人教版八年级数学上册第十三章13.3《等腰三角形》讲义第11讲（有答案）

1、第11讲 等腰三角形第一局部 知识梳理知识点一：等腰三角形1、等腰三角形性质：性质1：等腰三角形的两个底角相等简写成“等边对等角性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。三线合一 2、等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等 ,那么这两个角所对的边也相等简写成“等角对等边.知识点二：等边三角形1、定义：三条边都相等的三角形 ,叫等边三角形。它是特殊的等腰三角形。2、性质和判定：1等边三角形的三个内角都相等 ,并且每一个角都等于60º。2三个角都相等的三角形是等边三角形。3有一个角是60º的等腰三角形是等边三角形。4在直角三角形中 ,如果一个锐角等

2、于30º ,那么它所对的直角边等于斜边的一半。 知识点三：其他结论1三角形三个内角的平分线交于一点 ,并且这一点到三边的距离等。2三角形三个边的中垂线交于一点 ,并且这一点到三个顶点的距离相等。3常用辅助线：三线合一；过中点做平行线第二局部 考点精讲精练考点1、等腰三角形性质例1、一个等腰三角形的一个内角是40° ,那么它的顶角是 A40° B50° C60° D40° ,100°例2、在钝角三角形ABC中 ,ABAC ,点D是BC上一点 ,AD把ABC分成两个等腰三角形 ,那么BAC的度数为 A150° 

3、0; B124° C120°  D108°例3、如图 ,ABC是等边三角形 ,点B、C、D、E在同一直线上 ,且CGCD ,DFDE ,那么E_度 例2 例3例4、ABC中 ,AB=AC ,中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部 ,那么这个等腰三角形的底边长为  。例5、在ABC中 ,AB=AC ,CD=CB ,假设ACD=42° ,那么BAC=_°例6、一个等腰三角形的周长为18cm。1如果腰长是底边的2倍 ,那么各边的长是多少？2如果一腰上的中线将该等腰三角形的周长分为1：2两局部 ,那么各边的长为多

4、少？例7、如图 ,点D为等腰直角ABC内一点 ,CAD=CBD=15° ,E为AD延长线上的一点 ,且CE=CA 1求证：DE平分BDC； 2假设点M在DE上 ,且DC=DM ,求证：ME=BD举一反三：1、对“等角对等边这句话的理解 ,正确的选项是 A只要两个角相等 ,那么它们所对的边也相等B在两个三角形中 ,如果有两个角相等 ,那么它们所对的边也相等C在一个三角形中 ,如果有两个角相等 ,那么它们所对的边也相等D以上说法都是错误的2、等腰三角形的两内角度数之比是12 ,那么顶角的度数是 A90°     B45°

5、0;    C36°     D90°或36°3、ABC中AB=AC ,A=36° ,BD平分ABC交AC于D ,那么图中的等腰三角形有A1个     B2个     C3个      D4个4、如图 ,在ABC中 ,B=C ,D在BC上 ,ADE=AED ,且BAD=60° ,那么EDC=     度5、如

6、下图 ,AD是ABC的中线 ,ADC=60° ,把ADC沿直线AD折过来 ,点C落在C处 ,如果BC=5 ,那么BC=_ 6、如图 ,在ABC中 ,AB=AC ,BAC与ACB的平分线相交于点D ,假设ADC=130° ,那么BAC=_度  4 5 67、如图 ,ABC中 ,AB=AC ,D、E分别是BC、AC上的点 ,BAD与CDE满足什么条件时AD=AE？写出你的推理过程8、如图 ,在ABC中 ,AB=AC ,CD为AB边上的高 ,求证：BCD=A9、如图在ABC中 ,AB=AC ,F为AC上一点 ,FDBC于D ,DEAB于E ,AFD=145&#

7、176; ,求A和EDF的值考点2、等腰三角形的判定例1、以下能断定ABC为等腰三角形的是 A.A=30° ,B=60° B.A=50° ,B=80°C.AB=AC=2 ,BC=4 D.AB=3 ,BC=7 ,周长为10例2、如图 ,是四张形状不同的纸片 ,用剪刀沿一条直线将它们分别剪开只允许剪一次 ,不能够得到两个等腰三角形纸片的是 例3、如图 ,ABC中 ,AC+BC=24 ,AO、BO分别是角平分线 ,且MNBA ,分别交AC于N、BC于M ,那么CMN的周长为_例4、如图 ,P是AOB的角平分线上一点 ,PDOB ,垂足为D ,PCOB交OA于点

8、C ,假设AOB=60° ,PD=2cm ,那么COP是     三角形 ,OP=     cm 例3 例4例5、如图 ,ABC中 ,D、E分别是AC、AB上的点 ,BD与CE交于点O给出以下三个条件： EBO=DCO；BEO=CDO；BE=CD1上述三个条件中 ,哪两个条件_可判定ABC是等腰三角形用序号写出所有情形；2选择第1小题中的一种情形 ,证明ABC是等腰三角形例6、如图AB=AC ,A=36° ,AB的垂直平分线MN交AC于点D ,交AB于E求DBC的度数猜测BDC的形状并证明例7、

9、如图 ,在等腰RtABC中 ,ACB=90° ,D为BC的中点 ,DEAB ,垂足为E ,过点B作BFAC交DE的延长线于点F ,连接CF。1求证：ADCF；2连接AF ,试判断ACF的形状 ,并说明理由。举一反三：1、如果三角形一边的中线和这边上的高重合 ,那么这个三角形是 A等边三角形 B等腰三角形 C锐角三角形 D钝角三角形2、在直角坐标系中 ,O为坐标原点 ,点A1 ,1 ,在x轴上确定点P ,使AOP为等腰三角形 ,那么符合条件的点P的个数共有A6个 B5个 C4个 D3个3、如图 ,在ABC中AB=AC ,A=36° ,BD平分ABC ,那么1= 度 ,图中有

10、个等腰三角形4、把两个一样大的含30°角的直角三角板按如图的方式拼在一起 ,其中AC平分BAF ,AD平分EAF ,请写出所有的等腰三角形： 3 45、如图 ,AB=AC ,D是AB上一点 ,DEBC于E ,ED的延长线交CA的延长线于F ,试说明ADF是等腰三角形的理由6、如图, 在四边形ABCD中, B=90 ° ,DE/AB交BC于E、交AC于F ,CDE= ACB=30 ° ,BC=DE 1 求证：FCD是等腰三角形；2 假设AB=4, 求CD的长.7、RtABC ,ACB=90° ,AC=BC ,点D是斜边的中点 ,经过点C引一条直线l不与AC

11、、BC重合并且不经过点D操作：经过点A作AEl ,经过点B作BFl ,连接DE、DF ,猜测DEF的形状并证明考点3、等边三角形性质例1、如图 ,CD是RtABC斜边AB上的高 ,将BCD沿CD折叠 ,B点恰好落在AB的中点E处 ,那么A等于A25°     B30°    C45°      D60°例2、：如图 ,lm ,等边ABC的顶点B在直线m上 ,边BC与直线m所夹锐角为20° ,那么的度数为 A60° B

12、45° C40° D30°例3、如图 ,直线l1l2l3 ,等边ABC的顶点B、C分别在直线l2、l3上 ,假设边BC与直线l3的夹角1=25° ,那么边AB与直线l1的夹角2= 例1 例2 例3例4、如图 ,等边三角形ABC中 ,BD=CE ,AD与BE交于点P ,那么APE=_°例5、如图 ,分别以RtABC的直角边AC ,BC为边 ,在RtABC外作两个等边三角形ACE和BCF ,连接BE ,AF求证：BE=AF例6、如图 ,点C是线段AB上除点A、B外的任意一点 ,分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边ACD和等边BCE ,连接AE

13、交DC于M ,连接BD交CE于N ,连接MN1求证：AE=BD； 2求证：MNAB举一反三：1、如下图 ,在正三角形ABC中 ,AO ,BO ,OC是三角形ABC角平分线交点 ,那么1+2为 A60° B150° C30° D120°2、以下图分别表示甲、乙、丙三人由A地到C地的路线图甲的路线为：ABC ,ABC是正三角形； 乙的路线为：ABDEC ,其中D为AC的中点 ,ABD、DEC都是正三角形；丙的路线为：ABDEC ,其中D在AC上ADDC ,ABD、DEC都是正三角形；那么三人行进的路程 A甲最短 B乙最短 C丙最短 D三人行进的路程

14、相同3、如图 ,等边ABC中 ,D、E分别在AB、AC上 ,且AD=CE ,BE、CD交于点P ,假设ABE：CBE=1：2 ,那么BDP=     度4、如图 ,在等边ABC中 ,点D ,E分别在边BC ,AB上 ,且BD=AE ,AD与CE交于点F 1求证：AD=CE；2求DFC的度数5、如图 ,ABC和BDE都是等边三角形1说明AE=CD的理由；2如果DEBC ,试判断直线BE与AC的位置关系 ,并说明理由6、如图 ,过边长为1的等边ABC的边AB上一点P ,作PEAC于E ,Q为BC延长线上一点 ,当PA=CQ时 ,连PQ交AC边于D ,求DE的

15、长为多少？考点4、等边三角形的判定例1、等腰三角形的一个外角是120° ,那么它是A等腰直角三角形 B一般的等腰三角形C等边三角形 D等腰钝角三角形例2、ABC是等边三角形 ,D ,E ,F为各边中点 ,那么图中共有正三角形A2个 B3个 C4个 D5个例3、在ABC中 ,假设A=60° ,再添加一个条件_ ,就能使ABC是等边三角形只要写出一个符合题意的条件即可例4、如图 ,ABC中 ,ACB=120° ,CE平分ACB ,ADEC ,交BC的延长线于点D ,1求BCE的度数；2试找出图中的等边三角形 ,并说明理由例5、等边ABC中 ,点P在ABC内 ,点Q在A

16、BC外 ,且ABPACQ ,BPCQ ,问APQ是什么形状的三角形？试说明你的结论例6、如图1 ,在四边形ABCD中 ,DCAB ,AD=BC ,BD平分ABC1求证：AD=DC；2如图2 ,在上述条件下 ,假设A=ABC=60° ,过点D作DEAB ,过点C作CFBD ,垂足分别为E、F ,连接EF判断DEF的形状并证明你的结论举一反三：1、下面给出几种三角形：1有两个角为60°的三角形；2三个外角都相等的三角形；3一边上的高也是这边上的中线的三角形；4有一个角为60°的等腰三角形 ,其中是等边三角形的个数是 A4个 B3个 C2个 D1个2、一艘轮船由海平面上

17、A地出发向南偏西40°的方向行驶40海里到达B地 ,再由B地向北偏西10°的方向行驶40海里到达C地 ,那么A、C两地相距 A.30海里 B.40海里 C.50海里 D.60海里3、如图 ,ABC是等边三角形 ,ADBC ,CDAD ,垂足为D ,E为AC的中点 ,AD=DE=6cm那么ACD=     ° ,AC=     cm ,DAC=     ° ,ADE是      三角形4、如图 ,D

18、为等边三角形纸片ABC的边AB上的点 ,过点D作DGBC交AC于点G ,DEBC于点E ,过点G作GFBC于点F把三角形纸片ABC分别沿DG ,DE ,GF按图示方式折叠 ,那么图中阴影局部是     三角形 2 3 45、 ,如图 ,B=C ,ABDE ,EC=ED ,求证：DEC为等边三角形6、如图 ,在ABC中 ,BA=BC ,BDAC ,延长BC至点E ,恰使CE=CD ,BD=DE ,求证：ABC是等边三角形第三局部 课堂小测1、在ABC中, A的相邻外角是70°,要使ABC为等腰三角形, 那么B为 A.70° &

19、#160;      B.35°         C.110° 或  35°      D.110°2、如图 ,ABC的面积为1cm2 ,AP垂直B的平分线BP于P ,那么PBC的面积为   A0.4 cm2              &#

20、160;  B0.5 cm2                        C0.6 cm2                    

21、0;   D0.7 cm23、如图 ,在ABC中 ,CAB=75° ,在同一平面内 ,将ABC绕点A旋转到ABC的位置 ,使得CCAB ,那么BAB=   A30°       B35°       C40°      D50° 2 34、三角形中有两条中线分别平分它的两个内角 ,那么这个三角形是 A直角三角形 B等腰三角形C等边三角形

22、D等腰直角三角形5、如图 ,在PAB中 ,PA=PB ,M ,N ,K分别是PA ,PB ,AB上的点 ,且AM=BK ,BN=AK ,假设MKN=44° ,那么P的度数为     A44°      B66°       C88°          D92°  6、如图 ,E是等边ABC

23、中AC边上的点 ,1=2 ,BE=CD ,那么ADE的形状是 A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、不等边三角形 D 、不能确定形状 5 6 7、等腰三角形的两边长分别是3和7 ,那么其周长为  8、如图 ,ADBC于点D ,D为BC的中点 ,连接AB ,ABC的平分线交AD于点O ,连结OC ,假设AOC=125° ,那么ABC=_.9、如图在RtABC中 ,ACB=90° ,B=30° ,AD是BAC的平分线 ,DEAB于点E ,连接CE ,那么图中的等腰三角形共有    个10、如图 ,ABC和FPQ均是等边三角形

24、 ,点D、E、F分别是ABC三边的中点 ,点P在AB边上 ,连接EF、QE假设AB=6 ,PB=1 ,那么QE=  8 9 1011、如图 ,ABC中 ,AB=AC ,O是ABC内一点 ,且OBC=OCB ,求证：AOBC12、如图在等边ABC中 ,ABC与ACB的平分线相交于点O ,且ODAB ,OEAC 1试判定ODE的形状 ,并说明你的理由； 2线段BD、DE、EC三者有什么关系？写出你的判断过程13、如图1 ,在ABC中 ,AB=AC ,点D是BC的中点 ,点E在AD上1求证：BE=CE；2如图2 ,假设BE的延长线交AC于点F ,且BFAC ,垂足为F

25、,BAC=45° ,原题设其它条件不变求证：AEFBCF14、如图 ,ABC是等边三角形 ,点D、E、F分别是线段AB、BC、CA上的点 ,1假设AD=BE=CF ,问DEF是等边三角形吗？试证明你的结论；2假设DEF是等边三角形 ,问AD=BE=CF成立吗？试证明你的结论15、如图 , ,ABC和ADE均为等边三角形 ,BD、CE交于点F1求证：BD=CE；2求锐角BFC的度数第四局部 提高训练1、如图 ,BOC=9° ,点A在OB上 ,且OA=1 ,按以下要求画图：以A为圆心 ,1为半径向右画弧交OC于点A1 ,得第1条线段AA1； 再以A1为圆心 ,1为半径

26、向右画弧交OB于点A2 ,得第2条线段A1A2； 再以A2为圆心 ,1为半径向右画弧交OC于点A3 ,得第3条线段A2A3； 这样画下去 ,直到得第n条线段 ,之后就不能再画出符合要求的线段了 ,那么n=  2、如下图 ,在ABC中 ,AB=AC ,在AB上取一点E ,在AC延长线上取一点F ,使BE=CF ,EF交BC于G.求证：EG=FG。3、如图 ,ABC为等边三角形 ,延长BC到D,又延长BA到E ,使AE=BD,连接CE,DE。求证：CDE为等腰三角形EABCD第五局部 课后作业1、以下能断定ABC为等腰三角形的是  A、A=30º、

27、B=60º        B、A=50º、B=80ºC、AB=AC=2 ,BC=4           D、AB=3、BC=7 ,周长为132、一个三角形任意一边上的高都是这边上的中线 ,那么对这个三角形的形状最准确的判断是 A等腰三角形 B直角三角形 C正三角形 D等腰直角三角形3、等腰三角形ABC中 ,AB=AC=5 ,BC=6 ,建立适当的直角坐标系 ,使B、C两点落在x轴上 ,且关于y轴对

28、称时 ,A点坐标为   A0 ,4    B0 ,4    C0 ,4或0 ,4   D无法确定4、如图 ,ABC中 ,ABAC ,ABC36° ,D、E为BC上的点 ,且BADDAEEAC ,那么图中共有等腰三角形 个A2个    B4个     C6个     D8个5、a、b、c是三角形的三边长 ,且满足a-b2+|b-c|=0 ,那么这个三角形一定是A直角三角形 B等边

29、三角形 C钝角三角形 D锐角三角形6、如图 ,在平面直角坐标中 ,点A2 ,2 ,试在x轴上找点P ,使AOP是等腰三角形 ,那么这样的三角形有 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个7、等腰三角形的周长为14 ,其一边长为4 ,那么它的底边长为_8、如图 ,在ABC中 ,AB=AC ,D为BC上一点 ,且AB=BD ,AD=DC ,那么C=_度9、如图 ,D、E在BC上 ,AE=BE ,AD=CD ,ADE=100° ,AED=60° ,那么B=_度 ,C=_度 8 910、如图 ,在ABC中 ,AB=AC ,点D、E分别在BC、AC的延长线上 ,AD=AE ,CDE=3

30、0°求：BAD的度数11、在ABC中 ,AB=AC ,BE是角平分线1假设BE=AE ,求证：ABC=2A；2假设BEAC ,求证：ABC为等边三角形12、如图 ,ABC中 ,C=Rt ,AC=8cm ,BC=6cm ,假设动点P从点C开始 ,按CABC的路径运动 ,且速度为每秒2cm ,设运动的时间为t秒1当t为何值时 ,CP把ABC的周长分成相等的两局部2当t为何值时 ,CP把ABC的面积分成相等的两局部 ,并求出此时CP的长；3当t为何值时 ,BCP为等腰三角形？13、如图 ,在四边形ABCD中 ,ADBC ,E是AB的中点 ,连接DE并延长交CB的延长线于点F ,点G在边BC

31、上 ,且GDFADF.1求证：ADEBFE；2连接EG ,判断EG与DF的位置关系并说明理由.14、1如图、图 ,ABC是等边三角形 ,点M是边BC上任意一点 ,N是BA上任意一点 ,且BN=CM ,AM与CN相交于Q ,先用量角器测量图、图中CQM的度数 ,并用图证明你的猜测猜测：CQM=_度证明：2如图 ,假设M是CB延长线上一点 ,N是BA延长线上一点 ,仍然满足ABC为等边三角形 ,CM=BN ,相交于Q ,那么1中猜测还成立吗？假设成立 ,请证明；假设不成立 ,请说明理由第11讲 等腰三角形第二局部 考点精讲精练考点1、等腰三角形性质例1、D 例2、D例3、_15_度例4、 7或11

32、 。例5、_32_°例6、此种情况舍去 ,三角形的三边长是2cm ,8cm ,8cm ,符合三角形的三边关系定理 ,综合上述：符合条件的三角形三边长是8cm ,8cm ,2cm ,答：等腰三角形的边长是8cm ,8cm ,2cm。例7、举一反三：1、C 2、D 3、C4、  30  度5、_10_ 6、_20_度 7、8、9、考点2、等腰三角形的判定例1、B 例2、B 例3、_24_例4、 等腰    , 4   cm例5、例6、DE是AB的垂直平分线 ,AD=BD ,A=A

33、BD=36° ,AC=AB ,C=ABC=180°-A=72° ,DBC=ABC-ABD=72°-36°=36° ,答：DBC的度数是36°BDC的形状是等腰三角形 ,证明：DBC=36° ,C=72° ,BDC=180°-C-DBC=72° ,C=BDC ,BD=CB ,即BDC是等腰三角形例7、解：1证明：ACBF ,ACB=90° ,DBF=90° ,DBE=45° ,FBE=45° ,DBE=FBE=45° ,又DBE=FEB=

34、90° ,BE=BE ,BDEBFE ,BF=BD ,又D为BC的中点 ,CD=BD ,CD=BF ,CAD=BCF ,ACD=90° ,ACG+BCF=90° ,CAG+ACG=90° ,AGC=90° ,ADCF；举一反三：1、B2、C3、 72 , 3 4、_ABE ,ACD ,ABC ,ADE_5、证明：AB=AC ,B=C等边对等角DEBC于E ,FEB=FEC=90°B+EDB=C+EFC=90°EFC=EDB等角的余角相等EDB=ADF对顶角相等 ,EFC=ADFADF是等腰三角形6、证明：1DE/AB,B=9

35、0° ,DEC=90°DCE=90°-CDE=60°DCF=DCE-ACB=30°CDE=DCFDF=CF FCD是等腰三角形；7、考点3、等边三角形性质例1、B 例2、C例3、 35° 例4、_60_°例5、例6、举一反三：1、B 2、D 3、  100  度4、解答：证明：1ABC是等边三角形 ,BAC=B=60° ,AB=AC又AE=BD ,AECBDASASAD=CE2由1AECBDA ,得ACE=BADDFC=FAC+ACE=FAC+BAD=60°5、证明：1ABC

36、和BDE是等边三角形 ,ABC=EBD=60° ,ABE=CBD ,AE=CD；6、考点4、等边三角形的判定例1、C例2、D例3、_AB=AC_例4、解：1ACB=120° ,CE平分ACB ,BCE=ABC=60° ,2ACD是等边三角形 ,BCE=60° ,ADEC ,BCE=D=CAD=60° ,ACD=60° , ACD是等边三角形例5、等边ABC ,AB=AC ,BAC60° ,ABPACQ ,BPCQ ,ABPACQ ,APAQ ,BAPCAQ ,BAP+CAPCAQ+CAP即BACPAQ60° ,AP

37、Q是等边三角形.例6、举一反三：1、B 2、B 3、  30   ° ,   12   cm ,   60   ° ,   等边    4、 等边  5、证明：B=C ,ABDE ,DEC=C ,EC=ED ,C=EDC ,DEC=C=EDC=60° ,DEC为等边三角形6、证明：在ABC中 ,BDAC ,BDC=90° ,CE=CD ,BD=DE ,E=CDE ,E=DBE ,DCB是

38、DCE的外角 ,DCB=E+CDE ,设：E=x° ,那么DBE=E=CDE=x° ,DCB=E+CDE=2x° ,在BCD中 ,BDC+DCB+DBC=180° ,即：90°+2x°+x°=180° ,x=30° ,DCB=2x°=60° ,BA=BC ,ABC是等边三角形第三局部 课堂小测1、B  2、D 3、A  4、C5、D 6、B7、 17 8、_70°_.9、 4  个10、 2 11

39、、证明：AB=AC ,ABC=ACB等边对等角 ,OBC=OCB ,ABO=ACO ,OB=OC等角对等边 ,AOBAOCSAS ,OAB=OAC ,又AB=AC ,AOBC等腰三角形三线合一12、解：1ODE是等边三角形 , 其理由是：ABC是等边三角形 ,ABC=ACB=60° ,ODAB ,OEAC ,ODE=ABC=60° ,OED=ACB=60°ODE是等边三角形；2答：BD=DE=EC , 其理由是：OB平分ABC ,且ABC=60° ,ABO=OBD=30° ,ODAB ,BOD=ABO=30° ,DBO=DOB ,DB

40、=DO ,同理 ,EC=EO ,DE=OD=OE ,BD=DE=EC13、14、解：1DEF是等边三角形证明如下：ABC是等边三角形 ,A=B=C ,AB=BC=CA ,又AD=BE=CF ,DB=EC=FA ,ADFBEDCFE ,DF=DE=EF ,即DEF是等边三角形2AD=BE=CF成立证明如下：如图 ,DEF是等边三角形 ,DE=EF=FD ,FDE=DEF=EFD=60° ,1+2=120° ,又ABC是等边三角形 ,A=B=C=60° ,2+3=120° ,1=3 ,同理3=4 ,ADFBEDCFE ,AD=BE=CF15、2解：由1EAC

41、DAB ,可得ECA=DBA ,又DBA+DBC=60° ,在BFC中 ,ECA+DBC=60° ,ACB=60° ,那么BFC=180°-ACB-ECA+DBC=180°-60°-60°=60°第四局部 提高训练1、9 考点： 等腰三角形的性质 分析： 根据等腰三角形的性质和三角形外角的性质依次可得A1AB的度数 ,A2A1C的度数 ,A3A2B的度数 ,A4A3C的度数 , ,依此得到规律 ,再根据三角形外角小于90°即可求解 解答： 解：由题