泛函分析教学大纲

1、泛函分析课程教学大纲一、课程基本信息课程代码：课程名称：泛函分析英文名称：Functional analysis课程类别：选修课 学 时：54 学分：3适用对象: 数学类本科生考核方式：考察先修课程：数学分析，高等代数，实变函数二、课程简介泛函分析是现代教学中的一门较新的数学分支，是高等师范院校数学专业的一门重要专业课，它是在学生掌握了数学分析、高等代数的理论知识的基础上，继实变函数之后开设的。本课程主要内容包括：度量空间和赋范线性空间；有界线性算子和连续线性泛函；内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等。通过该课程的学习，学生不仅能学到泛

2、函分析的基本理论和方法，而且对学习其他数学分支以及把他应用到数理经济，现代控制论，量子场论，工程技术等领域有很大帮助。三、课程性质与教学目的1、本课程是数学基础之一，授课对象为数学专业学生。在讲授和学习时，应注重提高学生分析问题和解决问题的能力，培养学生良好的逻辑思维习惯，让学生掌握全面考虑问题的思维方法，这将有助于学生们顺利地学习其他现代专业数学理论课。2、本课程主要内容包括：度量空间和赋范线性空间；有界线性算子和连续线性泛函；内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间；(4)巴拿赫空间中的基本定理；(5) 线性算子的谱等内容。3、本大纲的教学总时数为54学时（含习题课），各章节教学时数的具体

3、分配，请参考附表。4、本课程以课堂讲授为主，讨论辅导为辅，课堂练习与课外作业相结合。5、在制定本教学大纲时，为了明确对教学大纲中所列具体内容的要求程度，将本要求分为由低到高的三个等级，即对概念和理论性的知识，由低到高分别用“知道”、“了解”、“理解”三级区分，对运算、方法和应用方面的知识，由低到高分别用“会或能”、“掌握”、“熟练掌握”三级区分。四、理论教学内容与教学基本要求1、第一章 度量空间和赋范线性空间（14学时）(1) 度量空间的进一步例子(2) 度量空间中的极限，稠密集，可分空间（几类特殊的点集，稠密性与可分性）(3) 连续映射（度量空间上的连续映射）(4) 柯西(Cauchy)点列

4、和完备度量空间(5) 度量空间的完备化（完备的距离空间，第一第二类型集，距离空间的完备化）(6) 压缩映射原理及其应用(7) 线性空间(8) 赋范线性空间和巴拿赫(Banach)空间教学目的及要求：要求学生掌握距离空间的一些基本概念，为后面学习打下基础。教学重点：距离空间的完备性，紧性，集体空间的列紧性判别法不动点定理。教学难点：具体距离空间上紧性判别法及不动点定理。2、第二章 有界线性算子和连续线性泛函（6学时）(1) 有界线性算子和连续线性泛函(2) 有界线性算子空间和共轭空间(3) 广义函数教学目的与要求：要求学生掌握有界线性算子和连续线性泛函基本概念，特别是有界线性算子的概念与等价条件

5、，连续线性泛函等概念要熟练掌握。教学重点：本章重点是有界线性算子和连续线性泛函。教学难点：有界线性算子，连续线性泛函的等价条件。3、第三章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间（10学时）(1) 内积空间的基本概念(2) 投影定理(3) 希尔伯特空间中的规范正交系(4) 希尔伯特空间上的连续线性泛函(5) 自伴算子、酉算子和正常算子教学目的与要求：要求学生掌握内积空间和希尔伯特空间的基本概念，特别是内积的定义，直交与直交系等概念要熟练掌握。教学重点：本章重点是内积空间和希尔伯特空间。教学难点：希尔伯特空间空间，内积空间的特征。4、第四章 巴拿赫空间中的基本定理（14学时）(1) 泛函延拓定

6、理(2) C的共轭空间(3) 共轭算子(4) 纲定理和一致有界性定理(5) 强收敛、弱收敛和一致收敛(6) 逆算子定理(7) 闭图像定理教学目的与要求：要求学生掌握巴拿赫空间的概念，巴拿赫空间的一系列重要基本定理，其中包括泛函延拓定理，开映照定理，闭图象定理，共鸣定理，这一章是泛函分析的核心内容，因此必须重点讲述。教学重点：巴拿赫空间中的几个基本定理教学难点：也是上面几个定理。5、第五章 线性算子的谱（10学时）(1) 谱的概念(2) 有界线性算子谱的基本性质(3) 紧集和全连续算子(4) 自伴全连续算子的谱论(5) 具对称核的积分方程教学目的与要求：要求学生掌握线性算子的谱的概念，有界线性算

7、子谱的基本性质，全连续算子、自伴全连续算子的谱，因此必等，本章内容较深，对本科生需按实际情况来展开讲解。教学重点：有界线性算子谱的基本性质，全连续算子与自伴全连续算子的谱论。教学难点：全连续算子与自伴全连续算子的谱论。四、考核方式开卷考试五、成绩评定由卷面成绩和平时成绩构成。六、本课程对学生创新能力培养的措施1、贯彻理论联系实际的原则，力求反映泛函分析的实际背景及其应用，各章安排适当的应用例题。2、要抓住基本内容，重点放在系统介绍距离空间、赋范线性空间和三大原理的基本理论与主要方法上。3、注意通过典型例题的介绍，使学生理解与掌握基本概念，领会基本理论的作用与意义。4、注意基本技能的训练，安排一定数量的练习题，以及难度适宜的证明题。5、加强与有关课程的联系与配合，通过数学分析，高等代数