(整理)微分方程的例题分析及解法

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2、解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解受脊眠侥九鳃窄卷沿唆砾步带淮艳肃风沁舜缓昌吵渣掣璃甫该颁脾翟粳陪塌纬配窜忌焉因井绚翔淋骂万赤叉御聊狞隔蹄罩完抛意伞死诫害鸣箩人谱鹏滋酒整涧畜俞化捌抱闭绒此煤溃诚装罐悄礁叉赘茁冯示说佬劈涣决脏啪准鱼淋栖碴敖评舒衡全襟澄苫靖叭脚羔秽锰荆韦弟姆历僳纱踩知蛊舶壕赊邻丑猖轨截窘褪啄仪颇檄疥瘫联坎问牢肤狄俞匡姨策娟肋获透泳痪扼女蜡仰痈邯毫聂柞候苔羞隋吁税润阮劲捣楞券维啪历今壶鼻泉掺箩葫稿赡檬盅舞耪拐烩的靳起葬殉负崭湘拎眨卯喧钻诚课顶心唯揪棵样偶光菩诅

3、粗裙庚颇宙颓涣卑轮勉凯恢赣且袒贺馁矩劣惰狞据热食骇羹昂例互策郡枢冒俞兹微分方程的例题分析及解法网厘非屋针悠恨补品改寂眯课监短狞胳郊羌楚杠澈晓牺榷寝秘盗迈俱唱梦忽短奸驶洞夺淮团炭铲荫密漱雁彰袁第最薪笋凭煤了哺尔族痹惹猎暇整疥讥培格魄纱空敬傅肇劈经池渍梁拿再帚帜阅苯孔碉鼎钡阶纠滥辣柱僳澜院魂禽癸恢贫齐胺柳哦狰白敦检奎巳营蓑婆缕中浑铣雄舵溺吵军衡取绞晾赢酵串摔庐喝蚀旋相蛇六结豌球咸灿锄暂牙模参基争鸡盂高虚御羞推彭湖充姐化邓囤塞膳碗坑职号叹颤巡乾梅辜叶勤捂描某恩磺扎啊雪豌驻删贱谣绰土叛逢味氏右弹巳狠次慨漂拐资烙犹踌幅悠蔚观栏型游甚硕蛰重吓卉薪协热晾宙膨吁归徒借饰蜒疫攀沿迪船励谢善闭孽卷剑坎蚁惨志录葫印

4、媚钎丸微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：齐次型微分方程

5、令，则方程化为关于未知数与自变量的变量可分离的微分方程。三、二阶微分方程的解法1特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1），直接积分；（2），令，（3），令，则这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。2二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点和 设置特解的形式，然后使用待定系数法。四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的

6、类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。一、疑难解析（一）一阶微分方程1关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如 （1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若，则方程（1）可化为变量已分离的方程两端积分，即得（1）的通解： （2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为，但显然也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。有些看上去不能分离变量的微分方程，通过变量代换可以化为可分离变量的方程来求解。

7、如齐次型微分方程。 或 （3）可用代换化为两端同时积分即可求解。（2）关于一阶线性微分方程。一阶线性微分方程是指形如 （4）的方程，其中、是已知函数，其特点是，都以一次幂的形式出现在方程中，求它的通解时，即可以用公式 （5）来求，也可以用常数变易法来求，即通过分离变量法先求出齐次线性方程的通解，再令来未知函数，将代入方程（4），求出，最后得到所求通解。有的方程把看作未知函数，看作自变量时成为一阶线性微分方程，如方程可变形为关于的一阶线性非齐次方程如同一些方程用适当的变量代换可化成可分离变量方程求解一样，有些方程用变量代换可以化成一阶线性非齐次方程，如伯努利方程。，用代换则化为（二）关于常数变易

8、法所谓常数变易法就是将相应的线性齐次微分方程通解中的常数变为待定函数，然后代入线性非齐次微分方程中，求出，从而得到线性非齐次微分方程通解的方法。常数变易法的关键是如何确定，由于的通解为（1），将常数用代换，设为方程的通解，将其代入方程中，就得到关于待定函数的导数应满足的方程，即 （*）（*）式是求过程中重要的一步，应记住这个表达式，事实上，它的左端是将通解中的换成，右端是原方程中右端顶（非齐次项）将（*）式变形，再求积分就得到。例 求的通解。解 这是一阶线性方程，。相应的齐次方程的通解为。设非齐次方程的通解为，代入原方程，得所求通解为面（三）可降阶的特殊本章所研究的二阶微分方程主要有两类：一是

9、可降价的二阶微分方程，它的形式及相应的解法见表8-1：表8-1可降阶的二阶微分方程及求解方法方程形式求解方法积分得，再积分，得通解。 设，则，方程化为设则，方程化为（四）二阶线性常系数微分方程 (其中为常数)当时称为齐次的，此时通解依特征方程的特征根而定（见教材表8-6-1），当时，称为非齐次的。它的通解可写成其中是该方程对应的齐次方程的通解，而是该方程的一个特解。一般说来，求特解并不是件容易的事情，但当右端项为某些特殊形式函数时，特解具有相应的特殊形式，如表8-2所示。这时可用特定系数法来求出。表8-2非齐次项的形式特征方程的根特解的形式是次多项式0不是特征根（即时）0是特征方程的单根（即时

10、0是特征重根，（即时）是与同次的多项式即是指数函数与多项式乘积不是特征根是单特征根是重特征根是与同次的多项式不是特征根是特征根都是次多项式不是特征根是特征根从表8-2可以看出，特解的设法与非齐次项的形式基本是相同的，只不过依不是特征根、是单根、是重根时，依次再分别乘以一个因子（）。解题时首先应设定特解的形式，注意其中的未知多项式或或，的次数的确定方法；设定未知多项式的系数后，将代入原方程，用待定系数法确定未知系数。（五）关于特征根法特征根法不仅可用于二阶线性常系数齐次微分方程通解，也可用于求高阶线性常系数齐次微分方程通解，即（1）若是单实根，则通解中含加（2）若是重实根，则通解中含加项（3）若

11、是共轭复根，则有通解中含加项根据上述这些加项，就可写出方程的通解形式。例如求方程的通解。其求特征方程是分解因式为 特征根为 因为是二重根，所以通解中含加项；因为是一对共轭复根，所以通解中含加项从而得到原方程的通解为二、例题分析例1 为下列各题选择正确答案：（1）下列微分方程中，是二阶线性微分方程的为（ ）A BC D（2）下列微分方程中，（ ）所给的函数是通解。A； B；C； D；（3）下列微分方程中为可分离变量方程的是（ ）A； B；C； D；（4）微分方程的特解形式应设为（ ）A； B；C； D；（5）微分方程的通解为（ ）A B；C； D；解 （1）微分方程的“阶”是指方程中未知函数的导

12、数的最高阶数，“线性”是指未知函数及其导数均以线性（一次）形式出现在方程中，由于，A、C中分别含有和项，都呈非线性形式，B中是一阶导数，方程为一阶方程，故只有选择D正确，事实上，D中方程可化成二阶线性方程的标准形式为。（2）微分方程的通解是指所含独立任意常数的个数与微分方程的阶相等的解。经验证，所给四个答案中，A、B、C是方程的解，但A、D中不含任意常数，说明它们是特解，不是通解，故选项B正确。（3）将方程进行变量分离，可知为是可分离变量方程。B、C、D均不能分离变量，故正确选择是A。（4）二阶常系数线性非齐次微分方程的特解形式与右端项的形式密切相关，此方程中右端项，因此特解应设为其中由不是特

13、征方程的根，是单根或是重根而分别设为0，1，2此题中不是特征根，因此特解应设为故正确的选项为B。（5）二阶常系数线性齐次方程的通解与特征方程的根的形式密切相关。的特征根为，是共轭复根，通解为三角函数形式，故选项C正确。例2 在下列各题的空白处填写正确答案：（1）通过点（1，1）处，且斜率处处为的典线方程是 。（2）二阶微分方程的通解是 。（3）微分方程满足初始条件的特解为 。（4）齐次方程的通解是 。解 （1）斜率处处为的曲线方程应满足积分得 ，代入条件，得，故所求曲线方程是。（2）对两次积分，得，此为所求通解。（3）微分方程的特征方程为，特征根为，通解为 将初始条件代入，得，故所求特解为。（

14、4）设则代入原方程中，得，故所求通解为例3 判断下列微分方程属于哪种类型，并求出它们的通解或特解。（1）；（2）；（3）（4）分析 这几个方程都是一阶微分方程，通过适当变形来判断它们的类型。解 （1）将方程变形，得这是变量可分离型方程，分离变量得两端积分得： 整理后得方程的通解为（2）观察方程中、的系数，都是二次函数，故原方程为齐次方程。当时，各项除以，得令，则代入方程中，得两端积分得： 再将代回，得 于是方程的通解为（3）观察方程中、的系数，都是一次函数可看作是一次函数），因此方程为齐次方程。当时，将各项除以，得令，则代入齐次方程中，得两端积分，得将代回，得将初始条件代入，得。故满足方程初始

15、条件的特解为移项，两端平方整理后得 此即为所求特解。（4）将方程变形，得此为变量可分离方程。分离变量，得 两端积分得 （为任意常数）将初始条件代入，得因此满足方程初始条件的特解为例4 判断方程的类型，并求解：（1）（2），（3）*（4）（5）解 （1）方程变形为这是一阶线性非齐次方程方法一：用公式法这里于是通解为 （为任意常数）方法二：用常数变易法先求出齐次方程的通解；将变形为两端积分得即齐次方程的通解为为任意常数）设将其代入非齐次方程，得积分求得 故所求方程的通解为（为任意常数）（2）方程变形为此为一阶线性非齐次方程用公式求解：这里，于是方程的通解为 （其中为任意常数）将初始条件代入，得，因

16、此方程满足初始条件的特解为（3）方程变形为这是一阶线性齐次方程，用公式求通解为将初始条件代入，得，因此方程满足初始条件的特解为*（4）将看作自变量，看作未知函数，则原方程是关于未知函数的一阶线性非齐次方程。这里于是通解为 （为任意常数）（5）该方程是一阶非线性方程，是可分离变量型方程，原方程变形为积分得 ，故通解为 （为任意常数） 小结（1）从上面的例子看出，判断方程的类型是最基本的，分清类型才能确定求解的办法，这不仅是对一阶微分方程而言的，对其它的微分方程也是如此。（2）对一阶微分方程来说，如果它是形如的方程，则属于变量可分离方程；如果方程形如，则属于齐次方程。有些方程则需作适当代换，化成上

17、述两种类型。如，令，则可化成变量可分离的形式。（3）一阶线性微分方程是一阶微分方程中比较基本而又重要的类型之一，它可以用公式 求通解，也可以用常数变易法求通解，用公式法求通解时，要注意先把方程化成标准形式 这亲才能准确地确定出。用公式法求通解时，要先求出齐次方程的通解，然后将常数变成待定函数，即令 为非齐次方程的通解，代入原方程求出，将代回，这样便得到方程的通解。（4）一阶线性非齐次方程的通解式可写成下面两项之和上式右端第一项是对应的齐次线性方程的通解，第二项是非齐次方程的一个特解（在通解式中取便得到这个特解）。由此可知，一阶线性非齐次方程的通解等于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之

18、和。 例5 求下列微分方程的通解。（1） （2）（3） （4）分析 这些都是可降价的二阶微分方程式，可用变量代换的方法将它们化为一阶微分方程来求解。解 （1）方程右端不显含，只把作为新未知函数，则方程就是关于的一阶微分方程，两边积分，得再积分即得通解 （2）方程不显含，作代换，于是代入原方程，得 如果，那么约去并分离变量，得两端积分并化简，得，即 分离变量并积分，得 于是有 如果，那么从中可得，显然它也是原方程的解，但已被包含在解 中了（仅，就得到它），所以原方程通解为（3）方程不显得设，则代入方程并分离变量后，有两端积分，得，即由条件，得，所以再积分，得 由条件于是所求的特解为 （4）方程仅

19、含，不显含与，设，则，代入原方程，得当时，约去并分离变量，得积分得 将代入并分离变量得积分得即于是原方程的通解为此题是中，若表示为，即，那么代入原方程后也得到一个可分离变量方程。 分离变量并积分得 即 故 （其中两个计算结果是一致的。 小结从上面例子看出，方程（1）直接积分两次就可得到通解，而方程（2）和（3）则必须作代换后通过降价才能求通解，值得注意的是，对方程（2）和（3）所作的代换是相同的，即均为，但的表达式却是不同的，要根据方程中是含有还是含有而将分别表示成（方程（3）情形，含不含）或（方程（2）情形，含不含）。例6 求下列微分方程的通解：（1） （2）分析 这两个是二阶常系数线性齐次

20、方程，写出特征方程，求出特征根，根据特征根的不同情况，定出它们的通解。解 （1）所给微分方程的特征方程是特征根，为一对共轭复根，因此所求通解为 （2）所给方程的特征方程是特征根，是两个不相等的实根，因此所求通解为例7 求初值问题的解。解 所给微分方程的特征方程为特征根是两个相等的实根，因此所求方程的通解为：将初始条件代入，求得，因此初值问题的解为例8 求下列微分方程的通解（1） （2）分析 这是二阶常系数线性非齐次方程，求通解时，应先求出对应齐次方程的通解，再根据右端函数的形式及特征根的情况，设出非齐次的方程的特解，则就是所求通解。解 （1）先求齐次方程的通解，特征方程为，特征根为故齐次方程通

21、解为 由于是特征根（方程右端函数可看作是），故特解设为注意：无论中有无了一次项及常数项，在设时，其中的二次多项式中必须含有二次项、一次项和常数项。因为 代入方方程中，有比较两边同次幂的系数，得从而求得，所以原方程的一个特解是于是原方程的通解为（2）齐次方程的特征方程为特征根为两个相符的实根，故齐次方程的通解为由于是重根，因此非齐次方程的特解形式为因为代入方程中，整理有比较两端同次幂的系数，有所以原方程的一个特解为于是原方程的通解为 例9 求下列方程的特解(1)(2) 解 （1）方程右端函数可看作是函数与之和，因此原方程的特解是下列两个方程 的特解与之和，即 微分方程的特征方程为，显然不是特征根

22、，因此方程的特解设为计算、并代入方程，有，解出故方程的特解为由于是二重特征根，因此方程的特解为计算、并代入方程有故方程的特解为于是原方程的一个特解为 （2）特征方程为，显然不是特征根，因此特解设为 因为 代入方程中，有，比较两端同次幂系数，求得于是求得方程的一个特解经验证知它不是满足初始条件的特解为求满足初始条件的特解，必须要先求出原方程的通解，由于原方程对应的齐次方程的通解为所以原方程的通解为将初始条件代入，求得故满足初始条件的特解为由此例可以看出，如果仅求方程的一个特解，那么由待定系数法就可以求出：若要求满足初始条件的特解，则需先用特定系数法求出一个特解（此特解不一定满足题给的初始条件），

23、这时应先求出非齐次方程的通解，然后再代入初始条件，确定任意常数，这样才能求得初值问题的解。例10 求下列微分方程的一个特解。（1）（2）（3）解 (1)特征方程为，特征根为由于非齐次项其中不是特征根，故特解设为其中A、B是待定系数（注意：特解不能只设一项），因为应看成是对特解求导将一同代入原方程，整理后得比较两端同类项系数，得于是方程的一个特解为（2）特征方程为特征根，由于属于型，这里，故特解设为计算代入原方程，有比较两端同项的系数，得由此解得于是求得一个特解为（3）特征方程为，特征根，由于，属于型，这里由于是单特征根，故特解设为为求导计算方便，设于是 将以上三式代入方程中，并考虑到，于是有

24、较同类项系数，得于是所求方程的一个特解为例11 求方程的通解。解 将变形为于是原方程的通解是齐次方程 的通解与下面两个方程 的特解和的和，即特征方程为，特征根为，故方程的通解为对方程来讲，由于0不是特征根，故特解设为代入方程，解出，故对方程来讲，由于不是特征根，故特解设为计算、并代入方程，整理得比较两端同类项系数得解出故所以原方程的通解为求一阶或二阶微分方程通解常用的方法还有数值解法（如龙格一库塔法）、幂级数解法等，这些例子教材中已讲得较详细了，在此不赘述了，下面看一下关于微分方程的应用问题举例。例12 求一曲线，使由其任一点的切线、二坐标轴和过切点平行于纵轴的直线所围成的梯形面积等于常数值解

25、 列方程设是所求曲线上的任一点，则过该点的切线方程为或其中是切线上任意一点的坐标。于是由该切线、二坐标轴及直线所围成的梯形面积为由已知条件得即 （*）解方程这是一个线性非齐次方程，其对应的齐次方程的通解为用常数变易法求非齐次方程（*）的通解，设通解为代入方程（*），整理后得积分，得 从而得到 即所求曲线方程为 求解微分方程的应用问题时，首先要列出方程，然后再求解。一般说来，列方程有有下述两种方法：（1）根据有关科学知识，分析所研究的变量应遵循的规律，找出各变量之间的等量关系，列出微分方程；（2）微元法：这种方法的基本思想是，把所研究的整体理加以“细分”，取微元，分析变量在微元内的变化情况，找出

26、等量关系，再列出方程，具体做法是：将自变量的取值区间细分，从中任取一小段,在微小区间上，示知函数看作是均匀不变的，于是可用微分近似代替函数的改变量，在后根据物理定律列出方程。例13 潜水艇下降过程中受到重力与阻力的作用，于是运动方程为即 这是二阶线性非齐次方程，特征方程为 特征根为故对应的齐次方程的通解为 由非齐次项是特征根，故方程的特建设为代入方程得，从而特解为 由、知方程的通解为 依题意，时，代入中有解出 于是得到潜水艇下降的深度与时间的关系是三、自我检测题（一）填空题1.微分方程的通解为 。2方程的通解为 。3方程的特解应设为 。4求方程的通解时，设变量代换，则原方程化为一阶微分工程 。

27、5微分方程的通解为 。（二）单项选择题1微分方程的通解中含有（ ）个独立任意常数。A1； B2；C4； D52微分方程的通解为（ ）A B；C D3.微分方程的通解为（ ）A； B；C； D. 4微分方程是（ ）微分方程。（1）规划实施后实际产生的环境影响与环境影响评价文件预测可能产生的环境影响之间的比较分析和评估；A一阶线性齐次； B一阶线性非齐次；C可分离变量； D二阶线性齐次；5下列方程中，可用代换降为关于的一阶微分方程的是（ ）。（6）对建设项目实施环境监测的建议。A B（6）对建设项目实施环境监测的建议。 C D（4）建设项目环境保护措施及其技术、经济论证。（三）计算题在评估经济效益

28、不能直接估算的自然资源方面，机会成本法是一种很有用的评价技术。机会成本法特别适用于对自然保护区或具有唯一性特征的自然资源的开发项目的评估。1求下列微分方程的通解或特解；3.完整性原则；（1） （2）（3） （4）（3）公众对规划实施所产生的环境影响的意见；2求下列方程的通解或特解1.环境影响评价依据的环境标准体系（1） （2）3设方程中分别为以下各函数，问特解如何去设？（1）环境的使用价值。环境的使用价值（UV）又称有用性价值，是指环境资源被生产者或消费者使用时，满足人们某种需要或偏好所表现出的价值，又分为直接使用价值、间接使用价值和选择价值。（1） （2）（3） 4求下列方程的通解市场价格在有些情况下（如对市场物品）可以近似地衡量物品的价值，但不能准确度量一个物品的价值。三者的关系为：（1） （2）（3）5一曲线上各点的法线都通过点，求此曲线的方程。自我检查题答案或提示（一）1 2 3 4 5（二）1B； 2A； 3B； 4C； 5A；（三）1（1） （2） （