新三第3讲-高斯求和(共7页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上高斯求和德国著名数学家高斯上小学的时候，一天，数学老师在黑板上写下一个算式：1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100 =? “这么多数怎么算呀?”孩子们都傻了眼。不一会儿，小高斯拿着写有答案的小石板走上讲台。老师一看，顿时惊讶得说不出话来一小高斯的答案竟然完全正确!你知道上面这道题小高斯是采用什么巧妙的方法计算出来的吗?原来，除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终等于一个不变的值，因此，两两搭配（1和100，2和99，3和98，），可以搭配100 ÷ 2 = 50对，并且它们的和都等于101。也就是说1 + 2 + 3 + + 98 +

2、 99 + 100相当于50个101 ，即5050。用一个算式表示就是：（1 + 100）×（100 ÷ 2）= 5050。事实上，像1 + 2 + 3 + + 98 + 99 + 100这样除第一个数外，每一个数与它前面的那个数的差始终相等的一列数叫等差数列，这个不变的差叫公差，等差数列中的每一个数都叫作这个等差数列的项，其中第一个数叫首项，最后一个数叫末项。利用配对求和的方法，可以总结出等差数列的以下公式：等差数列的和 =（首项 + 末项）× 项数 ÷ 2等差数列的项数 =（末项 首项）÷ 公差 + 1首项 = 末项 公差×（项数

3、 1）末项 = 首项 + 公差×（项数 1）有了这些公式，很多数学问题解答起来就很方便了。【例1】 计算：1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10分析 在这个算式中，共有10个数，将和为11的两个数两两配对，可配成5对（如图）。因此，求这10个数的和可以看成是求5个（1 + 10）的和。即学即练1 （1）计算：1 + 3 + 5 + + 17 + 19（2）求50以内所有偶数（包括50）的和。【例2】 建筑工地上堆着一些钢管（如左下图），这些钢管一共有多少根?分析 要求这些钢管有多少根，我们可以这样想：假设另外有同样多的钢管，像右上图那样与原来的钢

4、管互相颠倒放置在一个槽内。这个槽内的钢管共有8层，每层都有3 + 10 = 13（根），这样槽内的钢管总数就能求出。取它的一半，可知原来钢管的总数。即学即练2（1）下图是一垛电线杆的侧面示意图，试计算一下，图中共有多少根电线杆?（2）有一堆按规律摆放的砖，从上往下数，第一层有1块砖，第2层有5块砖，第3层有9块砖，一共有9层。这堆砖一共有多少块?【例3】 求首项为5，末项为155，公差是3的等差数列的和。分析 已知首项、末项和公差，要求等差数列的和，我们还需要知道项数才行。项数=（末项 首项）÷ 公差+ 1。即学即练3 一个有17项的等差数列，末项为117，公差为7。这个等差数列的和

5、是多少?【例4】 下面一列数是按照一定规律排列的：3，7，11，15，95，99。请问：（1）这列数中的第20个是多少?（2）39是这列数中的第几项?分析 （1）细心观察，这个数列是一个等差数列，第二个数比第一个数大4，第三个数比第一个数大2个4，第四个数比第一个数大3个4，以此类推，第20个数比第一个数大（201）个4。（2）同样的道理，39比3大多少个4，用这个数加1，就可以得到39是第几个数。即学即练4（1）自1开始，每隔三个数数一次，得到数列1，4，7，10，第100个数是多少?（2）某饭店的餐桌都是能坐4人的正方形，如图所示。当团体客人在10人以上时，饭店允许客人将餐桌拼成一长条，如

6、图所示，但每张桌子不能有空位。如果团体客人是22人，那么需要几张桌子?【例5】 计算：11 + 21 + 31 + 41 + 51 + 61 + 71 + 81 + 91分析 任意几个自然数的和都等于平均数乘个数，而本题是一个等差数列，并且等差数列的项数为奇数，因此它们的平均数就是中间数51。即学即练5 计算：11 + 13 + 15 + 17 + 19 + 21 + 23【例6】 如图所示，用3根火柴摆成一个等边三角形，用这样的方法，按图中所示铺满一个大的等边三角形。如果这个大的等边三角形的底边放10根火柴，那么一共放多少根火柴?分析 观察可知：第一层为1个三角形，共用3根火柴；第二层摆了2

7、个独立的三角形，共用6根火柴。第三层摆了3个独立的三角形，共用9根火柴；以此类推，当底边为10根火柴时，说明第10层共摆了10个独立的三角形，共用30根火柴。即学即练6 如图所示是一个五边形点阵，中心1个点为第一层，第二层每边2个点，第三层每边3个点，第四层每边4个点，以此类推，如果这个五边形点阵共有100层，那么点阵中一共有多少个点?能力检测1下面数列中，哪些是等差数列? 如果是，请指出公差；如果不是，请说明理由。（1）7，11，15，19，23，_（2）8，7，6，5，4，3，2，1_（3）1，2，1，2，1，2，1，2，_（4）3，6，12，24，48，_（5）5，5，5，5，5，5，_

8、2计算：1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 153计算：（2 + 4 + 6 + + 2006 + 2008）（1 + 3 + 5 + + 2005 + 2007）4 有一个等差数列首项为5，末项为97，公差为4，则这个等差数列的和是多少?5如果一个等差数列第4项为21，第8项为45，则它的第10项是多少?6有一个正方形空心方阵，如图所示，则这个正方形方阵的第10层有多少个点?7在5和69之间插入8个数之后，使这些数成为一个等差数列，则这个等差数列的和是多少?8下面的算式是按一定规律排列的，那么第10个算式的结果是多少?（2 + 3），（5 + 5），（8 + 7），（

9、11 + 9），9计算：1 + 2 + 3 + + 11 + 12 + 11 + + 3 + 2 + 110有一个老式座钟在1时整响1下，2时整响2下，3时整响3下，12时整响12下，而每半点钟也响1下。这个座钟一昼夜一共响多少下?11设自然数按下面的方式排列，则第20行的第一个数是几259142027 48 131926 7121825 111724 1623 12如下图，用同样大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形。其中正三角形顶点的个数（重合的顶点只计一次）从小到大依次为：3，6，10，15，21，。这列数中的第9位是多少?13自1开始，每隔两个数写出一个数来得