圆的相似综合题

1、相似与圆综合题目练习1、如图，已知 AB是O O的直径，P为O O外一点，且 OP/ BC,/ P=Z BAC .(1) 求证：PA为O O的切线；(2) 若 OB=5 , OP=，求 AC 的长.2、如图，点C是以AB为直径的O O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点 D .(1) 求证：AC平分/ BAD ;(2) 若CD=1 , AC=.不，求O O的半径长.3、如图，O O是厶ABC的外接圆，BC为O O直径，作/ CAD= / B ,且点D在BC的延长线上，CE丄AD于点E.(1) 求证：AD是O O的切线；(2) 若O O的半径为8, CE=2，求CD的长.4、在Rt A

2、BC中，/ ACB=90 ° D是AB边上的一点，以 BD为直径作O O交AC于点E,连结DE并延长, BC的延长线交于点 F.且BD=BF .(1)求证:AC与O O相切.(2)若 BC=6, AB=12，求O O 的面积.5、如图，AB为O O的直径，C为O O上一点，AD和过C点的直线互相垂直，垂足为 D，且AC平分/ DAB .(1) 求证：DC为O O的切线；(2) 若O O的半径为3, AD=4，求AC的长.6、如图，直线 AB与O O相切于点 A，直径DC的延长线交 AB于点B, AB=8 , OB=10(1) 求O O的半径.(2) 点E在O O上，连接AE , AC

3、 , EC,并且AE=AC ,判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论.7、如图，在平行四边形 ABCD中，过点A作AE丄BC ,垂足为E,连接DE , F为线段DE上一点，且/ AFE= / B(1) 求证： ADF DEC ;(2) 若 AB=8 , AD=6 7, AF=4 二，求 AE 的长.&如图所示，在O O中，=，弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F，连接BC.(1) 求证：ac2=ab ?AF ；(2) 若O O的半径长为2cm,/ B=60 °求图中阴影部分面积.A9、如图，正三角形 ABC的边长为3+；.(1)如图，正方形EFPN的顶点E

4、、F在边AB上，顶点N在边AC上，在正三角形 ABC及其内部，以点 A为 位似中心，作正方形 EFPN的位似正方形 E F P 'N :且使正方形 E F P 'N '的面积最大(不要求写作法)；(2) 求(1中作出的正方形 E'F'PN的边长；(3) 如图，在正三角形 ABC中放入正方形 DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在 边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由.图图10、类比、转化、从特殊到一般等思想方法，在数学学习和研究中经常用到，如下是一个案例，请补充完整.原题：如图1，在平行四边形 AB

5、CD中，点E是BC的中点，点F是线段AE上一点，BF的延长线交射线 CD于点G.若=3，求的值.EF CG圏3(1)尝试探究在图1中，过点E作EH / AB交BG于点H，则AB和EH的数量关系是, CG和EH的数量关系是CDCG的值是(2)类比延伸如图2,在原题的条件下，若歴=m (m>0)，则Q的值是 (用含有m的代数式表示)，试写出解答EFCG过程.(3) 拓展迁移如图3,梯形ABCD中，DC / AB，点E是BC的延长线上的一点， AE和BD相交于点F.若二=a, ：' =b, (a>0,CD BEb> 0)，则“的值是 (用含a、b的代数式表示).EF初中数学

6、组卷一.解答题(共15小题)1、如图，已知 AB是O O的直径，P为O O外一点，且 OP/ BC,/ P=Z BAC .(1) 求证：PA为O O的切线；(2) 若 OB=5 , OP=，求 AC 的长.(1) 证明：T AB 是O O 的直径，/ ACB=90 ° / BAC+ / B=90 ° 又 t OP / BC , / AOP= / B， / BAC+ / AOP=90 ° P=/ BAC . / P+ / AOP=90 °由三角形内角和定理知/ PAO=90°即OA丄AP .又t OA是的O O的半径， PA为O O的切线；(2)

7、解：由(1)知，/ PAO=90 ° t OB=5 , OA=OB=5 .又t OP=,3在直角 APO中，根据勾股定理知由(1)知，/ ACB= / PAO=90 ° t/ BAC= / P,.A ABCPOA ,.AB_AC'' i .丄='，解得AC=8 .即AC的长度为&3 32、如图，点C是以AB为直径的O O上的一点，AD与过点C的切线互相垂直，垂足为点 D .(1) 求证：AC平分/ BAD ;(1)证明：连接 OC . t OA=OC，/ ACO= / CAO . t CD BO O 于 C,. OC 丄CD , 又t AD

8、丄 CD, AD / CO, / DAC= / ACO，/ DAC= / CAO，即 AC 平分/ BAD ;(2)解法一：如图 2，过点0作0E丄AC于E.在 Rt ADC 中，工 一；'=3，/ 0E丄 AC , AE=_AC='.vZ CAO= / DAC，/ AEO= / ADC=90 °2 2VTo AEO ADC t i,即 T . A0='，即O 0 的半径为'.ADAC 3 WlO33解法二：如图2，连接BC .在 Rt ADC 中，AD=，gf. |£： =i - -=3. ABCACD , ACAB即丨AB AB='

9、;ADAC33即O 0的半径为'.3/ AB 是O 0 直径，/ ACB=90 ° vZ CAB= Z DAC , Z ACB= Z ADC=90 °10_5图1图2图23、如图，O 0是厶ABC的外接圆，BC为O 0直径，作Z CAD= Z B ,且点D在BC的延长线上，CE丄AD于点E. (1)求证：AD是O 0的切线；(2)若O 0的半径为8, CE=2，求CD的长.(1)证明：连接 0A , v BC 为O 0 的直径，/ BAC=90 ° B+ Z ACB=90 °v 0A=0C ,/ 0AC= Z 0CA , vZ CAD= Z B

10、,/ CAD+ Z 0AC=90 °即Z 0AD=90 ° 0A丄AD , v点 A在圆上，二AD是O 0的切线；(2) 解：T CE丄 AD ,/ CED= / OAD=90 ° / CE / OA , CEDOAD ,!, CE=2，设 CD=x，贝U OD=x+8 ,OD_OAx=:是原分式方程的解，所以3CD=：.34、在厶ABC(1) 如图1,(2) 如图2,中，/ CAB=90 °AC : AB=1 : 2,AC : AB=1 :AD丄BC于点D，点E为AB EF± CB,求证：EF=CD .二，EF丄CE,求 EF: EG 的值.

11、的中点，EC与AD交于点G,F 在 BC 上.解答： (1)证明：如图 1,在厶ABC中，/ CAB=90 ° AD丄BC于点D , / CAD= / B=90 °-Z ACB . t AC : AB=1 : 2,. AB=2AC ,点 E 为 AB 的中点， AB=2BE , AC=BE .在厶ACD与厶BEF中，<ZCAD=ZBZADC二, ACD BEF , CD=EF，即 EF=CD ;QBE(2) 解：如图2，作EH丄AD于H , EQ丄BC于Q, EH丄AD , EQ丄BC, AD丄BC ,四边形 EQDH是矩形,/ QEH=90 °FEQ=Z

12、GEH=90。-/ QEG ,又/ EQF= / EHG=90 °EFQs EGH , EF : EG=EQ : EH . t AC : AB=1 : 二，/ CAB=90 °B=30 °在厶 BEQ 中，/ BQE=90 ° sin/ EQ= BE.BE 22在厶 AEH 中,AHE=90 ° ° / AEH= / B=30 ° cos/ AEH= ： "= ' , EH= -'AE点 E 为 AB 的中点， BE=AE ,AE 22 EF: EG=EQ : EH= BE :AE=1 : 二.2

13、25、在Rt ABC中，/ ACB=90 ° D是AB边上的一点，以 BD为直径作O O交AC于点E,连结DE并延长, BC的延长线交于点 F.且BD=BF .(1)求证:AC与O O相切.(2)若 BC=6, AB=12，求O O 的面积.证明：(1)连接 OE,t OD=OE ,/ ODE= / OED , v BD=BF ,/ ODE= / F,./ OED= / F, OE / BF，/ AEO= / ACB=90 ° AC 与O O 相切;(2)解：由(1)知/ AEO= / ACB，又/ A= / A , AOEABC，化_丄二，设O O的半径为r,BC'

14、;AB怜一，解得：=4O O的面积n&6n.6、如图，AB为O O的直径，C为O O上一点，AD(1) 求证：DC为O O的切线；(2) 若O O的半径为3, AD=4 ,和过C点的直线互相垂直，垂足为 D，且AC平分/ DAB ./ DAC= / OACC； AB=6 , AC=2 :.解答： (1)证明：连接 OC / OA=OC OAC= / OCA / AC 平分/ DAB / DAC= / OCA OC / AD / AD 丄 CD OCX CD 直线 CD 与O O 相切于点(2)解：连接 BC,则/ ACB=90 ° / DAC= / OAC，/ ADC= /A

15、CB=90 °2 ADC ACB，二，二 AC =AD?AB ,vO O 的半径为 3, AD=4 ,AV Ad7、如图，直线 AB与O O相切于点 A，直径DC的延长线交 AB于点B, AB=8 , OB=10 (1)求O O的半径.(2)点E在O O上，连接AE，AC，EC,并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论.解答：(1 )解：连接AO,交EC于F,： AB切O O于A , OA 丄 AB ,/ OAB=90 °在Rt OAB中，由勾股定理得：OA=；_'= '=6,(2) 直线EC与AB的位置关系是 EC / AB .证

16、明： AE=AC，弧 AE=弧 AC , v OA 过 O,. OA 丄EC,v OA 丄 AB , EC / AB .(3) 解：v EC / AB , OFCOAB ,丄=_：，丄=, FC=- = ,v OA 丄 EC , OA 过 O , EC=2FC=：:.AB OB 8 1055&如图，在等腰梯形 ABCD中，DC / AB , E是DC延长线上的点，连接 AE ,交BC于点F .(1) 求证： ABF ECF;(2) 如果 AD=5cm , AB=8cm , CF=2cm,求 CE 的长.(1)证明：v DC / AB , B= / ECF , / BAF= / E ,

17、ABF ECF.(2)解：v在等腰梯形 ABCD 中，AD=BC , AD=5cm , AB=8cm , CF=2cm , BF=3cm . CE= ' (cm).由(1) 知 , ABF- ECF，即=： 9、如图，在平行四边形 ABCD中，过点A作AE丄BC ,垂足为E ,连接DE , F为线段DE上一点，且/ AFE= / B(1) 求证： ADF DEC ;(2) 若 AB=8 , AD=6 二，AF=4 二，求 AE 的长.(1)证明：t ?ABCD , AB / CD, AD / BC ,/ C+/ B=180 ° / ADF= / DEC . t/ AFD+ /

18、 AFE=180 ° / AFE= / B, / AFD= / C. 在厶ADF与厶DEC中，ZAFD=ZC. ADF DEC .lZadf=Zdec(2)解：T ABCD , CD=AB=8 .由(1)知 ADF DEC ,在Rt ADE中，由勾股定理得： AE=匚二兰 DE_y 一 =12 厂丁 刖:.上：一- “亠6.10、如图所示，在O O 中, ：1=， 弦AB与弦AC交于点A，弦CD与AB交于点F,连接BC .2(1) 求证：AC =AB ?AF ;(2) 若O O的半径长为2cm,/ B=60 °求图中阴影部分面积.EDB(1)证明：' I = 

19、9;：,/ ACD= / ABC，又/ BAC= / CAF ,J,即 ac2=ab?af ;(2)解：连接OA ,/ ABC=60 °OC,过O作OE丄AC,垂足为点E,如图所示：AOE= / COE=丄 XI20 °60 °2AOC=120 ° 又 T OA=OC , /在 Rt AOE 中，OA=2cm , OE=OAcos60 °1cm , AE='；cm , AC=2AE=2 '；cm ,9c cc120 -21 尼贝U S 阴影=S 扇形 OAC Saoc=7T7 XV d X =360211、如图，正三角形 ABC

20、的边长为3+ (1)如图，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上,在正三角形 ABC及其内部，以点 A为 位似中心，作正方形 EFPN的位似正方形 EFP'N :且使正方形 EFP'N 的面积最大(不要求写作法)；(2) 求(1中作出的正方形 E'F'PN的边长；(3) 如图，在正三角形 ABC中放入正方形 DEMN和正方形EFPH，使得DE、EF在边AB上，点P、N分别在 边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值和最小值，并说明理由.B图(2)设正方形 E F P N的边长为ABC为正三角形， AE =BF丄;x.3解：(1)如图，正方形E 'F'P N即为所求.仝丁，即 x=3 -3，/ AD+DE+EF+BF=AB ，即二 m+m+n+二 n=匚+3，化简得33S 最大.T m+n=3 ,=9+ ( 3 : - 3 - 6+3 ；) 2=99 - 54 ；.(S最大弋.47也正确)综上所述,S最大=99 - 54:, S最小=匚.t-i图图/ E F +AE +BF =AB , x+二x+二x=3+ 7,33(没有分母有理化也对，xP.20也正确)(3) 如图 ，连接 NE、EP、PN,则/ NEP=90 °设正方形DEMN、正方形 EFPH的边长分