人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何3.1空间向量及其运算(教师版)【个性化辅导含答案】

1、空间向量及其运算1 了解空间向量的概念， 了解空间向量的基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示；2掌握空间向量的线性运算及其坐标表示；3掌握空间向量的数量积及其坐标表示，能用向量的数量积判断向量的共线和垂直1 .空间向量的有关概念名称概念表小零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量一相等向量方向相同且模相等的向量a = b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为一a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合a / b共向向量平仃于同个平囿的向重2.共线向量、共面向量定理和空间向量基本定理(1)共线向量定理：对空间任意两个向量a, b(bwo), a/b的充

2、要条件是存在实数入，使得a=入b.(2)共面向量定理：若两个向量a, b不共线，则向量p与向量a, b共面？存在唯一的有序实数(x, y),使 p=xa+yb.(3)空间向量基本定理：如果三个向量 a, b, c不共面，那么对空间任一向量p,存在有序实数组x, y, z,使得p=xa+yb+zc,把a, b, c叫做空间的一个基底.3.空间向量的数量积及运算律(1)数量积及相关概念两向量的夹角已知两个非零向量 a, b,在空间任取一点 Q彳OX a, OB= b,则/ AOB>U做向量a与b的夹“ 一 一一TT .一 ,一角，记作a, b，其氾围是0wa, bw兀，右a, b> =

3、 y,则称a与b互相垂直，记作 a1b.两向量的数量积已知空间两个非零向量a, b,则|a| b|cosa, b叫做向量a, b的数量积，记作a - b,即ab=| a| b|cos a, b> .(2)空间向量数量积的运算律结合律：(入a) - b=入(a b);交换律：a - b= b a；分配律：a - (b+ c) = a - b + a c.4.空间向量的坐标表示及其应用设 a=(ai, a2, a3) , b=(bi, b2, b3).向里表小坐标表小数量积a - baibi + a2b2 + a3b3共线a=入 b( bw。)ai=入 bi)a2=入 b2)a3=入 b3垂

4、直a - b= 0(aw。，bw0)aibi+a2b2 + a3b3 = 0模1 a|2 222qad a2+ a3夹角a, b> (aw0, bw0)cos a, b> =aibi + a2b2+ a3b3a2+a2 + a3 , b2 + b2+ b2规律方法：1.选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题 的基本要求.如本例用 OA OB OCE不OG MGs另外解题时应结合已知和所求观察图形，联想相 关的运算法则和公式等，就近表示所需向量.(2.首尾相接的若干个向量的和，等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量.所以在求若干向量

5、的和，可以通过平移将其转化为首尾相接的向量求和.3.数量积的应用：., 一一 一a - b.一一 . (1)求夹角，设向重 a, b所成的角为e ,则cos e =进而可求两异面直线所成的角；| a| b|(2)求长度(距离)，运用公式|a|2 = a- a,可使线段长度的计算问题转化为向量数量积的计算问题；(3)解决垂直问题，利用a± b ab=0(aw0, bw°),可将垂直问题转化为向量数量积的计算问题.类型一 空间向量的线性运算例1：如图3-1-6，已知平行六面体 ABCD ABC D . uuur uuur uuuu uuuuur求证：AC AB AD 2AC .

6、【解析】：由于在平行六面体中，每个面都是平行四边形，故可结合空间向量加法的平行四边形法 则进行向量的运算，从而证明结论.【答案】平行六面体的六个面均为平行四边形，又uuir uuuu uurAA CC , ADuurBC,练习1 ：如图所示，在平行六面体ABCDABGD 中，设 AA=a, AB= b, AD= c, M N, P分别是AA, BC CD的中点，试用 a, b, c表示以下各向量： APAN【答案】(1)AP=a+c+b; (2)AN=-a+b+c22r rr r r r练习2：设向量a, b不平行，向量 a b与a 2b平行，则实数 -1【答案】-2类型二共线定理、共面定理的

7、应用例2:射线AB、AC AD不共面，连结BG CD、DB,取AB、BC CD、DA的中点E、F、G、H,如图 3-1-20试判断四边形 EFGH的图形形状，并用向量的方法证明.【答案】解法1:四边形EFGH是平行四边形.uuir uuuruuurEH FG.E 点不在 FG 上，.EH/ FG 且 EH=FG四边形EFGH是平行四边形.uuLT 1 uultDC) 2 AC,UULT uuir uuir 1 ULUT解法 2：HG HD DG -(ADuuur uuruuurHG EF.又H点不在EF上，HG/ EF且 HG=EF.四边形EFGH是平行四边形练习 1 ：已知向量 a=(2,1

8、), b=(1, 2),若 ma+nb= (9, 8)( m,n R),则 m n 的值为【解析】由题意得：2m n 9,m 2n 8 m 2,n 5,m n 3.【答案】3类型三 空间向量数量积的应用例3:已知空间四边形 ABCD的各边和对角线的长都等于a,点M, N分别是AB, CD的中点.(1)求证：MNXAB, MNXCD；(2)求MN的长；(3)求异面直线AN与CM所成角的余弦值.丘 xuuu uuuUULT【解析】(1)设 AB =P，AC =q, AD =r.由题意可知：|p|二|q|=|r|二a ，且p、q、r三向量两两夹角均为60° .UUUU UULT uuuu

9、1 UUU UULT 1 UUU 1MN - AN - AM =2'( AC + AD.) -2" AB =3 (q+r-p)，uuuu uuu 1MN - AB =2(q+r-p). p=1 - (q p+r p-p2) =1 (a2 cos60° +a2 - cos60° -a2) =0.22第6页.MN，AB,同理可证 MNCD.（2）由（1）可知uuuu 1MN 二万-(q+r-p)uuuu uuuu 1| MN I =MN ' = -4(q+r-p)2=- q2+r2+p2+24(q r-p q-r - p)222= -a2+a2+a2+

10、2 (a-a-a.)4222=l.x2a2=a!uuuu . 22I MN I=手 a,，MN 的长为 2L_-a. (3)解 设向量AN与MC的夹角为9 .一1 一 一 1-AN=2(AC+ AD)=2(q+r),一 一 一 1MC=AC-AM= q 2p,一 一 11AN , MC= 2(q+ r) (q- 2p)111= 2(q22q - p + r q 2r p)111a2= 2(a22a2cos60 + a2cos60 2a2cos60° )= 一 .23又. |AN | = |MC | = 2 a,>> >V3V3a2AN , MC= |AN |MC |

11、cos 0 = 2ax 2ax cos 0 = 一 .2 cose = 3.> >2向量AN与MC的夹角的余弦值为3,从而异面直线2AN与CM所成角的余弦值为3.60°【答案】（1）见解析（2） MN的长为12 a'. （3）2异面直线AN与CM所成角的余弦值为3练习1 :在平行六面体 ABCD- A1B1C1D中，以顶点A为端点的三条棱长度都为 1,且两两夹角为求BD与ACe角的余弦值.【答案】设uuuI iMiruuirAB =a, AD =b. AA =cBD= b+ca, AO a+b,.|希|=啦，| AC = V3,BD AC= ( b+ c a) (

12、a+ b) = b2 a2+ a c+b c= 1. .cosBD, AC =BD AC 66 . | BD| | AC1 .已知向量a=(1 , 0, 1),则下列向量中与 a成60°夹角的是()A. ( 1, 1, 0) B. (1 , 1, 0)C. (0 , 1, 1) D. (-1, 0, 1).【答案】B2 .在下列命题中：若向量a, b共线，则向量a, b所在的直线平行；若向量a, b所在的直线为异面直线，则向量a, b一定不共面；若三个向量a, b, c两两共面，则向量 a, b, c共面；已知空间的三个向量 a, b, c,则对于空间的任意一个向量p总存在实数x,

13、y, z使得p= xa+ yb + zc.其中正确命题的个数是()A. 0B. 1C. 2D. 3【答案】A3 .在空间直角坐标系中，A(1, 2, 3),B(-2, 1, 6),C(3, 2, 1),D(4,3,0),则直线 AB与CD勺位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直【答案】B,、一，一 ,4 3f 11fl,一，4.O为空间任意一点，若 O代-OAF-OB-OC则A, B, C, P四点()488A. 一定不共面B. 一定共面C.不一定共面D.无法判断基础巩固(1)1.已知 a=( 2,1, 3) , b=( 1, 2, 1),若a，(a入b),则实数入的值为(A.

14、 -2B.14C.154D. 22 .已知空间四边形 ABCD(勺每条边和对角线的长都等于a,点E, F分别是BC AD的中点，则AE-AF第5页的值为()A. a2B.2a2C.4a2D.当a2【答案】C3 .若向量c垂直于不共线的向量 a和b, d=入a+b(入，C R,且入科 w 0),则()A. c / dB. c±dC. c不平彳T于d, c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能【答案】B4 .已知a, b, c是空间的一个基底，a+b, a- b, c是空间的另一个基底，一向量 p在基底 a, b, c下的坐标为(4, 2, 3),则向量p在基底a+b, a-b, c下的坐

15、标是()A. (4, 0, 3)B, (3,1, 3)C. (1, 2, 3)D. (2, 1, 3)【答案】B5 .已知 2a+ b= (0 , 5, 10) , c=(1 , 2, 2) , a c=4, | b| =12,则以 b, c 为方向向量 的两直线的夹角为.【答案】60°6 .已知 a=(2, 1, 3), b=( 1, 4, 2), c=(7, 5,入)，若 a, b, c 三个向量共面，则 实数入等于.能力提升(2)，一一八，一，一，7 .在四面体 OABC3, OA= a, OB= b, OC= c, D为BC的中点，E为AD的中点，则OE=(用 a, b, c

16、 表示). 111【答案】一a b c244 T T 8 .A, B, C, D是空间不共面四点， 且AB-AC= 0, ACAD- 0, AB-AA 0,则4 BCD勺形斗犬是 三角形(填锐角、直角、钝角中的一个 ).【答案】锐角9 .已知空间中三点 区2, 0, 2), B(-1, 1, 2), C(-3, 0, 4),设 a=AR b= AC 一(1)若| c| =3,且 c/ BC 求向量 c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.【答案】解 . c/ BC BC= ( 3, 0, 4) - ( -1, 1, 2) =( -2, 1, 2),，c=mBC m 2, 1, 2)=(2rn m 2n),I | c| =。(-2、2+ (- n