标的求法,可编辑资料 - - - 欢迎下载直线与圆相切的条件,一元二次方程根与系数的关系,勾股定理.【分析】（ 1）依据点在曲线上, 点的坐标中意方程的关系,用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式.可编辑资料 - - - 欢迎下载（2） 要证以 ON为直径的圆与直线l1 相切, 只要证 ON的中点到直线l1 的距离等于ON可编辑资料 - - - 欢迎下载长的一半即可.可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） 运用一元二次方程根与系数的关系,求出 MN和 M，N两点到直线l 2 的距离之和,可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - -

14、 欢迎下载相比较即可.4. （ 2021 浙江义乌 12 分） 如图 1,已知直线 y=kx 与抛物线 y=4 x2 + 22 x 交于点 A（ 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载6）（1） 求直线 y=kx 的解析式和线段 OA的长度.273可编辑资料 - - - 欢迎下载（2） 点 P 为抛物线第一象限内的动点,过点P 作直线 PM,交 x 轴于点 M（点 M，O不重合）,交直线 OA于点 Q,再过点 Q作直线 PM的垂线,交y 轴于点 N摸索究：线段 QM与线段 QN 的长度之比是否为定值？假如是,求出这个定值.假如不是,说明理由.（3） 如图 2,如点 B 为抛物线上对称轴右侧的点,

15、点E 在线段 OA上（与点 O，A 不重合）, 点 D（ m,0）是 x 轴正半轴上的动点,且中意 BAE=BED=AOD连续探究：m在什么范畴时,符合条件的 E 点的个数分别是 1 个， 2 个？【答案】 解：（ 1）把点 A（ 3, 6）代入 y=kx得. 6=3k,即 k=2.y=2x. OA223 +6 =35 .（ 2）线段 QM与线段 QN的长度之比是一个定值,理由如下： 如图 1,过点 Q作 QGy轴于点 G,QHx轴于点 H当 QH与 QM重合时,明显 QG与 QN重合,可编辑资料 - - - 欢迎下载此时 QMQHQHtanAOM=2 .QNQGOH当 QH与 QM不重合时,

16、QNQM,QGQH 不妨设点 H, G分别在 x，y 轴的正半轴上, MQH= GQN.又 QHM= QGN=9°0 , QHM QGN. QMQHQHtanAOM=2 .QNQGOH当点 P，Q在抛物线和直线上不同位置时,同理可得QM =2 .QN线段 QM与线段 QN的长度之比是一个定值.（ 3）如图 2,延长 AB交 x 轴于点 F,过点 F 作 FCOA于点 C,过点 A 作 ARx轴于点 R. AOD= BAE, AF=OF.15OC=AC= OA=5 .22可编辑资料 - - - 欢迎下载 ARO=FCO=9°0, AOR=FOC,可编辑资料 - - - 欢迎下

17、载可编辑资料 - - - 欢迎下载OF= AOR FOC. OFAO3 55 .515可编辑资料 - - - 欢迎下载55.点 F（ 15 , 0）.2OCOR322可编辑资料 - - - 欢迎下载设点 B（ x,4 x 2 + 22 x）,过点 B 作 BK AR于点 K,就 AKB ARF.可编辑资料 - - - 欢迎下载27364 x2 + 22 x可编辑资料 - - - 欢迎下载 BKAK ,即FRARx3273.7.536可编辑资料 - - - 欢迎下载解得 x 1=6, x 2=3（舍去）.点 B（6, 2）.BK=6 3=3, AK=6 2=4. AB=5.在 ABE与 OED中

18、, BAE=BED, ABE+AEB=DEO+ AEB. ABE=DEO. BAE=EOD, ABE OED.设 OE=x,就 AE=3 5 x （ 0 < x < 35 ）,可编辑资料 - - - 欢迎下载由 ABE OED得 AEODABOE1 x 3 5x =1 x 2 + 3 5 x=1 x35+ 9555524 m=3 5xm,即.5x20 < x < 35 .可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载顶点为x35,9.可编辑资料 - - - 欢迎下载如图 3,当24m= 9 时, OE=x=35,此时 E 点有 1 个.可编辑资料 -

19、- - 欢迎下载42可编辑资料 - - - 欢迎下载时 E 点有 2 个当 0 < m <9时,任取一个 m的值都对应着两个x 值,此4可编辑资料 - - - 欢迎下载可编辑资料 - - - 欢迎下载当 m=9 时, E 点只有 1 个,当40 < m <9 时, E 点有 2 个.4可编辑资料 - - - 欢迎下载【考点】 二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,锐角三角函数定义,相像三角形的判定和性质,二次函数的性质.【分析】（ 1）利用待定系数法求出直线y=kx 的解析式,依据 A 点坐标用勾股定理求出线段OA的长度.（2） 如图 1,过点 Q作 QGy轴于点

20、 G,QHx轴于点 H,构造相像三角形 QHM 与QGN,将线段 QM与线段 QN的长度之比转化为相像三角形的相像比,即QMQHQH可编辑资料 - - - 欢迎下载QNQGOH立.tanAOM=2为定值需要留意争论点的位置不同时,这个结论照旧成可编辑资料 - - - 欢迎下载（3） 由已知条件角的相等关系 BAE=BED=AOD,可以得到 ABE OED.在相似三角形 ABE 与 OED中,运用线段比例关系之前需要第一求出AB的长度,如图2,可以通过构造相像三角形,或者利用一次函数（直线）的性质求得AB 的长度.设 OE=x,就由相可编辑资料 - - - 欢迎下载似边的比例关系可以得到m关于

21、x 的表达式 m=1 x235+ 9 ,这是一个二次函数 借可编辑资料 - - - 欢迎下载524助此二次函数图象（如图 3）,可见 m在不同取值范畴时, x 的取值（即 OE的长度,或 E 点的位置）有 1 个或 2 个.这样就将所求解的问题转化为分析二次函数的图象与性质问题.5. （ 2021 广西玉林，防城港 12 分） 如图,在平面直角坐标系x Oy 中,矩形 AOCD的顶点 A的坐标是（ 0,4 ）,现有两动点 P，Q,点 P 从点 O动身沿线段 OC（不包括端点 O, C）以每秒 2 个单位长度的速度,匀速向点 C 运动,点 Q从点 C 动身沿线段 CD（不包括端点 C, D）以每

22、秒 1 个单位长度的速度匀速向点 D 运动. 点 P, Q 同时动身,同时停止,设运动时间为 t秒,当 t=2 秒时 PQ=2 5 .（1） 求点 D 的坐标,并直接写出t 的取值范畴.（2） 连接 AQ并延长交 x 轴于点 E, 把 AE沿 AD翻折交 CD延长线于点 F, 连接 EF,就 AEF 的可编辑资料 - - - 欢迎下载面积 S 是否随 t 的变化而变化？如变化, 求出 S 与 t 的函数关系式. 如不变化, 求出 S 的值.（3） 在（ 2）的条件下, t 为何值时,四边形APQF是梯形？【答案】 解：（ 1）由题意可知,当t=2 （秒）时, OP=4, CQ=2,可编辑资料 - - - 欢迎下载在 RtPCQ中,由勾股定理得： PC= PQ2CQ2222 52=4,可编辑资料 - - - 欢迎下载OC=OP+PC=4+4.=8又矩形 AOCD, A（ 0, 4）, D（ 8,4）. t 的取值范畴为： 0 t 4.（ 2）结论： AEF 的面积 S 不变化.AOCD是矩形, ADOE, AQD EQC.可编辑资料 - - - 欢迎下载 CECQADD