圆锥曲线利用点的坐标解决圆锥曲线问题

1、利用点的坐标处理解析几何问题有些解析几何的题目，问题的求解不依赖于传统的“设点，联立，消元，韦达定理整体代入"步骤，而是能够计算出交点的坐标，且点的坐标并不复杂， 然后以点的坐标作为核心去处理问题。一、根底知识：1韦达定理的实质：在处理解析几何的问题时，韦达定理的运用最频繁的，甚至有的学生将其视为“必备构造，无论此题是否有思路，都先联立方程，韦达定理。然而使用“韦达定理'的实质是什么？实质是“整体代入的一种方式， 只是因为在解析几何中， 一些问题的求解经常与Xi x2,xix2,yi y2,yiy2相关，利用“韦达定理"可进展整体代入，可防止 因为这几个根的形式过于

2、复杂导致运算繁琐。所以要理解“韦达定理并不是解析几何的必备工具，只是在需要进展整体代入时，才运用的一种手段。2、利用点坐标解决问题的优劣：1优点：如果能得到点的坐标，那么便可应对更多的问题，且计算更为灵活，不受Xi X2 ,XiX2, yi y2, yi y 形式的约束2缺点：有些方程的根过于复杂例如用求根公式解出的根，从而使得点的坐标也变得复杂导致运算繁琐。那么此类问题那么要考虑看能否有时机进展整体的代入3、求点坐标的几种类型：i在联立方程消元后， 如果发现交点的坐标并不复杂不是求根公式的形式，那么可考虑把点的坐标解出来用核心变量进展表示2直线与曲线相交，假设其中一个交点的坐标，那么另一交点

3、必然可求可用韦达定理或因式分解求解4、在利用点的坐标处理问题时也要注意运算的技巧，要将运算的式子与条件严密联系，假设能够整体代入，也要考虑整体代入以简化运算。整体代入是解析几何运算简化的精华二、典型例题：2 2例i椭圆C :务 £ i a b 0上的点到它的两个焦点的距离之和为4,以椭圆C的a b短轴为直径的圆 0经过这两个焦点，点 代B分别是椭圆C的左右顶点1求圆0和椭圆C的方程2P,Q分别是椭圆和圆上的动点 P,Q位于y轴的两侧，且直线PQ与x轴平行，直线 AP,BP分别与y轴交于点M ,N，求证：MQN为定值解：1依题意可得2a4 a 2，v 00过焦点，且r bb c,再由b

4、22 ca24可得b c22 2椭圆方程为1，圆方程为x2y222思路：条件主要围绕着P点展开，所以以P为核心，设P x0,y0，由PQ与x轴平42行，可得Q为。假设要证明MQN为定值，可从 MQN的三角函数值下手，在解析中角的余弦值可以与向量的数量积找到联系，从而能够转化为坐标运算。所以考虑cosMQNQM QNQM QN，模长并不利于计算，所以先算QM QN，考虑利用条件设出AP,BP方程， 进而 M,N坐标可用核心变量 x0,y0表示，再进展数量积的坐标运算可得QM QN 0,从而 MQN ,即为定值2解：设P Xo,y°PQ与x轴平行，设Q Xi,y。，由P,Q所在椭圆和圆方

5、程可得:x。yo1x04 2y24292Xiy02x12 y2由椭圆可知:A2,0,B 2,okyokAPxo 2令xo，可得：M O,-20-xo2同理：BP:yyox 2可得No, 2yoxo2X。22 2AP:yx 2X。2QM2yox。2y。Xi,2yoX 2y。Xi,x)yox 2QM QN XX 2x)y。X 22Xo42Xo2Xi2 Vo2y。可得:QM QN 2 y24 2yf y。22y。y22。QMQN，即 MQN 为定值2AP，以斜率k作为核心变量，直线AP与椭圆交于代P两点,A点坐标利用韦达定理可解出P点坐标用k表示，从而可进一步将涉及的点的坐标都用k来进展表示，再计算

6、 QM QN。也可以，计算步思路二：此题还可以以 AP,BP其中一条直线为入手点例如骤如下:解：设P x°,y。，由椭圆方程可得：A 2,Q ,B 2,0所以设直线 AP: y k x 2，联立方程:2k2 1 x2 8k2x 8k2 4 08k4XXXo2k21y k x 24k 22，代入到直线方程可得:2k21v。4k2k2 14k2 2 4kM 0,2k , N 0,- k2k2 1 2k2 1Kbp4k222k2k212BP :1 yX2，由 AP: y2k4k2k2 11k x 2，令x 。可得:1设 Q X1,y。，那么 QMX1,2k y。，QNQM QN X：2k

7、y。1k yo22c2k21Xiyo2yok由Q在圆上可得：224 kX1 yo 2，再由yo 2k2 1代入可得:2丽莎2 2专产7 0QM QN，即 MQN 为定值22 2例2：设椭圆笃当 1 a b 0的左右焦点分别为 只也，右顶点为A，上顶点为B ,a bAB譽护1求椭圆的离心率2设P为椭圆上异于其顶点的一点，以线段PB为直径的圆经过点 R，经过原点0的直线l与该圆相切，求直线 丨的斜率解：1由椭圆方程可知： A a,0 ,B 0,b，F,c,0 ,F2 c,0AB Ja2 b2, F1F2 2c.a2b2仝2c22,2小2a b 3c即 a2a22 2c 3c>ec42a22由

8、1可得a:b: c72:1:122椭圆方程为Xc2y_21设 P Xo，yo,Bo,c2c2cRPXoc, y°FBc,c.以线段PB为直径的圆经过点F1F1P F1Bc xccy。0 yoXoc联立方程：y x0c00X22 X c22c2，整理可得x2 2y2 2c23x24cx 0 ,解得：x°，代入直线方程:341 c,c33/ B 0,c可知PB的中点为2 2c, c331一 PB22；45c3圆方程为x |c5c2设直线l : y kxdy 12kc3.k2 12 _c345c3，整理可得:2k325k29k28k 10，解得:.15直线l的斜率为4.15 或

9、4.15例3:2021，重庆如下图，设椭圆的左右焦点分别为D在椭圆上，DF1卩店2,£斗IDFDF1F2的面积为1求椭圆的标准方程2设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点，且圆在h,F2，点这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点，求圆的半径解：1设 F1c,0,F2c,0 ，由F1F2DF12迈可得：DF1F1F222SDF1F；22环2DF1迈，解得c2 12F1F22, DF1在厶DF1F2中，2df22DF1DF23.22P x1, y1 , P, x2,y2是两个交点联立方程X11 2y122X123x； 4X1 0，解得 X1 0y14舍或X132a DF

10、1 DF22 罷 a 貶2X2b 1椭圆方程为：y 1222如图：设圆与椭圆y21相交，2yi 0,y2 0 , F1 , F22 是圆的切线，且 F1P1 F22，那么由对称性可得：X2X1, y1 y2RP2 2 X1由1可得 F11,0 ,F2 1,0F1P X1 1y , F2P2 X2 1,y2X1 1yF1P F2F2 F1P1 FP2 0X1 1 2 y12 0，过R,P2且分别与F1R,F2B垂直的直线的交点即为圆心 C由尺只丁2丘是圆的切线，且 RR F2B，可得：CR CP，因为CR CP， rCP1P2为等腰直角三角形4.232 2例4：椭圆笃占 1 aa bb 0的焦距

11、为4，设右焦点为F1，离心率为e1假设e-，求椭圆的方程点0在以线段 MN为直径的圆上证明：点A在定圆上 设直线AB的斜率为k ,假设k 、3，求e的取值范围解：1依题意可得：c 2 a 2.2e2 2b2 a2 c2 4所以椭圆方程为：-y 184解：设A x0,y0，那么BXo,y0。因为F12,0，且 M ,N 为 AF1,BF1 的中点所以有MXo2,也，N2 2Xo2yo2而0在以MN为直径的圆上可得：OM ON O,所以得到关于Xo, yo的方程，由方程便2思路：设A Xo,yo ，那么BXo, yo ，由此可得M,N坐标用xo, yo进展表示，可判定出A点的轨迹 O在以MN为直径

12、的圆OM ONO4 x：2yo44A点在定圆2 Xykx22X 2y_.21ab224Xyc2be _JaaO2可得：k*而OM ON代入22224Xoyoy2 4上2 Xkx212 ab22kx2X4224ac2ze42 e2e212 a2e2 1Xo 2Xo 2yo2yo2消去x可得:S 1 *b24e4 8e242e2所以解得：-2 e2例5:椭圆的上顶点为B，左焦点为F，离心率为£1求直线BF的斜率2设直线BF与椭圆交于点P异于点B丨，过点B且垂直于BP的直线与椭圆交于Q异于点B丨，直线PQ与y轴交于点MPMMQ求的值假设PMsin BQP，求椭圆方程9解：11由 e设Fc,

13、0，2cB 0,b-可知 a:b:c a 55:2:10,2c2【设P %,% ,QX2,y2BP : y2x 2c+a: b:c'.5:2:1椭圆方程为:x25c22y4c2联立方程:4x2 5y2 y 2x 2c20c24x22x2c20c2，整理后可得:224 x40 cx 0可解得:5c因为BQ BPkBQX15c4c设 BQ: y2c联立方程:1x22c21 x240cx解得X24x25 -x 2c220c2，整理后可得:J240cQM冷1 k021o,yo ,PQ斜率为40c 121PMQM5c 口3_40c 121，即Q竺21 2122 c21PMJ1 k25c 0兰它3

14、3k，由弦长公式可知:PM|7PM77PMPQMQ8PQ15 115由可得:k2PM|sin BQP7、5BPPQ sin BQP15PMsin BQP5由 B 0,2c ,P5c4c可得:BP2c5、5c35;5c35、. 53椭圆方程为x22X 例6:椭圆2a2 y b2的左焦点为Fc,0，离心率为在椭圆上且位于第一象限，直线FM被圆y2丄截得的线段的长为c，4FM1求直线FM的斜率2求椭圆的方程3设动点P在椭圆上，假设直线FP的斜率大于2，求直线OP O为原点斜率的取值范围c解：1由可得e -aa: b :c,3-2:1a 一 3c, b 、2c2x椭圆方程为 23c22y2c22x23

15、y26c2设直线FM : y kkx ykc其中kdO FMkc由 do FMr2可得:kck2=k2c2k2 12c24解得:2由可得:FM :2x2一 x33y26c22x26c23x22cx 5c20解得:|c或x M在第一象限2 v3c， 3 c可得：c2FM1c134c3椭圆方程为:2y_23由2可知F1,0，设P x,y，设FP的斜率为kPF : y k x 1y k x 1联立方程：3x2 2y22x23k2可解得:1,0设直线OP的斜率为m,mx3x22y213x2 2m2x21m2x31时，可知yk x 102'm1 0m2由xxx23x1,0时,可知y kx 10m

16、1 0m2，由xxx23当当1 3x22x212x2综上所述:例7:椭圆g的离心率为1求椭圆G的方程;3-,1可得：m21,0可得：m，其短轴的两端点分别为A 0,122假设C,D是椭圆G上关于y轴对称的两个不同点，直线返/33,B 0, 1 .AC,BD与x轴分别交于点M , N .试判断以MN为直径的圆是否过定点，如经过，求出定点坐标；如不过定点，请说明理由解：1Ya: b: c 2 :1:1由短轴顶点0,1,B 0,可得:椭圆方程为2y2 12设C x° ,y° ，那么对称点D x° ,y°kAC，kBDyo 1从而直线AC,BD的方程为:XoXo

17、AC : yxxo1,BD : yyo ix 1，xoy o解得:-,o yo,NXo,o， yo设MN中点为那么XEXo_Xo_1 yoXoyo12yo半径rMN21Xo21 yoyoXo1 yoXq_1y2以MN为直径的圆方程为:XoYo2yo2 2yo2代入Xo22yo2Xoy可得:2yoXoX2y2血xXo4yfx：o，代入2Xo21必可得:即X2纽xXoo,y2时，无论Xo,yo为何值等式均成立圆E恒过o, 2例&如图，设抛物线C1 : y2 4mx m o的准线与X轴交于F1，焦点为F2，以R,F2为1焦点，离心率e 的椭圆C2与抛物线C1在x轴上方的交点2为P，延长PF2

18、交抛物线于点Q，M是抛物线G上一动点,且M在P,Q之间运动1当m 1时，求椭圆C2的方程解：1m 1 时，Ci : y4x，焦点坐标 F2 1,0彳C 1oc 1/ ea 2a 2.222小b a c 32 2椭圆C2的方程为：才七12由 C1 : y24mx0可得:F2 m,0，即 c m2m,b2 a23m2椭圆方程为:2x4m23x22y4y24mx6m12m23x 2m3x216mx12m2y2 4mx解得:2、6m3PF2PF12a PF22m5m4m35m 7 mF1F22c 2m6m PF1F2边长为3个连续的自然数kPF22、6 02-623即PQ:y2、6x 3，代入抛物线方

19、程可得：24 x2312x2x 2.6m, m913x180 解得 Xq2yQ29233、6Q -, 3、6212x，P 2,2、6,F2 3,0抛物线方程为y2dMt-,t，t 3、6,2 .612、6t 36PQt2753075,02752dM PQ max630_62752_630max由 P 2,2 ,6,Q3. 6可得:PQ厂24Xpxq252Smpq max1-PQ2例9 :在平面直角坐标系dMPQ max125、616xOy中，点P a,b a为动点,廿2分别为椭圆2 2x y,、221的左，右焦点，a b几EPF?为等腰三角形1求椭圆的离心率e2设直线PF2与椭圆相交于 代B两

20、点，M是直线PF2上的点，满足AM BM 2，求点M的轨迹方程解：1设F1c,0 ,F2 c,0，由图可知，AF1PF2为等腰三角形即 PF22c,代入可得:PF2222a c b 2c a cb2=4c22a2 2ac2 24c 0 2e e解得:1舍或e2思路：由1可将椭圆方程化简为:3x24y212c2，与直线PF?的方程联立,2 23x 4y 即-12c2消元后发现方程形式为5x28cx0，形式极其简单，所以直接求出点的坐标可得：8 A c,53-3c,B0,5,3c，进而设所求点M x,y。将 AM , BM 坐标化后，再禾U用AMBM2 即可得到关于x, y的方程：8x xc3.3

21、 yc y、3c2 ,方程中含有c ,所以考虑利用直线方程55y 3 x c将c消掉：ex-y，代入即可得到轨迹方程3解：t e e 1a 2椭圆方程转化为:a 2e,b . a2e2、3c4 c22話1即3x2 4y2依2P a,b 即 P 2c,3ckpF20 dec 2c.3PF2的方程为：y3 x c，设A x1,y1 ,B x2,y2，联立方程可得:，消去y，方程转化为：解得:Xi8C,X25A 8c,50, '一 3cx,y，那么AM88c，yx, y 3c由 AM BM2可得:3、3y c5y . 3c2，化简可得:3x2 4y212c2y .3 x c2 2 2 23x

22、2 4 3 x c12c25x2 8cx 0x2 -cx y2- 3cy -c220 555因为yc，所以c x -学，代入式化简可得:18x2 16 3xy 15 0将y富代入c x请，可得:10x2516x0x0M的轨迹方程为：18x216 3xy152x 例10：如图，F1,F2分别为椭圆a2 y b7的左右焦点，椭圆C上的点到F1x2距离的最大值为5,离心率为，代B是椭圆C上位于轴上方的两点，且直线 AF1与BF2平行。31求椭圆C的方程值解：11e C2依椭圆性质可得：椭圆上的点到焦点的距离最大值为a c 5a3a3,c2b22 2a c 522所以椭圆方程为x1952设AF2与BF1的交点为P，求证：PF1pf2为定2解：由1可得：F1 2,0 ,F2 2,0，设A为畀,B沁、"x my 25x29 y2设直线AF1 : x my 2，与椭圆联立方程：25 my 29y2 45，整理可得:452 29 5m y20my 250y1AF120m2 220m100