圆锥曲线常考题型的总结——配有大题和练习

1、圆锥曲线大综合第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题一常考题型题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系题型二：弦的垂直平分线问题题型三：动弦过定点问题题型四：过已知曲线上定点的弦的问题题型五：共线向量问题题型六：面积问题题型七：弦或弦长为定值的问题题型八：角度问题题型九：四点共线问题题型十：范围为题（本质是函数问题）题型一:存在性问题（存在点，存在直线y kx m，存在实数，三角形（等边、等腰、 直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆）二热点问题1. 定义与轨迹方程问题2. 交点与中点弦问题3. 弦长及面积问题4. 对称冋题5. 范围问题6. 存在性问题7. 最值问题8. 定值，定点，定直

2、线问题第二部分知识储备1.判别式:2.韦达定理:儿二次方程ax2b2 4ac若一兀二次方程bx2axc 0（a0）相关的知识（三个“二次”问题）bx c0（a0）有两个不等的实数根N，X2，则x-ix2bc,xi x2aa3.求根公式:若一兀二次方程2axbx c0（a0）有两个不等的实数根NX，则bXl,2, b2 4ac2a.与直线相关的知识1.直线方程的五种形式：点斜式,斜截式，截距式,两点式，一般式2.与直线相关的重要内容：倾斜角与斜率：y tan ,0,）;点到直线的距离公式：d AX0 A2ByB2C （一般式）或 d kX012y0k2b （斜截式）3.弦长公式：直线y kx b

3、上两点A（x!，yi）,B（X2，y2）间的距离:AB v1 k2 x1 x2（1 疋）（人 X2）2 4X1X2K或 AB4.两直线h : y1ky dlr? k2X2 d的位置关系:1 l1 /l2 Kk2且b|b25.中点坐标公式：已知两点A（x）月区，丫2），若点M x, y线段AB的中点，则% y22三.圆锥曲线的重要知识考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。2. 圆锥曲线的标准方程：椭圆的标准方程双曲线的标准方程抛物线

4、的标准方程3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数a,b,c三者的关系，p的几何意义等4.圆锥曲线的其他知识：通径：椭圆2b2，双曲线2b2a，抛物线2p焦点三角形的面积：2p在椭圆上时Svf1pf2btan-2p在双曲线上时Svf1PF2四常结合其他知识进行综合考查1 .圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系2 .导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识3 .向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等4 .三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质5.不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等五.

5、不同类型的大题(1 )圆锥曲线与圆例1 .(本小题共14分)22xy已知双曲线C ： 一22ab1(a 0,b 0)的离心率为，右准线方程为x(I)求双曲线C的方程；(n)设直线l是圆0:x2 y2 2上动点P(x0, y0)(x0y0 0)处的切线，I与双曲线C交于不同的两点 A, B，证明 AOB的大小为定值【解法1】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程 的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力.a2乜(I)由题意，得 c 3，解得a 1,c.3 ,-矗ab22 2 c a2 ,所求双曲线C的方程为x22y 1.2(n)点P xo,yoxoyo0在

6、圆x2 y22上，圆在点P xo,yo处的切线方程为y yoXox Xo ,yo化简得XoXyoy2.22yX由2122222及 Xo yo 2 得 3xo 4 x 4XoX 8 2xo 0,XoX yoy 22切线I与双曲线C交于不同的两点 A、B，且o Xo 2 ,.3对 4 0，且16x； 4 3x2 4 8 2x20 ,B两点的坐标分别为为，yi, X2,y2,则Xi/cos4xoX2厂,X1X23x： 4uuu UJUOBAOButuuuu-OAOB，且yi y2Xi X228 2xo3x2 4uuu uuuOA OB x-|X2X0X12X0X2,X-|X22XoX1X22Xo X

7、1X2【解法2】(I)程为y8 2x21 43x2 4 ro28 2x028 2x23x 4 3x AOB的大小为90 .同解法1.点 P Xo,yoXoyoxyo3X223xo 42XoYoo在圆XXo ，化简得XoXx2 4xox8yox 8yoy8 2x：22xo o切线l与双曲线C交于不同的两点8xo_43x20.2上,2 由2 2Xo 8 2xo圆在点Px2XoXA、B，且 o2 3Xo 4 o，设A、B两点的坐标分别为nt, 8 2富 则XlX2 3Xn，yiV2 3xourn ujuOA OB xm2 且 Xo yoo程的判别式均大于零)练习1 :已知点A是椭圆2XC :xo,

8、yo处的切线方2y_2yoy 21 及 Xoyo2,X2,y2 ,2xo 84，yy o,2xo2,o圆C相交于E,F两点，与x轴相交于点(I)求椭圆C的方程;AOB的大小为9o .2 2yo 2，从而当3xo 4 o时，方程和方o的左顶点，直线l: x my 1(m R)与椭B.且当m o时， AEF的面积为16 .3m1 4k2 1 4k2因为M为AC和0B的交点，所以直线 OB的斜率为14k(n)设直线 AE , AF与直线x 3分别交于M , N两点，试判断以 MN为直径的 圆是否经过点B ?并请说明理由.(2) 圆锥曲线与图形形状问题x2例2.1已知A , B, C是椭圆W : +

9、y2 = 1上的三个点，0是坐标原点.4(1) 当点B是W的右顶点，且四边形 OABC为菱形时，求此菱形的面积；(2) 当点B不是W的顶点时，判断四边形 OABC是否可能为菱形，并说明理由.2x解：(1)椭圆W:+ y2= 1的右顶点B的坐标为(2,0).4因为四边形 OABC为菱形，所以 AC与OB相互垂直平分.所以可设A(1 , m),代入椭圆方程得 1 + m2= 1，即m =3 .421 1厂所以菱形 OABC 的面积是|OB| |AC| = X2 X2|m |= -、3.2 2(2)假设四边形 OABC为菱形.因为点B不是 W的顶点，且直线 AC不过原点，所以可设 AC的方程为y=

10、kx + m(k工0,m 工0).x 4y2 4由'消 y 并整理得(1 + 4k2)x2 + 8kmx + 4m2 4 = 0.y kx m设 A(X1, y1), C(X2, y2),则 X1 X24 kmy1 y、21 4k2 ，2所以AC的中点为M4km?11因为k 工一1，所以AC与OB不垂直.4k所以OABC不是菱形，与假设矛盾.所以当点B不是W的顶点时，四边形 OABC不可能是菱形.2 2XyI练习1：已知椭圆C ：飞 兀1(a b 0)过点C-2 , 1)，且以椭圆短轴的两个端点和ab一个焦点为顶点的三角形是等腰直角三角形(I)求椭圆的标准方程；(n )设M (x,y)

11、是椭圆c上的动点，P ( p,0)是X轴上的定点，求|MP的最小值及取最小值时点M的坐标(3) 圆锥曲线与直线问题2 2例3.1已知椭圆C : x 2y 4，(1)求椭圆C的离心率(2)设0为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线y 2上，且OA OB，求直线AB2 2与圆x y 2的位置关系，并证明你的结论2 2解析：椭圆的标准方程为：1，42a 2， b 、2 则c 2，离心率 e -2 ；a 22 2直线AB与圆x y 2相切证明如下：设点A B的坐标分别为xo yot 2，其中0 0.iuu uuu2因为OA丄OB，所以OA OB 0，即 2y° 0，解得t丄0x2 _ 当x0

12、t时，y。1 ，代入椭圆C的方程，得t 2,2故直线AB的方程为x2 .圆心°到直线ab的距离d 2 .2 2 此时直线AB与圆X y 2相切.当xo上时，直线AB的方程为y 2峑二x t ,x。 t即 yo 2 x xo t y 2xo tyo 0.圆心0到直线AB的距离2xo tyo2Xot又 Xo 2yo 4 , t2yoXo，故d2.2 2此时直线AB与圆x y 2相切.由题意知，直线OA的斜率存在，设为k，则直线OA的方程为y kx，当k 0时，A 2 0，易知B 0 2，此时直线AB的方程为X原点到直线AB的距离为.2，此时直线 AB与圆x22相切;当1k 0时，直线0B

13、的方程为y匚x，联立_ 2 kx2 得点A的坐标 12y242k2_2_1 2k2OA 丄 OB ,2 或 x y 2, _2k_1 2k2.联立1Xk得点B的坐标 2k 22由点A的坐标的对称性知，无妨取点A1 2k2k12进行计算,2k22kJ1 2k2于是直线AB的方程为：y 2 2 X,2k1 2k22kk ' 1 2k21X1 k.1 2k22k ,即 k .1 2k2 x 1k 1 2k2 y 2k2202k22原点到直线AB的距离 2 2k '1 2k21 k 1 2k2此时直线AB与圆x2y22相切。综上知，直线AB 一定与圆x22相切法三:当k 0时，A 2

14、0、易知B 0，此时OA 2 OBAB 22'2 2，原点到直线AB的距离OA OBAB2 22” 22 ,、2 2此时直线AB与圆x y 2相切;当0时，直线OB的方程为1kx、Xiy1B X2 y2，则OA2 1k7，联立kx2y24得点A的坐标22k1 2k21 2 k222k22k.1 2k2；;于是 OA 1一k2 xA池,OB EAB24 1 k1 2k2222 1 k24 1 k J 2k2所以dOA OBAB2"卞 21 k2M 2k22 2 1 k22,直线AB与圆2 k2x2y2£相切;综上知,直线AB 一定与圆x2 y22相切练习1 :已知椭圆

15、C ： 2a2 2x y_ b21(a b 0)过点(0,1)，且长轴长是焦距的圆左焦点F的直线交椭圆C于A,B两点，O为坐标原点.(I)求椭圆C的标准方程;(II)若直线AB垂直于x轴，判断点O与以线段AB为直径的圆的位置关系,并说明理由;(川)若点O在以线段AB为直径的圆内，求直线 AB的斜率k的取值范围(4) 圆锥曲线定值与证明问题例4.1已知椭圆C的中心在原点 0,焦点在x轴上，离心率为3，且椭圆C上的点到2两个焦点的距离之和为 4(I)求椭圆C的方程；(n)设A为椭圆C的左顶点，过点 A的直线I与椭圆交于点 M，与y轴交于点N，过原2 点与I平行的直线与椭圆交于点 P 证明：| AM

16、 | | AN | 2|0P | .2 2解：(I)设椭圆C的标准方程为 笃与 1(a b 0),a b2 2 2a b c ,c V3由题意知，解得a 2, b 1.a 22a 4,2所以椭圆C的标准方程为y21 . 5分4 y(n)设直线 AM的方程为：y k(x 2)，贝U N(0,2k).y k(x 2),2 222由得(1+4k2)x2 16k2x 16k2 4 0(*).x2 4y24,设A( 2,0) , M (x1 , yj，则2 ,洛是方程(*)的两个根，2 8k21 4k2所以M(2 8k21 4k2徐).|AM |4/ k21 4k2|AN |、4 4k221 k2 .|

17、 AM | AN |41 k2 2 1 k21 4k28(1 k2)1 4k2设直线OP的方程为：y kx .4k21 4k2所以|OP |24 4k21 4k22 | OP |28 8k21 4k2由y2 kX，2得(I 4k2)x2 4 0.x2 4y24,242设 P(Xo,yo)，则 xo2，yo1 4k所以 |AM | |AN | 2|OP|2 .例4.2:已知椭圆C:X2a22y21 (a>b>0b2的离心率为-3，A( a,0),B(0,b)，O( 0，20)，OAB的面积为1.(I)求椭圆C的方程;(I I)设P的椭圆C上一点，直线PA与Y轴交于点 M，直线PB与x

18、轴交于点N。求证:AN ? BM为定值。焦点构成的三角形的面积为5、2319-由已湘宀七吕 ” SAg =扣0 =仁-* iftj Kaa b2 + c2.®,由®WWa-2(b=l则椭闘方程沖三+严=1一cn) SMI上点p的塞标为“何温能又己知灿NgBPMh JttttPA的方程为y - (x Z)令x=D就可以得判M点酸标为(0.(巳同样可皿钟的坐标为 吕小sin91 -cosfl(Z皿環一2扳决碍严tstn 多-cos2coj2 £i2x 练习1 :已知椭圆C ： 2a121(a b 0)的离心率为一6 ,椭圆短轴的一个端点与两个b3(I )求椭圆C的方程

19、；(n )已知动直线y k(x 1)与椭圆C相交于A、B两点.若线段AB中点的横坐标1 7uuur umr为 一,求斜率k的值;若点M ( ,0)，求证：MA MB为定值.2 3练习2 :已知抛物线C : y2 = 2 px ( p > 0 ),其焦点为F, O为坐标原点，直线 AB (不垂直 于x轴)过点F且抛物线C交于A , B两点，直线OA与OB的斜率之积为p .(1 )求抛物线C的方程；(2 )若M为线段AB的中点，射线OM交抛物线C于点 D ,求证：-|OD| > 2|OM |1练习3:动点P(x, y)到定点F (1,0)的距离与它到定直线l : x 4的距离之比为 三

20、.(I )求动点P的轨迹C的方程；(n)已知定点 A( 2,0) , B(2,0)，动点Q(4,t)在直线l上，作直线 AQ与轨迹C的 另一个交点为 M作直线BQ与轨迹C的另一个交点为 N，证明：M , N,F三点共线(5) 圆锥曲线最值问题22厂例5 :已知椭圆C：x21(a b 0)的离心率为 ，椭圆C与y轴交于A, B两点，a b2|AB| 2.(I)求椭圆C的方程;(H)设点P是椭圆C上的一个动点，且点 P在y轴的右侧.直线PA , PB与直线x 4分别相交于M , N两点若以MN为直径的圆与x轴交于两点E, F ,求点P横坐标的取值范围及| EF |的最大值.解：(I)由题意可得，b

21、 1,c3e -a22a1 3%曰彳得2 ?a4解a24 ,2椭圆C的标准方程为y2 14(n)设 P(Xo，y°)(O Xo 2), A(0,1),y01所以kpA0 ，直线PA的方程为yXo3分4分4分B(0, 1),yo1彳X 1 ,Xo6分同理：直线PB的方程为yI 1,Xo直线PA与直线x4的交点为M (4, 4(yo °Xo1),直线PB与直线x4的交点为N(4, 4(yo 1)1),Xo线段MN的中点宀,Xo所以圆的方程为(x 4)2 (y4yo)2Xo(1x0)2，令y 0，则(x 4)2西夢xo(11O分因为空y i，所以-,ii分4X 42 8所以(x

22、4)50 ,Xo因为这个圆与x轴相交，该方程有两个不同的实数解，88所以5 0,解得Xo (,2.12分Xo5xo5所以该圆被X轴截得的弦长为最大值为2.14分22JT练习1 :已知椭圆C：与21 a b的一个焦点为F(2, 0)，离心率为一。过焦a b3设交点坐标(x1,0),(X2,0)，则 |x- X2 | 25 ( 8 Xo 2 )点F的直线I与椭圆C交于A, B两点，线段AB中点为D , O为坐标原点，过O, D的直线交 椭圆于M , N两点。(1 )求椭圆C的方程；(2 )求四边形AMBN 面积的最大值。练习2 :已知椭圆C : mx2 3my2 1(m 0)的长轴长为2.6 , O为坐标原点.(I)求椭圆C的方程和离心率；(H)设点 A(3,0)，动点B在y轴上，动点 P在椭圆C上，且P在y轴的右侧，若 | BA| |BP|，求四边形OPAB面积的最小值.(6) 圆锥曲线存在性问题2 20的离心率为，点P 0,1和点Am,n m2例6.已知椭圆C :务与 1 a ba