探索二次函数解题技巧

1、实用标准文案精彩文档初中二次函数综合题解题技巧二次函数在中考数学中常常作为压轴题，具有一定的综合性和较大的难度。学生往往因缺乏思路，感到无从下手，难以拿到分数。事实上，只要理清思路，方法得当，稳步推进，少失分、 多得分、是完全可以做到的。第1小题通常是求解析式：这一小题简单，直接找出坐标或者用线段长度来确定坐标，进而用待定系数法求出解析式即可。第23小题通常要结合三角形、四边形、圆、对称、解方程(组)与不等式(组)等知识呈现，知识面广，难度大；解 这类题要善于运用转化、数形结合、分类讨论等数学思想，认真分析条件和结论、图形的几何特征与代数式的数量结构特征的关系，确定解题的思路和方法；同时需要心

2、态平和，切记急躁：当思维受阻时，要及时调整思路和方法，并重新审视题意，注意挖掘隐蔽的条件和内在联系；既要防止钻牛角尖，又要防止轻易放弃。大致将二次函数综合题归为以下7个类型：二次函数中线段数量关系的探究问题；二次函数中图形面积数量关系及最值的探究问题；二次函数中旋转、对称的探究问题；二次函数与特殊三角形的探究问题；二次函数与特殊四边形的探究问题；二次函数与圆例1:如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于点C (0, 3), 其对称轴I为x= T .x=-3 或 x=1 ,的探究问题；二次函数中动态的探究问题。下面对每个类型进行逐一说明。 类型一二次函数中线

3、段数量关系的探究问题(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴I上。当PAXNA,且PA=NA时， 解：(1)二次函数的解析式为 ，顶点坐标为(-1,4);(2)令 y=-x2-2x+3=0 ,解得点 A (-3, 0), B (1, 0), 作PDx轴于点D,.点 p 在 y=-x2-2x+3 上， 设点 P (x, -x2-2x+3) PAX NA ,且 PA=NA ,PADA ANQ ,AQ=PD ,即 y= -x2-2x+3=2 ,解得 x=1?-1 （舍去）或 x=-T?-1,方法提炼:设点坐标：若所求点在x轴上可设(x,0),在y轴

4、上可设(0, y);若所求的点在抛物线上时，该点的坐标可以设为(x, ax2+bx+c)；若所求的点在对称轴上时，该点的坐标可以设 为(-1, y)；若所求的点在已知直线y=kx+b上时，该点的坐标可以设为(x, kx+b),常用所设点坐标表示出相应几何图形的边长.简单概括就是规则与不规则线段的表示：规则：横平竖直。横平就是右减左，竖直就是上减下，不能确定点的左右上下位置就加绝对值。不规则：两点间距离公式。根据已知条件列出满足线段数量关系的等式，进而求出未知数的值;跟踪训练1如图，抛物线 y=-x2+bx+c的图象过点 A(4, 0), B(-4, -4),且抛物线与y轴交于点C,连接AB ,

5、 BC, AC.(1)求抛物线的解析式；(2)若E是线段AB上的一个动点(不与A、B重合)，过E作y轴 的平行线，分别交抛物线及 x轴于F、D两点.请问是否存在这 样的点E,使DE=2DF ?若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 类型二二次函数中图形面积数量关系及最值的探究问题 例2：如图，抛物线 y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B (1, 0),与y轴交于点C (0, 3),其对称轴I为x= T .(1)求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；(2)若动点P在第二象限内的抛物线上，动点 N在对称轴I上。当PAXNA ,且PA=NA时，求此时点 P的坐标。当四边形PABC的面积最大时

6、，求四边形 PABC面积的最大值及此时点P的坐标.方法1 :9313 29当 P 位于第一象限即-3vxv0 时，SaAoc=2, S“cp=-2x, S3AP=2?3?|yP|=2x-3x+q, .SApc=S-pWOcpSAoc=-|x2+|x-9=-|(x+|) 2+27,当 x=1时取得最大值 27327当x=-2时，Spc取大值8,3 15此时P (-3,午) cc75 S 四边 pa= SAabc+S aapc > S 四边形 pabc 取大=8方法2: 可求直线AC: Yac=x+3,设PD与AC的交点为E,则点E (x, x+3)PE=-x2-2x+3- (x+3) =-

7、x2-3x当 P 位于第二象限即-3vxv0 时，SaApC=J?3?PE=(-x2-3x) =-。(x+-1) 2+ 名，当 x=-"|时取得 222282一 ,27最大值27；8327.,.当x=-2时，Spc取大值 五, 此时P (-3,竽) .cc白，75- S 四边 pa= Saabc+Saapc，S 四边形 pabc 取大=.8方法提炼: 三角形面积最值。分规则与不规则。有底或者高落在坐标轴上或者与坐标轴平行属于规则, 直接用面积公式求解。没有底或者高落在坐标轴或平行于坐标轴属于不规则，用割补法或1 .$=2?水平宽佛垂图。(常作平行于坐标四边形面积最值。常用到的方法是利

8、用割补法将四边形分成两个三角形 轴的直线来分割四边形面积)，其求法同三角形。(1)求抛物线y=ax2+bx+c的解析式;例3:在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A (-2, - 4(2)若点M是该抛物线对称轴上的一点，求 AM+0M的最小值。解：(1)把A (-2, - 4), 0(0, 0), B (2, 0)三点的坐标代入 y=ax2+bx+c 中,一 I1一一.1 2解得a=-b=1 , c=0所以解析式为y= ,x +x。(2)由y=-2x2+x,可得抛物线的对称轴为 x=1 ,并且对称轴垂直平分线段OB .OM=BM .OM+AM=BM+AM连接AB交直线x=1于M点

9、，则此时 OM+AM 最小过点A作AN±x轴于点N在RtAABN中，由勾股定理得 AB=442因此OM+AM最小值为4平方法提炼：已知一条直线上一动点 M和直线同侧两个固定点 A、O,求AM+OM 最小值的问题，我 们只需做出点 。关于这条直线的对称点 B,将点A与B连接起来交直线与点 M,那么AB 就是AM+OM的最小值。同理，我们也可以做出点 A关于这条直线的对称点 A',将点。与 A'连接起来交直线与点 M,那么OA'就是AM+OM的最小值。应用的定理是：两点之间线段最短。初中阶段学过的有关线段最值的有：两点之间线段最短和垂线段最短；及三角形三边之 间的

10、关系，两边之和大于第三边”求第三边的最小值；两边之差小于第三边”，求第三边的 最大值；还有稍微难一点的就是利用二次函数及其自变量取值范围来求最大值。跟踪训练2如图，抛物线y=x2-bx+c交x轴于点A (1,0),交y轴于点B, 对称轴是x=2.(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P,使 PAB的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.跟踪训练3抛物线y=ax 2 +bx+c交x轴于A, B两点，交y于点C,已知抛物线的对称轴为x=1, B(3, 0), C(0, 3).(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使点P到

11、B, C两点距离之差最大？若存在，求出 P点坐标；若不存在，请说明理由 .S与m的函数关系式，并写出自变量 m的取值范跟踪训练4 (2016烟台)如图1,已知平 行四边形ABCD顶点A的坐标为(2, 6), 点B在y轴上，且AD / BC / x轴，过B, C, D三点的抛物线 y=ax2+bx+c (aw。的 顶点坐标为(2, 2),点F (m, 6)是线 段AD上一动点，直线 OF交BC于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)设四边形ABEF的面积为S,请求出围；(3)如图2,过点F作FMx轴，垂足为 M,交直线AC于P,过点P作PNy轴，垂足 为N,连接MN,直线AC分别交x轴，y轴于点H

12、, G,试求线段MN的最小值，并直接 写出此时m的值.类型三二次函数中旋转、对称的探究问题例4在平面直角坐标系中，矩形OABC如图所示放置，点 A在x轴上，点B的坐标为(m,1) (m>0),将此矩形绕 O点逆时针旋转90°,得到矩形 OA' B' °C'(1)写出点A、A'、C'的坐标；(2)设过点A、A'、C'的抛物线解析式为y=ax2+bx+c,求此 抛物线的解析式；(a、b、c可用含m的式子表示)(3)试探究：当 m的值改变时，点 B关于点O的对称点D是否可能落在(2)中的抛物线上？若能，求出此时m的值。

13、解：(1)二.四边形 ABCO是矩形，点B的坐标为(m, 1) (m>0),A (m, 0), C (0, 1),矩形 OA' B'由矩形 OABC 旋转而成，A' (0, m), C' (-1, 0)；(2)设过点A、A'、C'的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c,. A (m, 0), A' (0, m), C (-1, 0),，此抛物线的解析式为：y=-x2+(m-1) x+m；(3)存在。点B与点D关于原点对称，B ( m , 1),，点D的坐标为：(-m, -1),抛物线的解析式为：y=-x2+ (m-1) x+m;假设

14、点D (-m, -1)在(2)中的抛物线上，则 y=- (-m) 2+ (m-1) x (-m) +m=-1 ,即-2m2+2m+1=0 , =22-4 X(-2) M=12>0,1+Vh31 3，此点在抛物线上，解得 m= 或m=（舍去）22方法提炼: （ a, b）关于x轴对称的点的坐标为（a, b）;关于y轴对称的点的坐标为（一 a, b）;关于原点对称的点的坐标为（一a, b）;关于直线x=m的对称点为（2ma, b）;关于直线y=n的对称点为（a, 2n b）;关于点（m, n）的对称点为（2m a, 2nb）;绕原点逆时针旋转90°的坐标为（一b, a）;绕原点顺时

15、针旋转 90°的坐标为（b, a）;任意两点（x1,一：口+底 yl+y2xyi）和（X2, y2 ）的中点为（，）。22跟踪训练5 （2014烟台）如图，在平面直角坐标系中，RtAABC的顶点A, C分别在y轴,x 轴上,/ ACB=90° ,OA=褥,抛物线 y=ax2 - ax - a经过点B （2, 一），与y轴交于点D.3（1）求抛物线的表达式;（2）点B关于直线AC的对称点是否在抛物线上？请说明理由;（3）延长BA交抛物线于点 E,连接ED,试说明ED/AC的理由.跟踪训练6若两条抛物线的顶点相同，则称它们为友好抛物线 抛物线Ci（如图1）： yi=ax2-2x

16、+c与C2: y2=-x2+2x-5为 友好抛物线”（1）求抛物线Ci的表达式；（2）点P是抛物线Ci上在第四象限的一个动点，过（3）如图2,设抛物线Ci的顶点为C,点B的坐标点P作PE± x轴，E为垂足，求PE+OE的最大值;为（-1,-4）,连接BC.在Ci的对称轴上是否存在点M ,使线段MB绕点M顺时针旋转90°得到线段图1图2MB ,且点B'恰好落在抛物线 Ci上*存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由类型四二次函数与特殊三角形的探究问题（1）与直角三角形的探究问题例5如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c(aw0)的对称轴为直线 x=-1, 且经过A(

17、1 , 0), C(0,3)两点，与x轴的另一个交点为 B。(1)若直线y=mx+n经过B, C两点，求抛物线和直线BC的解析式；(2)设点P为抛物线的对称轴 x=-1上的一个动点，求使4BPC 为直角三角形的点 P的坐标.解：(1) ,抛物线 y=ax2+bx+c (aw。的对称轴为直线 x=-1 ,且抛物线经过 A (1, 0),抛物线与x轴的另一交点为 B,.B的坐标为：(-3, 0),设抛物线的解析式为：y=a (x-1) (x+3),把 C (0, 3)代入，-3a=3,解得：a=-1,，抛物线的解析式为：y=- (x-1) (x+3) =-x2-2x+3 ;把 B (-3, 0),

18、 C (0, 3)代入 y=mx+n 得：m=1 , n=3直线y=mx+n的解析式为：y=x+3 ;(1)设 P (-1, t),又 B (-3, 0) , C (0, 3),-BC2=18, PB2= (-1+3) 2+t2=4+t2, PC2= (-1) 2+ (t-3) 2=t2-6t+10,若点B为直角顶点，则 BC2+PB2=PC2,即：18+4+t2=t2-6t+10,解之得：t=-2;若点c为直角顶点，则bc2+pc2=pb2,即：18+t2-6t+10=4+t 2,解之得：t=4,若点P为直角顶点，则 PB2+PC2=BC2,即：4+t2+t2-6t+10=18 ,解之得：t

19、1=", t2= "223+173 f 17综上所述P的坐标为(-1 , -2)或(-1 , 4)或(-1 ,一；一)或(-1 ,一；一)方法提炼(1): 利用坐标系中两点距离公式 得到所求三角形三边平方的代数式; 确定三角形中的直角顶点，若无法确定则分情况讨论； 根据勾股定理得到方程，然后解方程，若方程有解，此点存在；否则不存在;方法提炼(2): 利用两直线垂直，K值互为负倒数(KiK2=-1),先确定点所在的直线表达式 将直线与抛物线的表达式联立方程组，若求出交点坐标，此点存在；否则不存在;方法提炼(3): 利用特殊角45°构造直角三角形，易求点的坐标。(2)

20、与等腰三角形的探究问题例6如图，直线y=3x + 3交x轴于点A,交y轴于点B,过A、B两点的抛物线交 x轴于另一点C(3, 0)。(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使4ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 Q的坐标；若不存在，请说 明理由。解：(1)抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3(2)该抛物线的称轴为 x= 1。设Q点坐标为(1, m)当 AB=AQ 时 Q 点坐标(1 , 6),或(1 , - 6);当BA= BQ时 解得：m=0, m =6, Q点坐标为(1, 0)或(1 , 6)此点在直线 AB上，不符合题意应舍去；当QA=QB时 解得：m=

21、1, Q点坐标为(1, 1).抛物线的对称轴上是存在着点Q(1,6)、(1,- 6)、(1, 0)、(1, 1)方法提炼:设出点坐标，求边长.；(类型一方法提炼)当所给定长未说明是等腰三角形的底还是腰时，需分三种情况讨论，如：本题中当AB=AQ时；当BA= BQ时；当QA=QB时；具体方法如下：当定长为腰，找已知直线上满足条件的点时，以定长的某一端点为圆心，以定长为半径画弧，若所画弧与已知直线有交点且交点不是定长的另一端点时，交点即为所求的点；若所画弧与已知直线无交点或交点是定长的另一端点时，满足条件的点不存在；当定长为底边时，作出定长的垂直平分线，若作出的垂直平分线与已知直线有交点，则交点即

22、为所求的点， 若DM=AM=2= P 2M,Q的坐标；若不存在，请说作出的垂直平分线与已知直线无交点，则满足条件的点不存在. 用以上方法即可找出所有符合条件的点。(3)与相似三角形的探究问题例7如图，直线y=-x+3交x轴于点A,交y轴于点B,抛物线y=ax2+bx+c 经过 A、B、C (1, 0)三点。(1)求抛物线的解析式；(2)若点D的坐标为(-1,0),在直线y=-x+3上有一点P使AABO与AADP相似，求出点P的坐标；解：(1)抛物线的解析式为 y=x2-4x+3(2)由题意可得： AABO为等腰三角形，若ABOsapq ,则第二需 AD DP1DP1=AD=4 ,P1(1,4)

23、若ABOsadP2,过点 P2作 P2 Mx 轴于 M, AD=4,ABO为等腰三角形，.ADP2是等腰三角形，由三线合一可得:即点M与点C重合，. P2 (1, 2)方法提炼：求一点使两个三角形相似的问题，我们可以先找出可能相似的三角形，一般是有几种情况,需要分类讨论，然后根据两个三角形相似的边长相似比来求点的坐标。跟踪训练7： (2010烟台)如图，已知抛物线 y=x2+bx-3a过点A (1, 0) , B ( 0, -3),与x轴交于另一点C.(1)求抛物线的解析式；(2)若在第三象限的抛物线上存在点P,使4PBC为以点B为直角顶点的直角三角形，求点P的坐标；(3)在(2)的条件下，在

24、抛物线上是否存在一点Q,使以P, Q, B, C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点明理由.跟踪训练8:以菱形ABCD的对角线交点 O为坐标原点，为AC所在的直线为 x轴，已知 A (-4, 0), B (0, -2), M(0, 4), P为折线BCD上一动点，作 PE，y轴于点 巳 设点P的纵坐标为a.1W(1)求BC边所在直线的解析式；(2)当OPM为直角三角形时，求点 P的坐标.跟踪训练9:如图，在平面直角坐标系中，直线 y=-2x+10与x轴， 点C的坐标是(8, 4),连接AC , B C.(1)求过O, A, C三点的抛物线的解析式，并判断 4ABC的形 状；(2)动点P从

25、点O出发，沿OB以每秒2个单位长度的速度向点B运动；同时，动点 Q从点B出发，沿BC以每秒1个单位长度 的速度向点 C运动.规定其中一个动点到达端点时，另一个动点 也随之停止运动.设运动时间为t秒，当t为何值时，PA=QA ?(3)在抛物线的对称轴上， 是否存在点M,使以A, B, M为顶点的三角形是等腰三角形? 若存在，求出点 M的坐标；若不存在，请说明理由.1跟踪训练10:如图，抛物线y=-x2+bx+c经过4ABC的三个顶点，其中点 A (0, 1),点B(-9, 10), AC/x轴，点P是直线AC下方抛物线上的动点.(1)求抛物线对应的函数解析式 .(2)过点P且与y轴平行的直线 L

26、与直线AB、AC分别交于 点E、F,当四边形AECP的面积最大时，求点 P的坐标.(3)当点P为抛物线的顶点时，在直线 AC上是否存在点Q, 使得以C、P、Q为顶点的三角形与 4ABC相似？若存在，求出 点Q的坐标；若不存在，请说明理由 类型五二次函数与特殊四边形的探究问题例8如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点（点在点B的左侧），直线与抛物线交于A、C两点，其中C点的横坐标为2.（1）求A、B两点的坐标及直线AC的函数表达式;（2）点G是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点 F,A、C、F、G为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请求出所有满足条件的 F点坐标；如果不存在，请说明

27、理由解：(1)令 y=0 可得 A(-1 , 0), B(3, 0),将C点的横坐标x=2代入y=x 2-2x-3 ,解得y=-3,. C(2, -3),，直线AC的函数解析式是 y=-x-1 ;（2）存在这样的点F如图，连接 C与抛物线和y轴的交点，那么 CG/x轴,此时AF=CG=2 , 因此F点的坐标是（-3, 0）;如图，AF=CG=2 , A点的坐标为（-1, 0）,因此F点的坐标为（1, 0）;此时C, G两点关于B点对称，因此G点的纵坐标为3,代入抛物线中即可得出G点的坐标为(147, 3)当G点的坐标为：（1+、仃，3）,直线GF的斜率与直线 AC的相同，因此可设直线 GF的解

28、析式为y=-x+h ,将G点代入后可得出直线的解析式为 y=-x+4+直线GF与x轴的交点F的坐标为（4+ *7, 0）当G点的坐标为：（17，3）,如图：同上可求出 F的坐标为（4-、7, 0）综上：共存在 4 个点 F: F1（1, 0）, F2（-3, 0）, F3（4+W，0）, F4（4-，。，0） 方法提炼： 特殊四边形的探究问题解题方法步骤如下：（1）先假设结论成立；（2）设出点坐标，求边长.（类型一方法指导）；（3）建立关系式，并计算。若四边形的四个顶点位置已确定，则直 接利用四边形边的性质进行计算；若四边形的四个顶点位置不确定，需分情况讨。 探究平行四边形： 以已知边为平行四

29、边形的某条边，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形的对边相等进行计算；以已知边为平行四边形的对角线，画出所有的符合条件的图形后，利用平行四边形对角线互相平分的性质进行计算；若平行四边形的各顶点位置不确定，需分情况讨论，常以已知的一边作为一边或对角线分情况讨论。 探究菱形：已知三个定点去求未知点坐标；已知两个定点去求未知点坐标.一般会用到菱形的对角线互相垂直平分、四边相等等性质列关系式。 探究正方形：利用正方形对角线互相平分且相等的性质进行计算，一般是分别计算出两条对角线的长度，令其相等，得到方程再求解。 探究矩形：利用矩形对边相等、对角线相等列等量关系式求解；或根据邻边垂直，利用勾股定理

30、列关系式求解。跟踪训练11 （2008烟台）如图，抛物线 L1 : y=-x2-2x+3交x轴于A, B两点，交y轴于M 点抛物线L1向右平移2个单位得到抛物线 L2 , L2交x轴于 C, D两点.（1）求抛物线L2对应的函数表达式；（2）抛物线L1或L2在x轴上方的部分是否存在点 N,使以A, C, M, N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是抛物线L1上的一个动点（P不与点A,B重合），那么点P关于原点的对称点 Q是否在抛物线L2上，请说明理由跟踪训练12 (2017烟台)如图1,抛物线y = ax2+bx + 2与x轴交于A, B两点

31、，与y轴交于点C , AB=4 .矩形图1OBDC的边CD=1 .延长DC交抛物线于点E.(1)求抛物线的表达式；(2)如图2,点P是直线EO上方抛物线上的一个动 点，过点P作y轴的平行线，m,求l与交直线EO于点G,作PHXEO,垂足为H.设PH的长为l ,点P的横坐标为m的函数关系式(不必写出 m的取值范围)，并求出l的最大值;M,使得以M, A, C, NM的坐标；若不存在,ABCD的三个顶点B ( 1,(3)如果点N是抛物线对称轴上一点，抛物线上是否存在一点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出所有满足条件点 请说明理由.跟踪训练13 (2012烟台)如图，在平面直角坐标系中，已

32、知矩形 0), C (3, 0), D (3, 4).以A为顶点的抛物线 y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动.同时动点 Q从点C出发，沿线段 CD向点D运动.点P, Q的运动速度均为每秒 1个单位.运动时间为 t 秒.过点P作PE± AB交AC于点E.(1)直接写出点 A的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)过点E作EFXAD于F,交抛物线于点 G,当t为何值时， ACG的面积最大？最大值为多少？(3)在动点P, Q运动的过程中，当t为何值时，在矩形 ABCD内(包括边界)存在点 H,使以C, Q, E, H为顶点的四边形为菱形？请直接写出t的值.跟踪训

33、练14如图，对称轴为直线 x二二的抛物线经过点 A (6, 0) 2和 B (0, 4).(1)求抛物线解析式及顶点坐标；OEAF(2)设点E (x, y)是抛物线上一动点，且位于第四象限，四边形OEAF是以OA为对角线的平行四边形，求平行四边形的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；当平行四边形OEAF的面积为24时，请判断平行四边形 OEAF是否为菱形？；右不存在,是否存在点 E,使平行四边形 OEAF为正方形？若存在，求出 请说明理由.跟踪训练15如图，抛物线y=-x2+bx+c与直线AB交于A (-4,1AC: y=- -x-6交y轴于点C.点E是直线AB上的动点，过点

34、E作EF±x轴交AC于点F,交抛物线于点 G.(1)求抛物线y=-x2+bx+c的表达式；(2)连接GB, EO,当四边形 GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)在y轴上存在一点 H,连接EH, HF,当点E运动到什 么位置时，以A, E, F, H为顶点的四边形是矩形？求出此时点前提下，以点E为圆心，EH长为半径作圆，点M为。E上一动点，求一AM+CM它的最小2值.类型六二次函数与圆的探究问题例9已知二次函数y=x2+bx+c的顶点M在直线y=-4x上，并且图象经过点 A (-1 , 0)。(1)求这个二次函数的解析式；(2)设此二次函数与 x轴的另一个交点为 B,与y轴的交

35、点为C,求经过M、B、C三点 的。O'的直径长；(3)设。'与y轴的另一个交点为 N,经过P (-2, 0)、N两点的直线为L,则圆心。'是 否在直线L上，请说明理由。解：(1)由公式法可表示出二次函数的顶点M坐标代入y=-4x,得到关于b, c的关系式，再把A的坐标代入函数解析式又可得到b, c的关系式，联立以上两个关系式解方程组求出b和c的值即可求出这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3 ;(2)分别求出 B (3, 0), C (0,-3),和 M (1, -4)的坐标，过M作ME LOE,过B作BFLEM交EM于F,OC=3 , OB=3 , CE=OE-OC

36、=1 , MF=2 , BF=4 , EM=1在 RtABOC, RtA CEM , RtABFM 中，利用勾股定理得：BC=3 l , MC= 2 , BM=2<5 ，BC2+MC 2=20, BM2= （2、可）2，BC2+MC2=BM 2. MBC为直角三角形，且/ BCM=90 ,O'的直径长为BM=2、号;R,过O'作y轴的垂线，交y轴于T,（3）圆心O'在直线上，过。'作x轴的垂线，交x轴号交MQ于S,设。'与x轴的另一个交点为 Q,连接MQ,由 BM 是。'的直径，知/ BQM=90 . . . Q （1 , 0）, BQ=2

37、 , O'吐 OB, QR=1 ,. OR=2 ,在RtO' RB中，由勾股定理得 O R= =2.O'的坐标为（2, -2）,.N 的 .OT=2,1.OC=3,，TC=1,，NC=1,. ON=1坐标为（0, -1）,-1）和P （-2, 0）分别代入设过PN的直线解析式为 y=kx+b ,把N的坐标为（01 1求得k=- - , b=-1 ,，过PN的直线解析式为 y=- -x-1 ,2 21,O'的坐标为（2, -2）,-2=- - X2-1=-2, .圆心 O'是在直线上。2方法提炼：运用转化的思想。转化的数学思想是解决数学问题的核心思想，由于

38、函数与几何结合的问题都具有较强的综合性， 因此在解决这类问题时， 要善于把 新知识”转化为 旧知识”，把 朱 知”化为 已知“，把 抽象”的问题转化为 具体”的问题，把 复杂”的问题转化为 简单”的问题。综合使用分析法和综合法。就是从条件与结论出就是从条件与结论出发进行联想、推理，由已知得可知”，从要求到需求”，通过对问题的 两边夹击”，使它们在中间的某个环节上 产生联系，从而使问题得以解决。A, B两点，与y轴交于C跟踪训练16 (2009烟台)如图，抛物线 y=ax2+bx-3与x轴交于点，且经过点(2, -3a),对称轴是直线 x=1,顶点是M .(1)求抛物线对应的函数表达式;(2)经

39、过C, M两点作直线与x轴交于点N,在抛物线上是否存在这样的点P,使以点P, A,C, N为顶点的四边形为平行四边形?若存在，请求出点 P的坐标；若不存在，请说明理由;(3)设直线y=-x+3与y轴的交点是D,在线段BD上任取一点(不与B, D重合)，经过A, B, E三点的圆交直线 BC于点F,试判断4AEF的形状，并说明理由;(4)当E是直线y=-x+3上任意一点时，(3)中的结论是否成立(请直接写出结论)二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A ,B,与x轴分别交于点 E, F,且点E的坐标为(-,0),以OC为直径作半圆,2圆心为D.(1)求二次函数的解析式;3跟踪训练17(2013

40、烟台)如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是边长为2的正方形,(2)求证：直线 BE是。D的切线;(3)若直线BE与抛物线的对称轴交点为P, M是线段CB上的一个动点 (点M与点B, C不重合)，过点 M作MN / BE交x轴与点 N ,连结PM , PN,设CM的长为t, APMN的 面积为S,求S与t的函数关系式，并写出自变量 t的取值范围.S是否存在着最大值？若 存在，求出最大值；若不存在，请说明理由.跟踪训练18 (2015烟台)如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=ax2+bx+c与O M相交于A,B, C, D四点，其中A, B两点坐标升别为(一1, 0), (0, 2),点D

41、在.x轴上且 AD为。M的直径，点 E是OM与y轴的另一个交点，过劣弧 ED上的点F作FHXAD 于点 H,且 FH=1.5.(1)求点D的坐标及抛物线的表达式；(2)若点P是x轴上的一个动点，试求出4PEF的周长最小时点P的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q,使4QCM是等腰三角形？如果存在，请直接写出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由类型七二次函数中动态的探究问题例10 （2011烟台）如图，在直角坐标系中，梯形 ABCD的底边AB在x轴上，底边CD的416端点D在y轴上.直线CB的表达式为y= x +,点A、D的坐标分别为（一4, 0）,22（0, 4）.动点P自A点出发，在AB

42、上匀速运行.动点Q自点B出发，在折线 BCD上匀速运行，速度均为每秒1个单位.当其中一个动点到达终点时，它们同时停止运动.设点P运动t （秒）时，4OPQ的面积为s （不能构成4OPQ的动点除外）.kyiy（1）求出点B、C的坐标；（2）求s随t变化的函数关系式；（3）当t为何值时s有最大值？并求出最大值416解(1)把 y=4 代入 y =- -x + ,得 x=1. aa.C点的坐标为（1,4）.416当 y=0 时，一-x + =0, ，x=4.，点 B 坐标为（4, 0）(2)作CM LAB于M,则CM = 4, BM = 3.由勾股定理得 BC=5.CM 4 .sin/ABC =-=

43、一.BC 540vtv4 时，作 QNOB 于 N,则 QN = BQ- sin Z ABC =一t.51 14221. S = -OPQN =- (4 t ) x-t = -t +-t (0vtv 4)2 2 S 5 SJI当4vtw时，(如备用图1),连接QO, QP ,作QNOB于N.同理可得 QN =-t.S1 142S1.S =-OP QN = - x (t 4 ) >rt= _t2 _-t (4<t w2 2555当5vtw时，(如备用图2),连接QO, QP.1 1.S = - >OPX OD =一(t4) X4= 2t- 8 (5tw6 .22(3)在0Vt<4时， 当