晓223面积 一元二次方程(3)

1、实际问题实际问题与一元二次方程与一元二次方程(3)列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的一般步骤：复习复习(1)审审：明确数量关系；：明确数量关系；(2)设设：设出未知数；：设出未知数；(3)找找：找出相等关系；：找出相等关系；(4)列列：列出一元二次方程；：列出一元二次方程；(5)解解：求出一元二次方程的根；：求出一元二次方程的根；(6)检检：检验方程的根是否符合实际问题；：检验方程的根是否符合实际问题；(7)答答：写出答案。：写出答案。 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中央是正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形一个与整个封面长宽比

2、例相同的矩形,如果要使四周的边如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、左、右边衬等宽右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?2721分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,正中央的矩形两边之比也正中央的矩形两边之比也为为9:7,由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为由此判断上下边衬与左右边衬的宽度之比也为9:7解法二解法二:设上下边衬的宽为设上下边衬的宽为9xcm，左右边衬宽为，左右边衬宽为7xcm依题意得依题意得212743)1421)(1827(xx解方程得解方程得4336x(以下

3、同学们自己完成以下同学们自己完成) 要设计一本书的封面要设计一本书的封面,封面长封面长27,宽宽21,正中正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周如果要使四周的边衬所占面积是封面面积的四分之一的边衬所占面积是封面面积的四分之一,上、下边衬等宽上、下边衬等宽,左、右边衬等宽左、右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度应如何设计四周边衬的宽度?分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两依题知正中央的矩形两边之比也为边之比也为9:7解法一解法一:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题

4、意得39x 7x27214解得解得 13 3x2 23 3x()2 舍舍去去探究探究327216.259.2273.13x分析分析:这本书的长宽之比是这本书的长宽之比是9:7,依题知正中依题知正中央的矩形两边之比也为央的矩形两边之比也为9:7解法二解法二:设正中央的矩形两边分别为设正中央的矩形两边分别为9xcm，7xcm依题意得依题意得39x 7x27214解得解得 13 3x2 23 3x()2 舍舍去去故上下边衬的宽度为故上下边衬的宽度为: 1.8cm 左右边衬的宽度为左右边衬的宽度为:1.4cm探究探究327216 . 259. 2273. 13x8 . 126 . 29272927 x

5、4 . 126 . 27212721 x 在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四在长方形钢片上冲去一个长方形，制成一个四周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为周宽相等的长方形框。已知长方形钢片的长为30cm，宽，宽为为20cm,要使制成的长方形框的面积为要使制成的长方形框的面积为400cm2，求这个，求这个长方形框的框边宽。长方形框的框边宽。X XX X30cm30cm20cm20cm解解:设长方形框的边宽为设长方形框的边宽为xcm,依题意依题意,得得3020(302x)(202x)=400整理得整理得 x2 25x+100=0得得 x1=20, x2=5当当x=20时时,20-2x= -

6、20(舍去舍去);当当x=5时时,20-2x=10答答:这个长方形框的框边宽为这个长方形框的框边宽为5cm探究探究分析分析:本题关键是如何用本题关键是如何用x的代数式表示这个长方形框的面积的代数式表示这个长方形框的面积列一元二次方程解应用题的一般步骤：列一元二次方程解应用题的一般步骤：复习复习(1)审审：明确数量关系；：明确数量关系；(2)设设：设出未知数；：设出未知数；(3)找找：找出相等关系；：找出相等关系；(4)列列：列出一元二次方程；：列出一元二次方程；(5)解解：求出一元二次方程的根；：求出一元二次方程的根；(6)检检：检验方程的根是否符合实际问题；：检验方程的根是否符合实际问题；(

7、7)答答：写出答案。：写出答案。某校为了美化校园某校为了美化校园,准备在一块长准备在一块长32米米,宽宽20米的长方形场地上修筑若干条道路米的长方形场地上修筑若干条道路,余余下部分作草坪下部分作草坪,并请全校同学参与设计并请全校同学参与设计,现在现在有两位学生各设计了一种方案有两位学生各设计了一种方案(如图如图),根据两根据两种设计方案各列出方程种设计方案各列出方程,求图中道路的宽分求图中道路的宽分别是多少别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540540米米2 2. .(1)(2)(1)解解:(1):(1)如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x米，则米，则540)220)(

8、232(xx化简得，化简得，025262xx0) 1)(25(xx1,2521xx其中的其中的 x=25超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.图图(1)中道路的宽为中道路的宽为1米米.求图中道路的宽分别是多少求图中道路的宽分别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540则横向的路面面积为则横向的路面面积为 ，解法二、解法二、 如图，设道路的宽为如图，设道路的宽为x x米，米，32x 32x 米米2 2纵向的路面面积为纵向的路面面积为 。20 x 20 x 米米2 2注意：这两个面积的重叠部分是注意：这两个面积的重叠部分是 x x2 2 米米2 2所列的方程是不是所列

9、的方程是不是32 20(3220 )540 xx？图中的道路面积不是图中的道路面积不是3220 xx米米2 2。(2)求图中道路的宽分别是多少求图中道路的宽分别是多少?使图使图(1),(2)的草坪的草坪面积面积为为540矩形面积矩形面积- -道路面积道路面积=540=540米米2 2。矩形面积矩形面积- -道路面积道路面积=540=540米米2 2。(2)而是从其中减去重叠部分，而是从其中减去重叠部分，即应是即应是23220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽

10、，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）122,50 xx而是从其中减去重叠部分，即应是而是从其中减去重叠部分，即应是23220 xxx米米2所以正确的方程是：所以正确的方程是：232 203220540 xxx化简得，化简得，2521000,xx其中的其中的 x=50 x=50超出了原矩形的长和宽，应舍去超出了原矩形的长和宽，应舍去. .取取x=2x=2时，道路总面积为：时，道路总面积为：232 2 20 2 2 =100 (米米2

11、)草坪面积草坪面积= =32 20 100= 540（米（米2）答：所求道路的宽为答：所求道路的宽为2 2米。米。122,50 xx解法三解法三 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）(2)(2)如图，设路宽为如图，设路宽为x x米，米，草坪矩形的长（横向）草坪矩形的长（横向）为为 ，草坪矩形的宽（纵草坪矩形的宽（纵向）向） 。相等关系是：

12、草坪长相等关系是：草坪长草坪宽草坪宽=540=540米米2 2(20-x)(20-x)米米（32-x)32-x)米米即即3220540.xx化简得：化简得：0100522xx2,5021xx解得如图是宽为如图是宽为20米米,长为长为32米的矩形耕地米的矩形耕地,要修要修筑同样宽的三条道路筑同样宽的三条道路(两条纵向两条纵向,一条横向一条横向,且互相且互相垂直垂直),把耕地分成六块大小相等的试验地把耕地分成六块大小相等的试验地,要使试要使试验地的面积为验地的面积为570平方米平方米,问问:道路宽为多少米道路宽为多少米?解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，则则570)20)(232(xx解

13、法三解法三 我们利用我们利用“图形经过移动，图形经过移动，它的面积大小不会改变它的面积大小不会改变”的道理，的道理，把纵、横两条路移动一下，使列把纵、横两条路移动一下，使列方程容易些（目的是求出路面的方程容易些（目的是求出路面的宽，至于实际施工，仍可按原图宽，至于实际施工，仍可按原图的位置修路）的位置修路）解解: :设道路宽为设道路宽为x x米，米，得得570)220)(232(xx035362xx0) 1)(35(xx1,3521xx其中的其中的 x=35超出了原矩形的宽，应舍去超出了原矩形的宽，应舍去.答答:道路的宽为道路的宽为1米米.32-2X20 -2X3020如图，要设计一幅长如图，

14、要设计一幅长30m30m，宽，宽20m20m的图案，其中有两的图案，其中有两横两竖的彩条，横竖彩条的宽度之比为横两竖的彩条，横竖彩条的宽度之比为3232 ，若要，若要使彩条所占面积是图案面积的四分之一余，应该如使彩条所占面积是图案面积的四分之一余，应该如何设计彩条的宽度？何设计彩条的宽度？（2011上海）上海）如图如图,长方形长方形ABCD,AB=15m,BC=20m,四四周外围环绕着宽度相等的小路周外围环绕着宽度相等的小路,已知小路的面积已知小路的面积为为246m2,求小路的宽度求小路的宽度.ABCD解解: :设小路宽为设小路宽为x x米，米，则则2015246)215)(220(xx化简得

15、，化简得，01233522xx0)412)(3(xx不合题意，舍去）(241, 321xx答答:小路的宽为小路的宽为3米米.1.如图，用长为如图，用长为18m的篱笆（虚线部分），两面靠的篱笆（虚线部分），两面靠墙围成矩形的苗圃墙围成矩形的苗圃.要围成苗圃的面积为要围成苗圃的面积为81m2,应该应该怎么设计怎么设计?解解:设苗圃的一边长为设苗圃的一边长为xm,则则81)18( xx化简得，化简得，081182xx0)9(2 x答答:应围成一个边长为应围成一个边长为9米的正方形米的正方形.921xx1. (2003年年,舟山舟山)如图，有长为如图，有长为24米的篱笆，一面利米的篱笆，一面利用墙（墙

16、的最大可用长度用墙（墙的最大可用长度a为为10米），围成中间隔有米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽一道篱笆的长方形花圃。设花圃的宽AB为为x米，面米，面积为积为S米米2，（1）求）求S与与x的函数关系式的函数关系式;（2）如果要围成面积为）如果要围成面积为45米米2的花圃，的花圃，AB的长是多少米？的长是多少米？【解析】【解析】(1)(1)设宽设宽ABAB为为x x米，米，则则BCBC为为(24-3x)(24-3x)米，这时面积米，这时面积S=x(24-3x)=-3xS=x(24-3x)=-3x2 2+24x+24x(2)(2)由条件由条件-3x-3x2 2+24x=45+24

17、x=45化为：化为：x x2 2-8x+15=0-8x+15=0解得解得x x1 1=5=5，x x2 2=3=30024-3x1024-3x10得得14/3x14/3x8 8xx2 2不合题意，不合题意，AB=5AB=5，即花圃的宽，即花圃的宽ABAB为为5 5米米2、（探究性题）一块矩形耕地大小尺寸如图（、（探究性题）一块矩形耕地大小尺寸如图（1）所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖所示，要在这块土地上沿东西和南北方向分别挖2条条和和4条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的条小渠，如果小渠的宽相等，而且要保证余下的耕地面积为耕地面积为9600 ，那么水渠应挖多宽？，那么水渠应挖多

18、宽？2m16264（2）分析：这类问题的特点分析：这类问题的特点是，挖渠所占面积只与是，挖渠所占面积只与挖渠的条数和渠道的宽挖渠的条数和渠道的宽度有关，而与渠道的位度有关，而与渠道的位置无关，为了研究问题置无关，为了研究问题方便可分别把东西和南方便可分别把东西和南北方向的渠道移动到一北方向的渠道移动到一起（最好靠一边），如起（最好靠一边），如图（图（2）所示。那么剩）所示。那么剩余可耕的长方形土地的余可耕的长方形土地的长为（长为（162-2x)m,宽为（宽为（64-4x)m解：设水渠的宽为解：设水渠的宽为xm,列方程得：列方程得：（1622x）（）（64-4x)=9600，解得，解得 =1，

19、=96（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为（不合题意，舍去）。答：水渠的宽为1m.1x2x16264（1）范例范例例例1、四周有宽度相等的花边的地毯如、四周有宽度相等的花边的地毯如图所示，它的长为图所示，它的长为8m，宽为，宽为5m，如果，如果地毯中央长方形图案的面积为地毯中央长方形图案的面积为18m2，求花边的宽度？求花边的宽度？巩固巩固1、如图，某小区在一块长、如图，某小区在一块长50米，宽米，宽30米的矩形地上绿化，并在地块中间修两米的矩形地上绿化，并在地块中间修两条宽相等的成条宽相等的成“十十”字形的小道，要求小字形的小道，要求小道的总面积能占总地块面积的道的总面积能占总地块面积的5%。

20、试。试求小道的宽求小道的宽(精确到米精确到米)？巩固巩固2、如图是一张面积为、如图是一张面积为630cm 2的矩形张的矩形张贴广告，它的上、下、左、右空白部分贴广告，它的上、下、左、右空白部分的宽都是的宽都是2cm，设印刷部分，设印刷部分(矩形矩形)的一的一边为边为xcm，印刷面积为，印刷面积为ycm2。(1)试用试用x的代数式表示的代数式表示y；(2)若印刷面积为若印刷面积为442cm2时，求张贴广时，求张贴广告的长和宽。告的长和宽。范例范例例例2、要设计一本书的封面，封面长、要设计一本书的封面，封面长27cm，宽，宽21cm，正中央是一个与整个封，正中央是一个与整个封面长、宽比例相同的矩形。如果要使四面长、宽比例相同的矩形。如果