圆锥曲线知识点+例题+练习附答案解析

1、圆锥曲线一、椭圆：（1 ）椭圆的定义：平面内与两个定点 Fi,F2的距离的和等于常数（大于 厅芾2| L 的点的轨迹。其中：两个定点叫做椭圆的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：2a |F1F2 |表示椭圆；2a |F1F21表示线段F1 F2 ； 2a |F1F2|没有轨迹；（2）椭圆的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程2 22 1(a b 0) a b2 2爲厶 1(a b 0)ab图形xIyk0、)A?OB1FB1顶点A1 ( a,0), A2 (a,0)B1(0, b),B2(0,b)A( b,0),A2(b,0)B/O, a),B2 (0

2、,a)对称轴x轴，y轴；短轴为2b，长轴为2a焦占八、八、F1( c,0), F2(c,0)已(0, c),F2(0,c)焦距|时2丨 2c(c 0)c 23.常用结论：（1）椭圆笃 占i（a b 0）的两个焦点为Fi,F2，过Fi的直线交椭圆于A, B两 a b点，贝U ABF 2的周长= 2 2（2）设椭圆务 笃1（a b 0）左、右两个焦点为F1, F2，过F1且垂直于对称轴的直线 a b交椭圆于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是 | PQ |二、双曲线：（1）双曲线的定义：平面内与两个定点 F1, F2的距离的差的绝对值等于常数（小于 | F1F2 |） a2 b2离心率e C（0 e

3、1）（离心率越大，椭圆越扁）a通径空 （过焦点且垂直于对称轴的直线夹在椭圆内的线段）a的点的轨迹。其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距。注意：|PFj IPF2I 2a 与 | PF2 | | PFi | 2a ( 2a | F1F2 |)表示双曲线的一支。2a | F1F2 |表示两条射线；2a | F1F2 |没有轨迹;(2) 双曲线的标准方程、图象及几何性质:中心在原点，焦点在x轴上中心在原点，焦点在y轴上标准方程2222 1(a 0,b 0)a bFFi2x21(a0,b 0)顶点Ai( a,0), A2(a,0)Bi(0, a),B2(0,a)对称轴x轴，y轴；虚轴为

4、2b，实轴为2a焦占八、八、Fi( c,0),F2(c,0)Fi (0, c), F2(0,c)焦距IF1F2I2c(c 0)2 c2 .2 a b离心率e C(e i)a(离心率越大，开口越大)渐近线by xaayxb通径2 b2a(3) 双曲线的渐近线：0，因式分解得到a y 0。a b2 2求双曲线的渐近线，可令其右边的1为0,即得每 b2a b2222与双曲线字詁1共渐近线的双曲线系方程是話話；(4) 等轴双曲线为x2y2t2，其离心率为_22 2(4)常用结论：(1)双曲线务每1(a 0,b 0)的两个焦点为Fi, F2，过Fi的直线交双曲线 a2 b2的同一支于 代B两点，贝U A

5、BF2的周长= 2(2)设双曲线鼻2 a直线交双曲线于P,Q两点，则P,Q的坐标分别是|PQ I2笃1(a 0,b 0)左、右两个焦点为 片丁2，过R且垂直于对称轴的 b2，三、抛物线:(1) 抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线(2)抛物线的标准方程、图象及几何性质:焦点在x轴上,焦点在x轴上,焦点在y轴上,焦点在y轴上,开口向右开口向左开口向上开口向下标准方程22图形顶点对称轴F(F(0,自F吟0)PF(°，子)焦占八、八、离心率2p焦半径|PF I lx。| 号I pf I |yo I焦点弦焦准距四、弦长

6、公式:IABI -1 k2|x.X21 k2(% x2)2 4x2其中，代分别是联立直线方程和圆锥曲线方程，消去y后所得关于x的一元二次方程的判别式和x2的系数求弦长步骤：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去y,得关于x的一元二次方程Ax2 Bx C o,设A（x1,y1），B（x2,y2），由韦达定理求出x1BACx1x2 ；（ 3）代入弦长公式计算。ABy C 0,则相应的法（二）若是联立两方程，消去x,得关于y的一元二次方程Ay2弦长公式是：| AB |1 (2 I Y1y2l J1 2 2().(yi y2)4畑k(k)2 tai注意（1） 上面用到了关系式, 厂

7、.(为 X2)2 4x1X2-| 和1 A1y y2, (y1 y?)2 4y°2|A|注意（2）求与弦长有关的三角形面积,往往先求弦长，再求这边上的高（点到直线的距离），但若三角形被过顶点的一条线段分成两个三角形，且线段的长度为定值，求面积一 般用分割法五、弦的中点坐标的求法y,得关于x-；（3）Ay yo。法（一）：（1）求出或设出直线与圆锥曲线方程；（2）联立两方程，消去的一元二次方程Ax2 Bx C 0,设A（ x1, y1）， B（x2, y2），由韦达定理求出x1 x2设中点M（Xo,yo），由中点坐标公式得Xo宁；再把x Xo代入直线方程求出法（二）：用点差法，设 A（

8、Xi, yi）， B（X2,y2），中点M （x°, y°），由点在曲线上，线段的中点坐标公式，过A、B两点斜率公式，列出5个方程，通过相减，代入等变形，求出xo, yo六、求离心率的常用方法：法一，分别求出a,c，再代入公式法二、建立a,b,c满足的关系，消去b,再化为关于e的方程，最后解方程求e （求e时, 要注意椭圆离心率取值范围是 O< e< 1,而双曲线离心率取值范围是 e> 1）例1 :设点P是圆x? / 4上的任一点，定点 D的坐标为（8， O），若点M满足uuurPMUULU一2MD .当点P在圆上运动时，求点M的轨迹方程.设点M的坐标为x

9、,y，点P的坐标为Xo,yoUUUD，由PMUUUL2MD，5210210B2PA2AH前中点,u02 cx22 x2 x2 a2 x2 a53（352)2y21(a b 0)b2 a2 c22322)(0)22仝162y- 162 22, b a0)2 2 104x2 216 3y 42即x1!y2 9，这就是动点M的轨迹方程.例 4._-因为点Px0,y。在圆x2 y2 4上，所以冷2 y。2 4 即3x由椭圆的定义可知：2a6所以所求的标准方程为解法2 Qc 2,a2 4，所以可设所求的方程为2池1,将点代人解得：a 10所以所求的标准方程为例3.即所求方程为4（1-I）2+9/-1高二

10、圆锥曲线练习题11、F1，F2是定点，且 尸丘|=6，动点M满足|MF1|+|MF2|=6，贝U M点的轨迹方程是（）例2:已知椭圆的两个焦点为（-2，0），（ 2,0 ）且过点（5,2|），求椭圆的标准方程a 10 又 c上有一点P.它到騎IB的左嶺点耳的距宪为乱求2此耳慎谢税.2x8x12 r=*12715 .帕 由辅圆肘定义.得|丹门十|蹈卜2口 =20.所以|P打 p “口厂|丹计亠|冋厂-|片/讦野-口IF I 只GQS dE PF、二J_-!-亠 三=亠 2x|PH|用 ；.=4线段解法1因为椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为（A）椭圆 （B） 直线 （C） 圆 （D）2、已

11、知ABC的周长是16, A 3,0） , B（3,0）,则动点的轨迹方程是（）16 1(B)252i(y 0)(C)162y252社 1(y 0)3、已知椭圆的长轴长是短轴长的 2倍，则椭圆的离心率等于（ ）A.4、设椭圆G的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，贝U曲线C2的标准方程为（）A.2 2x y 12 22 2B . x2 y212 2C . x2y212 xD .22y2 1431353413125、2设双曲线笃21 a 0的渐近线方程为3x 2y 0，则a的值为（).a9(A) 4(B) 3(C) 2(D) 16

12、、双曲线2x2y28的实轴长是（)(A) 2(B) 2 、2(C) 4(D) 4、2227、双曲线乡沪1的焦点到渐近线的距离为（）A. 2,3B . 2C.D . 12 2&以双曲线- 匕1的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（）9162 2 2 2A. x y 10x 90B. x y 10x 1602 2 2 2C. x y 10x 160D. x y 10x 902 29、过椭圆 笃每=1 （a> b>0）的左焦点R作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若 a bF1 PF260°，则椭圆的离心率为（）A 2 b .C .丄 D .-232310.

13、m n 0 ”是“方程mx2ny21 ”表示焦点在y轴上的椭圆的（A）充分而不必要条件（C）充要条件（D）（B）必要而不充分条件既不充分也不必要条件11、写出满足下列条件的椭圆的标准方程:（1）长轴与短轴的和为18，焦距为6;. 焦点坐标为（.3,0）, （.3,0）,并且经过点（2，1）;.（3）椭圆的两个顶点坐标分别为（3,0） , （3,0）,且短轴是长轴的-;3离心率为子，经过点（2，。）；212、与椭圆y 1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是：4213、 在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点F2在x轴上，离心率为一 过2F1的直线I交C于代B两点，且 ABF2的周长

14、为16,那么C的方程为：2 214、已知 F2为椭圆乞1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若259F2A F2B 12，则 |AB .2x15、已知F1、F2是椭圆C:飞ab2umrK a b 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1unmPF2，若厶PF1F2的面积是9，则b16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P （ 4，,3 ），Q （ 2.一2,3 ）两点的椭圆方 程。圆锥曲线练习题21. 抛物线y210x的焦点到准线的距离是（）515A.B . 5 C . D . 10222. 若抛物线y2 8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（）。A. (7,B . (1

15、4,、忆)C . (7, 2 帀)D . ( 7, 2 . 14)23.以椭圆x_1691的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程（2 2a. x_116482 2 2x- L 1或乞164892 2B . £L1 C.9272x1 D .以上都不对274.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆x2 y2 2x 6y 90的圆心的抛物线的方程是A. y3x2 或 y3x2 B . y3x2C.y29x或y3x2 D . y3x2 或 y2 9x5若抛物线y2 x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，贝U点P的坐标为(A.6.椭圆xy_1上一点P与椭圆的两个焦点4924A .20B .22

16、 C .28 D . 247.若点A的坐标为(3,2),F是抛物线y:222x的焦点，点M最小值的M的坐标为)F1、F2的连线互相垂直，则厶PF1F2的面积为在抛物线上移动时，使MF( )MA取得(4乎)B .(8，乎)C . (£乎)D .(8,手)4844484A.0,01,2 D .2,21共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是(2xA.29.若椭圆x22my1的离心率为'3 4，则它的长半轴长为210双曲线的渐近线方程为 x 2y0 ,焦距为10，这双曲线的方程为11 .抛物线y26x的准线方程为.12.椭圆5x2ky25的一个焦点是(0,2)，那么kX213 .椭圆

17、 一k 811的离心率为1，则k的值为9214 .双曲线8kx2 ky28的一个焦点为(0,3)，则k的值为_215 .若直线x y 2与抛物线y 4x交于A、B两点，则线段 AB的中点坐标是16. k为何值时，直线 y kx 2和曲线2x2 3y26有两个公共点？有一个公共点?没有公共点？17.在抛物线y 4x2上求一点，使这点到直线 y 4x 5的距离最短。2 218.双曲线与椭圆xy27361有相冋焦点，且经过点 (、15,4)，求其方程。2219设F“ F2是双曲线y1的两个焦点，点 P在双曲线上，且F1PF2 60916求厶F1PF2的面积。则M点的轨迹方程是(D )高二圆锥曲线练习

18、题1、Fi，F2是定点，且 尸冋=6，动点M满足|MFi|+|MF2|=6，(A)椭圆(B) 直线(C)圆 (D)线段2、已知ABC的周长是16,A( 3,0)，B(3,0),则动点的轨迹方程是2221(y 0)(C)补士1 (D)X1625163、已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于(2(A)252y_25D1(y0)A.-34、设椭圆G的离心率为三，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,贝U曲线C2的标准方程为（A ）x2iFx21325、设双曲线0的渐近线方程为3x2y则a的值为（C ）.(A) 4(B) 3(C)(D)6

19、、双曲线2x28的实轴长是（C ）(A) 2(B) 22(C)(D) 4.227、双曲线42乞=112的焦点到渐近线的距离为（A.2 3B22&以双曲线xy1916A.2 2x y10x90C.22x y10x160229、过椭圆x2y2=1ab2.260(a> b> 0)F1 PF2o的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是（A.10.2y 10x 16y210x 9则椭圆的离心率为_330 ”是“方程mx2(A)充分而不必要条件(C)充要条件解析：将方程mx22ny1转化为10,丄0,所以n的左焦点R作x轴的垂线交椭圆于点2ny(D)2x1m2y_1nm11、写出满

20、足下列条件的椭圆的标准方程:表示焦点在y轴上的椭圆的P,（B）必要而不充分条件F2为右焦点，若既不充分也不必要条件1,根据椭圆的定义，要使焦点在y轴上必须满足（1）长轴与短轴的和为18,焦距为6;）251616252仝1;81离心率为虫，经过点（2，0）;2y_16 焦点坐标为（,3,0）, （. 3,0）,并且经过点（2 , 1）; 椭圆的两个顶点坐标分别为（3,0） , （3,0）,且短轴是长轴的212、与椭圆9F1的直线I交C于代B两点，且ABF?的周长为16，那么C的方程为:2 2x y1)16 8 )2J 1有相同的焦点，且短轴长为2的椭圆方程是:413、在平面直角坐标系xOy中，椭

21、圆C的中心为原点，焦点F2在x轴上，离心率为丄2 故1为所求。 2015圆锥曲线练习题21.抛物线y210x的焦点到准线的距离是（ B ） 15A.B . 5 C . D . 102 过22214、已知F1, f2为椭圆25七1的两个焦点，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若F2A F2B 12，则 AB _8215、已知F、F2是椭圆C:笃ab2mr（a b 0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且PF1unuPF2，若厶PF1F2的面积是9，则b 3_.16、求心在原点，焦点在坐标轴上，且经过 P （ 4，.3 ），Q （ 2、2,3 ）两点的椭圆方程。2 2解：设椭圆方程为 务 告1，将P,

22、Q两点坐标代入，解得a2 20,b2 15 a b2若抛物线寸 8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为（C ）。A . (7,.14) B (14,、帀)C (7, 2、14) D ( 7, 2、. 14)3.x2以椭圆252y161的顶点为顶点,离心率为2的双曲线方程（4.2A.仝162C.x_162y482y48FF2是椭圆A. 72乞1272仝127.以上都不对1的两个焦点,A为椭圆上一点，且/AF1F2450，则 AF1F2的面积为7.525.以坐标轴为对称轴,以原点为顶点且过圆2x 6y 90的圆心的抛物线的方程是3x2 或 y3x2B . y3x2C.y29x或y3x2 D

23、 . y3x2或y2 9x6.若抛物线y2 x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，贝U点P的坐标为（B ）A.(441 V21 V2C. X D. E7.椭圆x24921上一点P与椭圆的两个焦点24F1、F2的连线互相垂直，则厶PF1F2的面积为A.20B . 22 C . 28 D . 248 .若点A的坐标为（3, 2） , F是抛物线y22x的焦点，点M在抛物线上移动时，使MFMA取得最小值的M的坐标为A.0,02,2x29.与椭圆一41共焦点且过点Q（2,1）的双曲线方程是（2b.丨 y22y-12若椭圆x1 2 my21的离心率为-，则它的长半轴长为21,或2双曲线的渐近线方程为 x 2y焦距为10，这双曲线的方程为2x20抛物线y26x的准线方程为.10.11.12.13.14.15.16.17.解:18.