圆的知识点总结及典型例题doc圆的知识点总结及典型例题

1、?圆?章节知识点复习一、圆的概念集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合轨迹形式的概念：1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆；补充2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线也叫中垂线； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线； 4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条

2、直线距离都相等的一条直线。二、点与圆的位置关系1、点在圆内 点在圆内；2、点在圆上 点在圆上；3、点在圆外 点在圆外；三、直线与圆的位置关系1、直线与圆相离 无交点；2、直线与圆相切 有一个交点；3、直线与圆相交 有两个交点；四、圆与圆的位置关系外离图1 无交点 ； 外切图2 有一个交点 ；相交图3 有两个交点 ；内切图4 有一个交点 ；内含图5 无交点 ；五、垂径定理垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。推论1：1平分弦不是直径的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； 2弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧； 3平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条

3、弧 以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即： 是直径 弧弧 弧弧中任意2个条件推出其他3个结论。推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在中， 弧弧六、圆心角定理圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，只要知道其中的1个相等，那么可以推出其它的3个结论，即：； 弧弧七、圆周角定理1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。即：和是弧所对的圆心角和圆周角2、圆周角定理的推论：推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧

4、是等弧；即：在中，、都是所对的圆周角推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。即：在中，是直径 或 是直径推论3：假设三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在中， 是直角三角形或注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半的逆定理。在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等八、圆内接四边形圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在中， 四边形是内接四边形九、切线的性质与判定定理1切线的判定定理：过半径外端且垂直于半径的直线是切线； 两个条件：过半

5、径外端且垂直半径，二者缺一不可 即：且过半径外端 是的切线2性质定理：切线垂直于过切点的半径如上图 推论1：过圆心垂直于切线的直线必过切点。 推论2：过切点垂直于切线的直线必过圆心。以上三个定理及推论也称二推一定理：即：过圆心；过切点；垂直切线，三个条件中知道其中两个条件就能推出最后一个。十、切线长定理切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。即：、是的两条切线 平分十一、圆幂定理1相交弦定理：圆内两弦相交，交点分得的两条线段的乘积相等。即：在中，弦、相交于点，2推论：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。即：在

6、中，直径，3切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。即：在中，是切线，是割线4割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等如上图。即：在中，、是割线十二、两圆公共弦定理圆公共弦定理：两圆圆心的连线垂直并且平分这两个圆的的公共弦。如图：垂直平分。即：、相交于、两点 垂直平分十三、圆的公切线两圆公切线长的计算公式：1公切线长：中，；2外公切线长：是半径之差； 内公切线长：是半径之和 。十四、圆内正多边形的计算1正三角形 在中是正三角形，有关计算在中进展：；2正四边形同理，四边形的有关计算在中进展，：3正六边形同

7、理，六边形的有关计算在中进展，.十五、扇形、圆柱和圆锥的相关计算公式1、扇形：1弧长公式：；2扇形面积公式： ：圆心角 ：扇形多对应的圆的半径 ：扇形弧长 ：扇形面积2、圆柱： 1圆柱侧面展开图2圆柱的体积：2圆锥侧面展开图1=2圆锥的体积：典型例题例1两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示点O，O是圆心，分隔两个肥皂泡的肥皂膜成一条直线，、分别为两圆的切线，求的大小例2如图，为O直径，E是中点，交于点D，3，10，那么例3如图，O的直径为10，圆心O到弦的距离的长为3，那么弦的长是 例4如图，在O中，、是两条弦，垂足分别为 1如果，那么与的大小有什么关系？为什么？2如果，那么与的大小

8、有什么关系？与的大小有什么关系？为什么？与呢？例5如图3和图4，是O的直径，弦、相交于上的一点P， 1由以上条件，你认为和大小关系是什么，请说明理由2假设交点P在O的外部，上述结论是否成立？假设成立，加以证明；假设不成立，请说明理由例6 如图，点O是的内切圆的圆心，假设80°，那么 A130° B100° C50° D65°例7如图，为O的直径，C是O上一点，D在的延长线上，且A1与O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由2假设与O相切，且30°，10，求O的半径_A_y_x_O例8如下图，点A坐标为0，3，半径为1，

9、点B在x轴上1假设点B坐标为4，0，B半径为3，试判断A与B位置关系；2假设B过M2，0且与A相切，求B点坐标例9如图，正六边形，其外接圆的半径是a，求正六边形的周长和面积例10在直径为的半圆内，划出一块三角形区域，如下图，使三角形的一边为，顶点C在半圆圆周上，其它两边分别为6和8，现要建造一个内接于的矩形水池，其中D、E在上，如图2494的设计方案是使8，61求的边上的高h2设，且，当x取何值时，水池的面积最大？3实际施工时，发现在上距B点185的M处有一棵大树，问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在，为了保护大树，请设计出另外的方案，使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避

10、开大树例11操作与证明：如下图，O是边长为a的正方形的中心，将一块半径足够长，圆心角为直角的扇形纸板的圆心放在O处，并将纸板绕O点旋转，求证：正方形的边被纸板覆盖局部的总长度为定值a例12扇形的圆心角为120°，面积为30021求扇形的弧长；2假设将此扇形卷成一个圆锥，那么这个圆锥的轴截面面积为多少？例13、如图，是O的直径，是弦，于E，交于D(1)请写出五个不同类型的正确结论； (2)假设8，2，求O的半径例14.：如图等边内接于O，点是劣弧上的一点端点除外，延长至，使，连结1假设过圆心，如图，请你判断是什么三角形？并说明理由2假设不过圆心，如图，又是什么三角形？为什么？AOCDP

11、B图AOCDPB图解题思路：1为等边三角形 例15.如图，四边形内接于O，是O的直径，垂足为，平分DECBOA1求证：是O的切线；2假设，求的长例16、如图，在O中，是O的直径，于F，30°.(1)求图中阴影局部的面积；(2)假设用阴影扇形围成一个圆锥侧面，请求出这个圆锥的底面圆的半径.O例17.如图，从一个直径是2的圆形铁皮中剪下一个圆心角为的扇形1求这个扇形的面积结果保存2在剩下的三块余料中，能否从第块余料中剪出一个圆作为底面与此扇形围成一个圆锥？请说明理由 3当O的半径为任意值时，2中的结论是否仍然成立？请说明理由例18.(1)如图、是O的两条半径，且，点C是延长线上任意一点：

12、过点C作切O于点D，连结交于点E求证： (2)假设将图中的半径所在直线向上平行移动交于F，交O于B，其他条件不变，那么上述结论还成立吗?为什么?(3)假设将图中的半径所在直线向上平行移动到O外的，点E是的延长线与的交点，其他条件不变，那么上述结论还成立吗?为什么例19、2021山东德州如图，在中，D是中点，平分 交于点E，点O是上一点，O过A、E两点, 交于点G，交于点F1求证：与O相切；2当120°时，求的度数例20、2021广东广州如图，O的半径为1，点P是O上一点，弦垂直平分线段，点D是上任一点与端点A、B不重合，于点E，以点D为圆心、长为半径作D，分别过点A、B作D的切线，两条切线相交于点CCPDOBAE1求弦的长；2判断是否为定值，假设是，求出的大小；否那么，请说明理由；3记的面积为S，假设4，求的周长.例212021江西“6字形图中，是大圆的直径，与大圆相切于B，与小圆相交于A，B，于H，设，求证：是小圆的切线；在图中找出一个可用表示的角，并说明你这样表示的理由；当，求的长例22.2021江苏泰州，28，12分在平面直角坐标系中，