向量的数乘运算

1、2.2.3向量数乘运算及其几何意义向量数乘运算及其几何意义BAbao.a+bbaABba+bao.BAa-baba-b-bo.BAabaaaABCOaaaa3BCABOAOC记作aaaaMNQMPQPN3)()()(记作a已知非零向量已知非零向量a a，作，作a+a+aa+a+a和和(-a)+(-a)+(-a)(-a)+(-a)+(-a)-a-a-aPQMNaaaa333的方向相同与aaaa333的方向相反与一、向量的数乘运算的定义：一、向量的数乘运算的定义： ,aa 实数 与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记为1;aa 其其方方向向和和长长度度规规定定如如下下： （ ） 20,

2、0, 000.aaaaaa （ ） 当与的方向相同； 当的方向与的方向相反； 当或，是无意义的，但不可以作加减法，即，可以作积，与向量实数aaa注意：注意： 二、向量数乘的几何意义二、向量数乘的几何意义 向量向量数乘数乘的的几何意义几何意义就是把向量就是把向量 沿着沿着 的方的方向或反方向放大或缩小向或反方向放大或缩小. .aa a把下列各小题中的向量把下列各小题中的向量b表示为实数与向量表示为实数与向量a得积得积.(1) 3 , 6(2) 8 , 1421(3) , 3333(4) , 42aebeaebeaebeaebe 2ba 74ba 2ba 2ba 三、实数与向量的积的运算律：三、实

3、数与向量的积的运算律： aa)()( ?6)2(3aaa2)2( 3aa6aaaa )(a5a2a3?32)32(aaaa三、实数与向量的积的运算律：三、实数与向量的积的运算律： ?222babaababa2b2baba22 baba )(三、实数与向量的积的运算律：三、实数与向量的积的运算律： 向量数乘的的运算满足如下运算律：1)() ;(2)();(3) ().aaaaaabab （）（aaaabab 特别地:（）（ ） 例例1：计算下列各式：计算下列各式a4)3)(1 (ababa)(2)(3)2(a12b5)23 ()32)(3 (cbacbacba25 1212()abab , a

4、b . 0)(4)2(2)(3)2();243(3)36221xbaxaxaxcbacba求已知（）（练习：计算：cbacba612961241）原式解：（a1304444233 2baxaxax）（bax43 043bax对于向量a(a0)、b,如果有一个实数，使b= a,那么a与b共线.已知向量a与b共线，a0,且向量b的长度是向量a的长度的倍，即|b|= |a|b= ab= -aa与b同向a与b反向若a(a0)与b共线，那么有且只有一个实数，使b= a对于向量a(a0)、b,如果有一个实数，使b= a,那么a与b共线.若a(a0)与b共线，那么有且只有一个实数，使b= a向量共线的判定定

5、理向量共线的判定定理: 向量共线的性质定理：向量共线的性质定理：判断下列各小题中的向量判断下列各小题中的向量a与与b是否共线是否共线.12121212(1)2 ,2(2),22(3),2ae beaee beeaee bee OABCabbb2 2 3 abOAabOBabOCabABC 例如 图 ， 已 知 任 意 两 个 非 零 向 量、，试 作，你 能 判 断、三 点 之 间 的 位 置 关 系 吗 ？为 什 么 ？3 M M DABCDABa ADbabM A M B M C 例如 图 ， 平 行 四 边 形两 对 角 线相 交 于 点， 且，,你 能 用、表 示、和吗 ？ABCDbaM例例4：设：设a，b是两个不共线的向量，是两个不共线的向量，求证：求证：A，B，D三点共线三点共线.证明