《四次数学危机与世界十大经典数学悖论》

1、精品“四次”数学危机与世界十大经典数学悖论“四次”数学危机第一次危机发生在公元前580568年之间的古希腊，数学家毕达哥拉斯建立了毕达哥拉斯学派。这个学派集宗教、科学和哲学于一体，该学派人数固定，知识保密，所有发明创造都归于学派领袖。 当时人们对有理数的认识还很有限， 对于无理数的概念更是一无所知， 毕达哥拉斯学派所说的数， 原来是指整数， 他们不把分数看成一种数， 而仅看作两个整数之比， 他们错误地认为， 宇宙间的一切现象都归结为整数或整数之比。 该学派的成员希伯索斯根据勾股定理（西方称为毕达哥拉斯定理）通过逻辑推理发现，边长为 1的正方形的对角线长度既不是整数， 也不是整数的比所能表示。

2、希伯索斯的发现被认为是“荒谬” 和违反常识的事。 它不仅严重地违背了毕达哥拉斯学派的信条， 也冲击了当时希腊人的传统见解。 使当时希腊数学家们深感不安， 相传希伯索斯因这一发现被投入海中淹死，这就是第一次数学危机。最后， 这场危机通过在几何学中引进不可通约量概念而得到解决。 两个几何线段， 如果存在一个第三线段能同时量尽它们， 就称这两个线段是可通约的， 否则称为不可通约的。 正方形的一边与对角线， 就不存在能同时量尽它们的第三线段， 因此它们是不可通约的。 很显然， 只要承认不可通约量的存在使几何量不再受整数的限制， 所谓的数学危机也就不复存在了。我认为第一次危机的产生最大的意义导致了无理数

3、地产生，比如说我们现在说的 ，都无法用 来表示，那么我们必须引入新的数来刻画这个问题，这样无理数便产生了，正是有这种思想，当我们将负数开方时，人们引入了虚数 i （虚数的产生导致复变函数等学科的产生， 并在现代工程技术上得到广泛应用） ， 这使我不得不佩服人类的智慧。 但我个人认为第一次危机的真正解决在1872 年德国数学家对无理数的严格定义， 因为数学是很强调其严格的逻辑与推证性的。第二次数学危机发生在十七世纪。 十七世纪微积分诞生后， 由于推敲微积分的理论基础问题，数学界出现混乱局面，即第二次数学危机。其实我翻了一下有关数学史的资料，微积分的雏形早在古希腊时期就形成了， 阿基米德的逼近法实

4、际上已经掌握了无限小分析的基本要素，直到 2100 年后，牛顿和莱布尼兹开辟了新的天地微积分。微积分的主要创始人牛顿在一些典型的推导过程中， 第一步用了无穷小量作分母进行除法， 当然无穷小量不能为零； 第二步牛顿又把无穷小量看作零， 去掉那些包含它的项， 从而得到所要的公式， 在力学和几何学的应用证明了这些公式是正确的， 但它的数学推导过程却在逻辑上自相矛盾 焦点是： 无穷小量是零还是非零？如果是零， 怎么能用它做除数？如果不是零，又怎么能把包含着无穷小量的那些项去掉呢？直到 19 世纪， 柯西详细而有系统地发展了极限理论。 柯西认为把无穷小量作为确定的量，即使是零， 都说不过去， 它会与极限

5、的定义发生矛盾。 无穷小量应该是要怎样小就怎样小的量， 因此本质上它是变量， 而且是以零为极限的量， 至此柯西澄清了前人的无穷小的概念，另外 Weistrass 创立了 极限理论，加上实数理论，集合论的建立，从而把无穷小量从形而上学的束缚中解放出来，第二次数学危机基本解决。而我自己的理解是一个无穷小量，是不是零要看它是运动的还是静止的，如果是静止的，我们当然认为它可以看为零；如果是运动的，比如说1/n ，我们说 ，但 n 个 1/n 相乘就为 1，这就不是无穷小量了，当我们遇到 等情况时，我们可以用洛比达法则反复求导来考查极限，也可以用 Taylor 展式展开后，一阶一阶的比，我们总会在有限阶

6、比出大小。第三次数学危机发生在1902 年， 罗素悖论的产生震撼了整个数学界， 号称天衣无缝，绝对正确的数学出现了自相矛盾。我从很早以前就读过 “理发师悖论”， 就是一位理发师给不给自己理发的人理发。 那么理发师该不该给自己理发呢？还有大家熟悉的 “说谎者悖论”， 其大体内容是： 一个克里特人说：“所有克里特人说的每一句话都是谎话。”试问这句话是真还是假?从数学上来说，这就是罗素悖论的一个具体例子。罗素在该悖论中所定义的集合R， 被几乎所有集合论研究者都认为是在朴素集合论中可以合法存在的集合。事实虽是这样但原因却又是什么呢？这是由于 R 是集合，若R 含有自身作为元素，就有R R,那么从集合的

7、角度就有R R。一个集合真包含它自己，这样的集合显然是不存在的。因为既要 R 有异于 R 的元素，又要R 与 R 是相同的，这显然是不可能的。因此，任何集合都必须遵循R R 的基本原则， 否则就是不合法的集合。这样看来，罗素悖论中所定义的一切 R R 的集合，就应该是一切合法集合的集合，也就是所有集合的集合， 这就是同类事物包含所有的同类事物， 必会引出最大的这类事物。 归根结底， R 也就是包含一切集合的“最大的集合”了。因此可以明确了，实质上，罗素悖论就是一个以否定形式陈述的最大集合悖论。从此， 数学家们就开始为这场危机寻找解决的办法， 其中之一是把集合论建立在一组公理之上， 以回避悖论。

8、 首先进行这个工作的是德国数学家策梅罗， 他提出七条公理， 建立了一种不会产生悖论的集合论， 又经过德国的另一位数学家弗芝克尔的改进， 形成了一个无矛盾的集合论公理系统（即所谓 ZF 公理系统），这场数学危机到此缓和下来。现在，我们通过离散数学的学习，知道集合论主要分为 Cantor 集合论和 Axiomatic集合论，集合是先定义了全集I ，空集，在经过一系列一元和二元运算而得来得。而在七条公理上建立起来的集合论系统避开了罗素悖论，使现代数学得以发展。中国数学爱好者李明波， 根据他所发现的纯数学及应用数学中种种意想不到的错误现象，精辟地在警示人们:数学中的错误，正在关系到公众的安危。李明波在

9、 1997 年 7 月的辽宁省数学年会上首次指出， 人类历史上的 “第四次数学危机” 已经在中国开始了。 但是，由于当时他的论文印数不多，而没能产生太大的影响。 时隔 8 年之后的 2005 年 9月，李明波在他原文章的基础上，增添了“重重反例的爱希阿引理”，并整理出了专题文- 可编辑 -精品章第四次数学危机。这篇堪称宣布第四次数学危机已经在中国开始的经典论文，已被本人以李明波与第四次数学危机为题投放到东陆论坛。世界著名数学疑难问题之哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城（今俄罗斯加里宁格勒）的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结，如图1所示。城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个

10、问题： 能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题， 一个著名的图论问题。这个问题看起来似乎不难，但人们始终没有能找到答案，最后问题提到了大数学家 欧拉那里。欧拉以深邃的洞察力很快证明了这样的走法不存在。欧拉是这样解决问题的： 既然陆地是桥梁的连接地点，不妨把图中被河隔开的陆地看成A、B、C、D4个点，7座桥表示成7条连接这4个点的线，如图2所示。于是“七桥问题”就等价于图3中所画图形的一笔画问题了。欧拉注意到，每个点如 果有进去的边就必须有出来的边，从而每个点连接的边数必须有偶数个才能完成一笔画。图3的每个点都连接着奇数条边，因此不可能一笔画出，这就说明不存

11、在一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次的走法。欧拉对“七桥问题”的研究是图论研究的开始，同时 也为拓扑学的研究提供了一个初等的例子。哥德巴赫猜想1742年德国人哥德巴赫给当时住在俄国彼得堡的大数学家欧拉写了一封信，在信中提出两个问题：第一，是否每个大于4 的偶数都能表示为两个奇质数之和？如 6=3+3 ，14=3+11 等。第二，是否每个大于7 的奇数都能表示3 个奇质数之和？如 9=3+3+3 ，15=3+5+7 等。这就是著名的哥德巴赫猜想。它是数论中的一个著名问题，常被称为数学皇冠上的明珠。实际上第一个问题的正确解法可以推出第二个问题的正确解法， 因为每个大于7 的奇数显然可以表示为一个

12、大于4 的偶数与 3 的和。 1937 年， 苏联数学家维诺格拉多夫利用他独创的“三角和”方法证明了每个充分大的奇数可以表示为 3 个奇质数之和，基本上解决了第二个问题。 但是第一个问题至今仍未解决。 由于问题实在太困难了， 数学家们开始研究较弱的命题：每个充分大的偶数可以表示为质因数个数分别为 m 、 n 的两个自然数之和，简记为“ m+n ”。 1920 年挪威数学家布龙证明了“ 9+9 ”；以后的 20 几年里，数学家们又陆续证明了“ 7+7 ”，“6+6 ”，“5+5 ”，“4+4 ”，“1+c ”，其中c 是常数。 1956 年中国数学家王元证明了“ 3+4 ”，随后又证明了“ 3+

13、3 ”，“2+3 ”。60 年代前半期，中外数学家将命题推进到“ 1+3 ”。 1966 年中国数学家陈景润证明了“ 1+2 ”，这一结果被称为“陈氏定理”，至今仍是最好的结果。陈景润的杰出成就使他得到广泛赞誉， 不仅仅是因为 “陈氏定理” 使中国在哥德巴赫猜想的证明上处于领先地位，更重要的是以陈景润为代表的一大批中国数学家克服重重困难， 不畏艰险， 永攀高峰的精神将鼓舞和激励有志青年为使中国成为 21 世纪世界数学大国而奋斗 !世界十大经典数学悖论1 . 理发师悖论（罗素悖论）：某村只有一人理发，且该村的人都需要理发，理发师规定，给且只给村中不自己理发的人理发。试问：理发师给不给自己理发？如

14、果理发师给自己理发，则违背了自己的约定；如果理发师不给自己理发，那么按照他的规定，又应该给自己理发。这样，理发师陷入了两难的境地。2 说谎者悖论： 公元前 6 世纪， 古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言：“所有克里特人所说的每一句话都是谎话。如果这句话是真的， 那么也就是说， 克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话， 但是却与他的真话所有克里特人所说的每一句话都是谎话相悖；如果这句话不是真的，也就是说克里特人伊壁门尼德斯说了一句谎话， 则真话应是： 所有克里特人所说的每一句话都是真话，两者又相悖。 所以怎样也难以自圆其说，这就是著名的说谎者悖论。公元前 4 世纪，希腊哲学家又提出了一个悖论

15、：“我现在正在说的这句话是假的。”同上，这又是难以自圆其说！说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家。说谎者悖论有许多形式。如：我预言：“你下面要讲的话是不，对不对？用是或不是来回答。”又如，“我的下一句话是错（对）的，我的上一句话是对（错）的”。3 跟无限相关的悖论：1 , 2, 3, 4, 5,是自然数集：1, 4, 9, 16, 25,是自然数平方的数集。这两个数集能够很容易构成一一对应，那么，在每个集合中有一样多的元素吗？4 . 伽利略悖论：我们都知道整体大于部分。由线段BC 上的点往顶点 A 连线，每一条线都会与线段DE（D点在AB上,E点在AC上）相交，因此可得DE与BC 一样长，与

16、图矛盾。为什么？5 .预料不到的考试的悖论： 一位老师宣布说， 在下一星期的五天内 （星期一到星期五）的某一天将进行一场考试， 但他又告诉班上的同学： “你们无法知道是哪一天， 只有到了考试那天的早上八点钟才通知你们下午一点钟考。 你能说出为什么这场考试无法进行吗？6 . 电梯悖论：在一幢摩天大楼里，有一架电梯是由电脑控制运行的，它每层楼都停，且停留的时间都相同。然而，办公室靠近顶层的王先生说： “每当我要下楼的时候，都要等很久。停下的电梯总是要上楼，很少有下楼的。真奇怪！”李小姐对电梯也很不满意，她在接近底层的办公室上班， 每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。 她说： “不论我什么时候要上楼，停下

17、来的电梯总是要下楼，很少有上楼的。真让人烦死了！”这究竟是怎么回事？电梯明明在每层停留的时间都相同，可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦？7 .硬币悖论：两枚硬币平放在一起，顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈，结果硬币中图案的位置与开始时一样；然而，按常理，绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对！你能解释为什么吗？8 .谷堆悖论：显然， 1 粒谷子不是堆；如果 1 粒谷子不是堆，那么 2 粒谷子也不是堆；如果 2 粒谷子不是堆，那么 3 粒谷子也不是堆；如果 99999 粒谷子不是堆，那么 100000 粒谷子也不是堆；如果 1 粒谷子落地不能形成谷堆， 2 粒谷子落地不能形成谷堆， 3 粒谷

18、子落地也不能形成谷堆， 依此类推， 无论多少粒谷子落地都不能形成谷堆。 这就是令整个古希腊震惊一时的谷堆悖论。从真实的前提出发，用可以接受的推理，但结论则是明显错误的。它说明定义“堆”缺少明确的边界。它不同于三段论式的多前提推理，在一个前提的连续积累中形成悖论。从没有堆到有堆中间没有一个明确的界限，解决它的办法就是引进一个模糊的“类”。这是连锁( Sorites )悖论中的一个例子,归功于古希腊人Eubulides ，后来的怀疑论者不承认它是知识。“ Soros ”在希腊语里就是“堆”的意思。最初是一个游戏：你可以把1 粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把2 粒谷子说成是堆吗？不能；你可以把3 粒谷子说成是堆吗？不能。但是你迟早会承认一个谷堆的存在，你从哪里区分他们？9 .宝塔悖论：如果从一砖塔中抽取一块砖，它不会塌；抽两块砖，它也不会塌；抽第 N 块砖时，塔塌了。现在换一个地方开始抽砖，