极限与连续部分基本概念

1、极限与连续（包含第三章集合 映射和函数）§1 函数及其特性基本概念1 集合 集合的表示方法 集合的关系及运算 （见书中概念）2 映射3 *函数 定义域 值域函数的两要素：定义域 对应法则4 反函数 ，注意（1）不是任一函数都存在反函数，反函数存在的条件； （2）一个函数与它的反函数互为反函数； （3）与图像关于直线y=x对称；（4）的定义域即为值域，而的值域即为 的定义域。5函数的基本性质 （1）有界性 界是不唯一的；函数的有界性与区间有关（如函数在区间（1，2）有界，但在（0，1）无界）； （2）单调性 函数的单调性在后面的导数应用中还会用到 函数的单调性也与区间有关（如函数在上是

2、减函数，上是增函数）；如一函数在某区间是严格增函数（或减函数），则其必有反函数。 （3）奇偶性（函数要定义在一对称区间上） 偶函数的图像关于y轴对称，奇函数的图像关于坐标原点对称且f(0)=0;判断一函数的奇偶性只需验证f(x)与f(-x)关系. （4）周期性 f (x)= f (x+T)= f (x+kT) k为整数 三角函数的周期性。6 幂函数，指数函数，对数函数常用的指数函数：，常用的对数函数：；指数函数与对数函数互为反函数。7 基本初等函数幂函数，指数函数，对数函数，三角函数，反三角函数统称为基本初等函数。2 / 7对于基本初等函数的图形及其基本特性必须熟练掌握。8 复合函数掌握两个（

3、或多个函数）是如何复合构成新函数的（即复合函数是如何复合而成的）。9 初等函数10. 分段函数分段函数不是两个或多个函数，它是一个函数，只是自变量在不同的取值范围其函数表达式不同。分段函数在分段点处极限的存在性，连续性，可导性等都是难点。§2 数列极限基本概念1 数列极限数列极限是一常数，是随着数列项数的增加通项的一种变化趋势。2 数列极限的四则运算 数列极限的四则运算的前提两个数列极限都存在。 §3 函数极限一、基本概念1 函数极限 自变量的变化趋势共有6种情形：（1） f (x)在上有定义；（2） f (x)在上有定义；（3） f (x)在上有定义； 结论： 典型：（a

4、） ， 不存在； （b） , 不存在. (4) f (x)在邻域内有定义（除外）； （5）左极限 ； （6）右极限 ； 左右极限主要用于求分段函数在分段点处的极限。结论： 注：函数在某点处的极限与函数在该点处是否有定义无关，与函数在此点取何值也无关（函数在某点的极限与此点无关，而与周围点有关）。2 函数极限的性质（1） 极限是唯一；（2） 若，则f (x)在邻域内有界， 若，则f (x)在|x|充分大时是有界的；（3） 若（或<0），则在邻域内f (x)>0（或<0）.3. 函数极限的运算法则 （1）四则运算法则 ，其他同数列极限； （2）复合函数的极限法则。4两个重要极限

5、（1）， （）；变形： ；（2） ； 变形：。5. 无穷小量和无穷大量 注：（1）无穷小量是f (x)有极限的特殊情形； （2）无穷大量是f (x)没有极限的特殊情形； （3）无穷小量和无穷大量之间的关系。6. 无穷小量的性质 注意无穷小量和有界变量的乘积是无穷小量的应用（如）。7. 无穷小量的比较 高阶无穷小量，同阶无穷小量，等价无穷小量在应用这些概念时注意前提必须是无穷小量才能比较，否则没有任何意义。8. 无穷小量的替换（代换） 在进行无穷小量替换时只有在乘除时能替换，在加减时是不能替换的。二、难点 1. 分段函数在分段点处的极限（如何思考）； 2. 等价无穷小代换在求极限过程中的灵活应用

6、； 3. 重要极限的准确运用； 4. 一些常用结论 （1），； （2），； （3），； （4）， （5）， （6）， 特殊地 ； （7）；（8）若时，则。常用的等价无穷小(必须熟记)若时， . §4 函数的连续性基本概念1 函数f (x)在某点连续: (或)，它包含三个方面（1）函数在此点有定义，（2）函数在此点的极限存在，（3）极限值等于这点的函数值。三个条件缺一不可。函数在某点右连续，在某点左连续；f (x)在某点连续。2. 函数f (x)在开区间连续，在闭区间连续。3. 间断点（不连续点）：三个条件不能都满足。 间断点分类：第一类间断点：左右极限都存在，（1）若相等但不等于此点函数值，称为可去间断点；（2）左右极限不等，称为跳跃间断点；第二类间断点：非第一类间断点（或左右极限至少有一个不存在）。4. 连续函数的运算性质结论: 初等函数在其定义区间上都是连续的。 这个结论为极限的计算带来很大的方便，即要求一连续函数的极限转化为求函数