圆锥曲线知识点总结绝对物超所值

1、圆锥曲线的方程与性质1椭圆1椭圆概念平面内与两个定点 F1、 的焦点，两焦点的距离椭圆的标准方程为:F2的距离的和等于常数 2c叫椭圆的焦距。假设2 2x ya b上。注：以上方程中2 2在务占a b母的大小。例如椭圆2a大于IRF2I的点的轨迹叫做椭圆。这两个定点叫做椭圆 M为椭圆上任意一点，0焦点在x轴上那么有 IMFJ IMF2I 2a。2 或爲a2x21 a b 0焦点在ba b 0,其中b2a,b的大小2 2yx_一 b2yn1和2a2x1两个方程中都有a2 20的条件，要分清焦点的位置，只要看x和y当m n时表示焦点在x轴上的椭圆；当 m的分m表示焦点在y轴上的椭圆。2椭圆的性质2

2、 x范围：由标准方程笃ay22 1知|x| a，|y| b，说明椭圆位于直线 x a，yb所围成的矩形里；b 对称性：在曲线方程里，假设以 y代替y方程不变，所以假设点 (x, y)在曲线上时，点(x, y)也在曲线 上，所以曲线关于x轴对称，同理，以x代替x方程不变，那么曲线关于y轴对称。假设同时以 x代替x， y 代替y方程也不变，那么曲线关于原点对称。x轴、y轴的交点坐标。在椭圆的标准方程中，令所以，椭圆关于x轴、y轴和原点对称。这时，坐标轴是椭圆的对称轴，原点是对称中心，椭圆的对称中心 叫椭圆的中心； 顶点：确定曲线在坐标系中的位置，常需要求出曲线与x 0，得y b，那么B1(0, b

3、)， B2(0,b)是椭圆与y轴的两个交点。同理令 y 0得xa，即A( a,0)，A(a,O)是椭圆与x轴的两个交点。所以，椭圆与坐标轴的交点有四个，这四个交点叫做椭圆的顶点。同时，线段 AA、B1B2分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。由椭圆的对称性知：椭圆的短轴端点到焦点的距离为a ；在Rt OB2F2中,| OB2 | b , |OF2 | c , | B2F2 | a，2 2 2 2 2 2且 IOF2 I I B2F21IOB2I，即 c a b ；c离心率：椭圆的焦距与长轴的比e叫椭圆的离心率。 a c 0 , 0 e 1，

4、且e越接近1, c就a越接近a，从而b就越小，对应的椭圆越扁；反之，e越接近于0, c就越接近于0，从而b越接近于a，这时椭圆越接近于圆。当且仅当a b时，c 0，两焦点重合，图形变为圆，方程为x2 y2 a2。2双曲线1双曲线的概念平面上与两点距离的差的绝对值为非零常数的动点轨迹是双曲线| PF1 | | PF2 | 2a。注意：式中是差的绝对值，在0 2a | F1F2 |条件下；|PF1 | | PF2 | 2a时为双曲线的一支； IPF2I IPF1I 2a时为双曲线的另一支含 F1的一支；当2a IF1F2I时，| PF11 IPF2II 2a表示两条射 线；当2a | F1F21时

5、，IIPRI IPF2II 2a不表示任何图形；两定点 斤丁2叫做双曲线的焦点，| RF? |叫做 焦距。椭圆双曲线定义IPF1I IPF2I 2a(2a |眄)IIPF1I IPF2II 2a(2a鬥)方程2 - 2X y 1孑丁 12 2X 驚1 歹孑12 - 2X y 12 2-y. X1T2 r1焦占八 '、八、F( c,0)F(0, c)F( c,0)F(0, c)注意：如何用方程确定焦点的位置！椭圆和双曲线比拟:2双曲线的性质2 X范围：从标准方程21，看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线 b2a即双曲线在两条直线 x a的外侧。x a的外侧。即对称性:2与 1关于每

6、个坐标轴和原点都是对称的，这时，坐标轴是双曲线的对称轴, b22是双曲线x_ax2双曲线笃a2爲 1的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心。b2原点顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点。在双曲线2X2a2爲 1的方程里，对称轴是b2x,y轴，所2x 以令y 0得x a，因此双曲线和x轴有两个交点 A ( a,0)A2(a,0)，他们是双曲线 a2 y b21的顶点。令x 0，没有实根，因此双曲线和 y轴没有交点。1注意：双曲线的顶点只有两个，这是与椭圆不同的椭圆有四个顶点 端点。2实轴：线段 A A2叫做双曲线的实轴，它的长等于 2a, a叫做双曲线的实半轴长。虚轴：线段B B?叫

7、做双曲线的虚轴，它的长等于，双曲线的顶点分别是实轴的两个2b,b叫做双曲线的虚半轴长。渐近线：注意到开课之初所画的矩形，矩形确定了两条对角线，这两条直线即称为双曲线的渐近线。从2 图上看，双曲线xa 等轴双曲线：2与 1的各支向外延伸时，与这两条直线逐渐接近。b21定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线。定义式：a b ；2等轴双曲线的性质：1渐近线方程为： y x ； 2渐近线互相垂直。注意以上几个性质与定义式彼此等价。亦即假设题目中出现上述其一，即可推知双曲线为等轴双曲线，同时 其他几个亦成立。3注意到等轴双曲线的特征 轴，当0时焦点在y轴上。2 2 注意.J169轴也变了。3.抛物线

8、 1抛物线的概念 平面内与一定点 抛物线的焦点，定直线x216方程y22 px22b，那么等轴双曲线可以设为：x y (0)，当0时交点在x1的区别：三个量a,b, c中a,b不同互换c一样，还有焦点所在的坐标F和一条定直线I叫做抛物线的准线。I的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线I上)。定点F叫做p 0叫做抛物线的标准方程。注意：它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上，焦点坐标是F卫，0它的准线方程是x 卫;2 22抛物线的性质一条抛物线，由于它在坐标系的位置不同，方程也不同，有四种不同的情况，所以抛物线的标准方程还有其他几种形式：y22px，x2 2py，x22py.这四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如F表:标准方程y2 2px(p 0)y22px(p 0)x2 2py(p 0)x22py(p 0)图形卫*TP?焦点坐标(匕0)2（子,0）（0，£）2(0, £2准线方程xE2x卫2pyy 范围x 0x 0y 0y 0对称性x轴x轴y轴y轴