简单的函数方程(一)

1、简单的函数方程（一）函数方程的概念：1.函数方程的定义 含有未知函数的等式叫做函数方程如f（x1）=x、f（x）=f（x）、f（x）= f（x）、f（x2）=f（x）等其中f（x）是未知函数2.函数方程的解 能使函数方程成立的函数叫做函数方程的解如f（x）=x1、偶函数、奇函数、周期函数分别是上述各方程的解3.解函数方程 求函数方程的解或证明函数方程无解的过程叫解函数方程4.定理（柯西函数方程的解）若f（x）是单调（或连续）函数且满足f（xy）=f（x）f（y） （x，yR）、则f（x）=xf（1）证明：由题设不难得 f（x1x2xn）=f（x1）f（x2）f（xn）取x1=x2=xn=x，得

2、f（nx）=nf（x） （nN+）令x=0，则f（0）=nf（0），解得f（0）=0 - （1）x=1，则f（n）=nf（1）x=，则f（m）=nf（） ，解得f（）=f（m）= f（1） - （2）x=，且令y=x0，则f（x）f（y）=f（xy）=f（0）=0f（x）=f（y）=yf（1）=xf（1） （m，nN+，且（m，n）=1）-（3）由上述（1），（2），（3）知：对任意有理数x均有f（x）=xf（1）另一方面，对于任意的无理数x，因f（x）连续，取以x为极限的有理数序列xn，则有 ：f（x）=f（xn）=xnf（1）=xf（1）综上所述，对于任意实数x，有f（x）=xf（1）函数

3、方程的解法：1.代换法（或换元法）把函数方程中的自变量适当地以别的自变量代换（代换时应注意使函数的定义域不会发生变化），得到一个新的函数方程，然后设法求得未知函数例1 （1）已知f（2x1）=x2x，那么f（x）=_ 略解：设t=2x1，则x= （t1），那么f（t）= （t1）2 （t1）= t2t， 故f（x）= x2x（2） 已知f（1）=x2，那么f（x）=_ 略解：f（1）=（1）21，故f（x）=x21 （x1）（3） 已知f（x）=x2，那么f（x）=_ 略解：f（x）=（x）22，故f（x）=x22 （|x|2）例2 设ab0，a2b2，求af（x）bf（）=cx的解 解：分别

4、用x=，x=t代入已知方程，得af（）bf（t）= -（1）af（t）bf（）=ct-（2）由（1），（2）组成方程组解得 f（t）= 即： f（x）= 2.待定系数法当函数方程中的未知数是多项式时，可用此法经比较系数而得例3 已知f（x）是一次函数，且fff-f（x）=1024x1023求f（x） 10次 解：设f（x）=axb （a0），记ffff（x）=fn（x），则 n次 f2（x）=ff（x）=a（axb）b=a2xb（a1）f3（x）=fff（x）=aa2xb（a1）b=a3xb（a2a1）依次类推有：f10（x）=a10xb（a9a8a1）=a10x由题设知：a10=1024 且

5、=1023a=2，b=1 或 a=2，b=3f（x）=2x1 或 f（x）=2x33.迭代法（见竞赛辅导第三讲函数迭代知识）由函数方程找出函数值之间的关系，通过n次迭代得到函数方程的解法例4 设f（x）定义在正整数集上，且f（1）=1，f（xy）=f（x）f（y）xy求f（x）解：令y=1，得f（x1）=f（x）x1再依次令x=1，2，n1，有f（2）=f（1）2f（3）=f（2）3f（n1）=f（n2）（n1）f（n）=f（n1）n依次代入，得f（n）=f（1）23（n1）n=f（x）= （xN+）例5 已知f（1）=且当n1时有求f（n） （nN+）解：把已知等式（递推公式）进行整理，得f

6、（n1）f（n）=2（n1）f（n）f（n1）=2（n1）把n依次用2，3，n代换，得=2×3=2×4=2（n1）上述（n1）个等式相加，得=234（n1）=（n1）（n4）= （n1）（n4）=n23n1f（n）= 4.柯西法在f（x）单调（或连续）的条件下，利用柯西函数方程的解求解例6 设f（x）连续且恒不为0，求函数方程f（xy）=f（x）f（y）的解解：f（x）=f（）=f（）f（）0 若存在x0R，使f（x0）=0则对一切实数x，有 f（x）=f（xx0x0）=f（xx0）f（x0）=0 这与f（x）不恒为0矛盾，故f（x）0 对题设f（xy）=f（x）f（y）两

7、边取自然对数，得 lnf（xy）=lnf（x）f（y） lnf（xy）=lnf（x）lnf（y） 令g（x）=lnf（x） f（x）0且连续， g（x）连续且满足g（xy）=g（x）g（y）.由定理知： g（x）=g（1）x故 lnf（x）=xlnf（1） f（x）=exlnf（1）=f（1）x 令f（1）=a，则f（x）=ax （a0）类似的，利用柯西函数方程的解，在连续或单调的条件下可得：（1） 若f（xy）=f（x）f（y） （x0，y0），则f（x）=ax（2） 若f（xy）=f（x）f（y） （x0，y0），则f（x）=x2（3） 若f（xy）=f（x）f（y）kxy，则f（x）=ax2bx（4） 若f（xy）f（xy）=2f（x），则f（x）=axb课后练习：1、 下面四个数中，满足=f（x）f（y）的函数是 （ ）Alnx B C3x D3x2、 如果对xR，有2f（1x）1=xf（x），那么f（x）=_3、 对任意实数x，y，函数f（x）有f（xy）=f（x2）f（2