高阶线性非齐次方程

1、常系数非齐次线性微分方程 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第八节型)()(xPexfmxxxPexflxcos)()(型sin)(xxPn1、 第七章 , )(*xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k特特解解形形式式二二阶常系数非齐次线性方程解法阶常系数非齐次线性方程解法)()(xPexfmx 1 1、 型型)1()(xfqyypy Yy *y通解通解2( )(2) ( )() ( )( ),muxp u xpq u xPxm 次多项式.232的的通通解解求求方方程程xxeyyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解特征方程特征方程, 0232 rr特征根特

2、征根，2121 rr,221xxeCeCY 是是单单根根，2 ,)(2*xebaxxy 特特解解设设代入方程代入方程, 得得xabax 22xexxy2*)121( 原方程通解为原方程通解为.)121(2221xxxexxeCeCy 例例1 1,121 ba 条滑过钉子需多少时间条滑过钉子需多少时间垂米，试问整个链垂米，试问整个链边下垂米，另一边下边下垂米，另一边下运动开始时，链条的一运动开始时，链条的一无摩擦的钉子上，无摩擦的钉子上，一质量均匀链条挂在一一质量均匀链条挂在一例例2 2oxm8m10解解,米米链链条条下下滑滑秒秒经经过过设设链链条条的的线线密密度度为为xt 则则,)8()10(

3、22gxgxdtxdm 99. 0)0(, 0)0(, xxgxgx即即, 1)(21)(,3131 tgtgeetx解解得得得所求时间得所求时间令令, 8 x)()809ln(3秒秒 gt例例3. 求解定解问题求解定解问题 0)0()0()0( 0123yyyyyy解解: 本题本题特征方程为特征方程为, 02323rrr其其根为根为设设原原方程特解为方程特解为,*xby 代入方程得代入方程得, 12b故故,*21xy0321CCC21322CC2, 1, 0321rrr故对应齐次方程通解为故对应齐次方程通解为1CY xeC2xeC23原方程通解为原方程通解为x211Cy xeC2xeC23由

4、初始条件得由初始条件得0432CC,0机动 目录 上页 下页 返回 结束 .2xxexeyyy 求求解解练习练习解解特征方程特征方程, 0122 rr, 121 rr对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.)(21xexCCY 设原方程的设原方程的特解特解为为,)(2*xebaxxy 通解为通解为,)()(211*xxebaxxexCCyYy .)(其中特解只写出形式其中特解只写出形式型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx sincos)(xPxPexfnlx 22ixieePeePexinxixilx xinlxinleiPPeiPP)()()22()22( ,)(

5、)()()(ximximexPexP 利用欧拉公式利用欧拉公式)(xfqyypy nlm,max 特特解解形形式式：型型二二、sin)(cos)()(xxPxxPexfnlx ,sin)(cos)()2()1(*xxRxxRexymmxk nlm,max 1,; 0, kiki是根是根当当则则不是根不是根 )2sin2(cos23xxxeyyyx xyycos ,2sin)(2cos)(*xdcxxbaxeyx 特特解解),sincos(*xbxaxy 特解特解.sin4的的通通解解求求方方程程xyy 解解对应齐次方程通解对应齐次方程通解,sincos21xCxCY ,是单根是单根i ),si

6、ncos(*xbxaxy 设特解设特解例例4 4特征方程特征方程, 012 r，ir .)(其中特解只写出形式其中特解只写出形式*12cossin( cossin )yYyCxCxx axbx 通通解解.)(2cos(214其其中中特特解解只只写写出出形形式式求求解解xxyy 例例5 5解解特征方程特征方程,042 r特征根特征根,22,1ir 对应的齐次方程的通解为对应的齐次方程的通解为.2sin2cos21xCxCY ,*1baxy 的的特特解解为为设设xyy214 的的特特解解为为设设xyy2cos214 ),2sin2cos(*2xdxcxy 原方程的通解原方程的通解 *2*1yyYy

7、特别地特别地xAeqyypy 是重根是重根是单根是单根不是根不是根 xxxeBxBxeBey2*,特别地特别地)0()( 相应相应xPqyypym),(,0*xQyqm 设设时时当当, )(*xQexymxk 设设 是重根是重根是单根是单根不是根不是根2,10k一一个个特特解解形形式式)(xPeqyypymx ),(,0, 0*xxQypqm 设设时时当当小结小结原方程通解为原方程通解为.cos21sincos)(21xxxCxCxf 00( )( )( ),xxxf xxexf t dttf t dt 0( )( )xxxfxexef t dt ( )2( )xxfxxeef x ( )(

8、)2xxfxf xxee 即即(0)0,(0)1ff 且且例例5 5 求解求解解解 对对x 求导，得求导，得再对再对x 求导，得求导，得.sin21cos)21(sin)(21xxxCxCxf 1)0(, 0)0( ff由由21, 021 CC得得).cos(sin21)(xxxxf 所求所求101( ),()1( ),( ).2f xf ux duf xf x 二、可导 且求一、求通解一、求通解 1+xyyx 、222()01yyy 、的解的解. 三、三、设函数设函数),()(在xyy,)()(, 0的反函数是xyyyxxy内具有连续二阶导内具有连续二阶导(1) 试将试将 xx( y) 所满

9、足的微分方程所满足的微分方程 变换为变换为 yy(x) 所满足的微分方程所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数数, 且且23)0( y(2003考研考研)的解. 例例6.设函数),()(在xyy,)()(, 0的反函数是xyyyxxy内具有连续二阶导(1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程 变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;(2) 求变换后的微分方程满足初始条件 0)dd)(sin(dd322yxxyyx, 0)0(y数, 且23)0( y解解: ,1ddyyx, 1ddyxy即上式两端对 x 求导, 得 (1) 由反函数的导数公式知(2003考研考研)0)dd)(sin(