固体物理第一章习题

1、1第一章 习题22在立方晶胞中，画出(101)，(021)，(122)和(210)晶面提示提示密勒指数(hkl)为离坐标原点最近的晶面与坐标轴截距的倒数。思路和步骤思路和步骤（1）画一晶胞，选取坐标原点和坐标轴。（2）在三个坐标轴上作截点。（3）由三截点确定晶面。3解答解答44设某一晶面族的面间距为d，三个基矢a1，a2，a3 末端分别落在离原点的距离为h1d，h2d，h3d的晶面上。试用反证法证明：h1，h2，h3互质。abca1a2a3On分析分析基矢a1，a2，a3 末端分别落在离原点的距离为h1d，h2d，h3d的晶面上，等价于与坐标原点最近的晶面在坐标轴上截距为a1/ h1， a2/

2、h2， a3/ h35证明证明 设该晶面族的单位法矢量为n取离原点最近的晶面上一个格点，该格点的位置矢量为112233rl al al a l1, l2, l3是整数112233r ndl a nl anl an 112233,anhdanh danh d 由已知条件可得1 12233r ndl hdl h dl h d 则1 122331l hl hl h则6假定h1, h2, h3不是互质数，公约数p1112233,.hpk hpk hpk1 122331l hl hl h1 12 23 31pk lpk lpk l1 12 23 31k lk lk lp于是得到：由上式可得：上式左端是整

3、数，右端是分数，显然是不成立的矛盾的产生是p为不等于1的整数的假定。也就是说p只能等于1，即h1, h2, h3一定是互质数。78六角晶胞的基矢33,2222aaaaij baij cck 分析分析ab c 2b ca2cab2a bc求其倒格基矢8晶胞体积为倒格矢为2333.22222aaab caijaijcka c 2232232.2233b caaaijckijaa c2232232.2233caabckaijijaa c223322222223a baacaijaijkca c 解答解答99. 证明以下结构晶面族的面间距： (1)立方晶系： (4)简单单斜：12222hklda hk

4、l1222222212cossinhklhlhlkdacacb思路1 设该晶面族的单位法矢量为n,a nhdb nkdc nldcos(),cos(),cos()aa nhdab nkdac nld 222cos ()cos ()cos ()1a nb nc n 10思路2 利用倒格矢的模与面间距的关系2hklhkldk 11(1) 设沿立方晶系晶轴a, b, c的单位矢量分别为,aai ba j cak 解答倒格子基矢为222,ai bj ckaaa 与晶面族（hkl）正交的倒格矢hklkhakblc12由晶面间距dhkl与倒格矢khkl的关系式2hklhkldk 222hkladhkl13

5、(4)单斜晶系晶胞基矢长度及晶胞基矢间的夹角分别满足abc和 = = 90， 90sinbcaabc 22b cacab 2a bc 22,sinsinbcaaabca bac得其倒格子基矢长度142bbb 2sinccc 22222222112*2*2*4hklh ak bl chk abkl bbhl acd由晶面间距dhkl与倒格矢khkl的关系式得2hklhkldk 15倒格基矢的点积 222222444cos*sincaa bb ca bb ca cb bac 因为 ca矢量平行于b，所以 22224*04*0abb ccabccaa b将以上诸式代入：22222222112*2*2

6、*4hklh ak bl chk abkl bbhl acd16得到：2222222222222222212 cos12cossinsinsinsinhklhklhhlhlkdabcacacacb即：12222222212cossinhklhlhlkdacacb1715. 对于面心立方晶体，已知晶面族的密勒指数为(hkl) 求对应的原胞坐标系中的面指数(h1h2h3)。若已知(h1h2h3)，求对应的密勒指数(hkl)。 分析分析 这类问题可以用倒格矢来处理，因为是同一组晶面在两种不同坐标系的表示，其对应的倒格矢应相互平行。步骤：（1）两种不同倒格基矢的变换关系（2）将与晶面垂直的倒格矢由一种

7、坐标表示变为另一种坐标表示（3）由两种坐标表示的倒格矢平行求相互关系18由固体物理教程（1.3）式和（1.4）式得面心立方晶体原胞坐标系中的倒格基矢b1，b2，b3与晶胞坐标系中的倒格基矢a*，b*，c*的关系为12()()ijkaacbb 22()()ijkaacbb32()()ijkaacbb*2321()2iaabb*3121()2jabbb*1221()2kacbb也即19因此，若已知晶面族的密勒指数(hkl)，则原胞坐标系中的面指数1231*()()()2hklKhakblckl blh bhk b1 2 31 1223 311()22h h hpKp hbh bh b1231()(

8、)()()kl lh hkphh h与晶面族(hkl)垂直的倒格矢1 2 3h h hK 与晶面族(h1h2h3)正交。其中p是(k+l)(l+h)(h+k)的公约数。20Khkl与晶面族(hkl)正交。因此，若已知晶面族的面指数(h1h2h3)，则密勒指数 1 2 3123123h h hhhhKbbb(*)hklp Kp hakblc232312311)()(hhhh ahhh hh cb同样 1231231231()()()()hklhhhhhhhhhp其中p是(-h1+h2+h3)(h1-h2+h3)(h1+h2-h3)的公约数。2120. 讨论六角密堆积结构，X光衍射消光的条件。(h

9、kl)晶面族引起的衍射光总强度2t1jjjjj2t1jjjjj*hklhklhkl)lwkvhu(n2sinf)lwkvhu(n2cosfFFI 分析分析 tj)lwkvhu(nijhkljjjefF1222求解六角密堆积结构的一个晶胞包含两个原子，它们的位置矢量分别是122110,332rrabc22()1jjji nhukvlwhkljjFf e2113322()i nhklhklFffe因为是密积结构，所以原子散射因子 f1=f2=f。 将上述结果代入几何结构因子232112113323322()2()i nhkli nhklhklhklIF Fffeffe2224233242332co

10、s()21cos()fffnhklfnhkl(hkl)晶面族引起的衍射光的总强度只有当 奇数时才出现衍射消光4233()nhkl24（a）n为奇数时：若l是偶数，nl也是偶数 为保证n(4/3h+2/3k+l)=奇数成立， 须n(4/3h+2/3k)=奇数 由此，2n(2h+k)=3奇数=奇数。 由于h, k为整数，上式左端是偶数，右端为奇数，显然不成立。 矛盾的产生是l为偶数的条件导致的，所以l不能为偶数，只能为奇数。因而n(4/3h+2/3k)=偶数，即(2h+k)=3整数/n=整数。25（b）当n为偶数时，由n(4/3h+2/3k+l)=奇数 得n(4h+2k+3l)=3奇数=奇数上式的

11、左端是偶数，右端为奇数，显然也不成立。矛盾的产生是n为偶数的条件导致的，所以n不能为偶数。由上述讨论可知，衍射消光条件为：n=奇数，l=奇数， (2h+k)=3整数/n=整数2621. 铁在20C时，得到最小的三个衍射角分别为812，1138，1418；当在1000C 时，最小的三个衍射角755，99，1259。已知在上述温度范围，铁金属为立方结构。（1）试分析在20C和1000C下，铁各属于何种立方结构？（2）在 20C下，铁的密度为7860kg/m3，求其晶格常数。27222hkladhkl222sin2()()()anhnknl222sin()()()nhnknl解解（1）对于立方晶体，

12、晶面族(hkl)的面间距布拉格反射公式相应化为可见ndhklsin228对体心立方元素晶体：衍射面指数和n(h+k+l)为奇数时，衍射消光；衍射面指数和n(h+k+l)为偶数时，衍射极大。对应最小的三个衍射角的衍射面指数依次为(110)，(200)，(211)。这三个衍射角指数平方和的平方根之比为222222110 :200 :2111:1.41421:1.73205铁在20C时，最小的三个衍射角的正弦值之比sin812:sin1138:sin1418=0.142628:0.201591:0.246999=1:1.41340:1.7317729铁在20C时，最小的三个衍射角的正弦值之比，与体心

13、立方元素晶体最小的三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比极其接近（存在偏差一般是实验误差所致）。可以判断，铁在20C时为体心心立方结构。30对面心立方元素晶体，衍射面指数nh, nk, nl全为奇数或全为偶数时，衍射极大。对应的最小三个衍射角的衍射面指数依次为 (111)、(200)、(220)这三个衍射角的衍射面指数平方和的平方根之比222222111 :200 :2201:1.5470:1.63299由此可以判断，铁在1000C时为面心立方结构。铁在1000C时，最小的三个衍射角的正弦值比 sin755:sin99:sin1259=1:1.15455:1.631183132ma32ma3

14、2355.847 106.022 10mkg（2）铁在20C时为体心立方结构，一个晶胞内有两个原子，设原子质量为m，晶格常数为a。一个铁原子的质量则质量密度晶格常数则为铁在在20C时晶格常数：a=2.8553223. 设有一面心立方结构的晶体，晶格常数为a。在转动单晶衍射中，已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为(hkl)，求证222sinmmpa hkl其中p是一整数，m是第m个衍射圆锥母线与(hkl)晶面的夹角。参见图示反射球。33分析分析 旋转单晶衍射法，晶体正格子转动，倒格子也转动。倒格点可看成分布与转轴垂直的、等间距的一个个倒格晶面上，由于倒格晶面旋转，落在反射球球面上倒格点的迹线形成一个个圆。反射球心到任一迹线上任一点的连线即是X衍射极大的方向，构成了一个个圆锥面。关键是求此倒格面间距倒格子与正格子互为对方倒格子34证明证明 设本题晶体与转轴垂直的倒格面指数为 (l1l2l3) 则倒格子的面间距1 2 31 1223322l l ldl al al aR1 2 31 12233l l lRl al al a与倒格面 (l1l2l3)垂直，即与转轴平行。sin2mmd由图得其中， 是X光的波矢，即反射球的半径。235hklRhakblc123aaaa 123baaa123caaa已知与转轴垂直的晶面的密勒指数为(hkl)