电磁学第四磁场

1、第四章稳恒磁场§1磁的基本现象和基本规律§2载流回路的磁场§3磁场的定理磁矢量§4磁场对载流导线的作用§5带电粒子在磁场中的运动§6*电磁场的相对论变换§4.1磁的基本现象及规律»磁相互作用现象ISN SNSNII地球本身是一个大磁体，它的N极位于地理南极附近，S极位于地理北极附近地理北极S1.1 磁的库仑定律与电荷类比qm1-qm2qm21qm1qm2F =4pmr 20m0 = 4p ´ 10-7N/A2真空磁导率相应的静磁场有ò Hdl = 0磁偶极子磁矢势引进磁场强度 H的概念v F q

2、m0H =vpm = qml引进磁势Umvpm × r1H = -ÑUU=mm4pmr 20磁偶极子在外磁场中受到的力矩vL =pm ´ H1819-1820年丹麦科学家发现电生磁场效应现已知磁铁与磁铁，磁铁与电流之间的相互作用都是通过磁场进行的磁铁电流磁铁电流1820年磁针的一跳电流的磁效应实验法国物理学家迅速行动安培萨伐尔拉斯从磁针的一跳到对磁现象的系统认识只用半年时间说明科学家的锲而不舍的精神19 世纪杰出的法国科学家安培提出了环流假定组成磁铁的最小单元（磁就是环形电流。若这样一些）环流定向地排列起来，在宏观上就会显示出N、S极来电流电流1.3安培定律（实验

3、总结规律）I dl11vI dl22r12vAqm为真空中的磁导率。0附注：矢量的矢积规则：B=A´ BC大小为：C = AB sinq方向与AB所的平面垂直，并满足右手定则。矢量运算vvvva × b = b × a = ab cosq(1)vvvvva ´ b = ab sinq × en= -b ´ a(2)venvvvvvvvvva × (b ´ c ) = b × (c ´ a) = c × (a ´ b )(3)vvvvv va ´ (b ´

4、c ) = b(a × c ) - c(a × b)(4)v i vvvvvvvvvvvvvk ´ i = jv k i ´ j = kk ´ j = -ij ´ k = i例题1：求一对平行电流元间的相互作用力，二者都与连线垂直。I dl11I dl22= mI I dl dl dF = dFr012124pr21221dFdF方向如图示2112例题2：求一对垂直电流元间的相互作用力，其中电流元1沿联线，电流元2垂直于联线。I dlI dlrdF= 01122m12I I dl dldF = 0 4p 1212 r 221dF21第

5、三定律不满足！1.4电流安培I dlI dlmI I dl dl1122r 0 1212= dF21 =dF124p2rdFdF21124pm0r 2dF2dFr= 107I 2 1212dl1 dl2 1212dl1 dl2r122-7dF12 = 10/ C ( N )= C >> 1若:dl dl12则§4.2磁感应强度矢量-萨伐尔定律两电流元之间的相互作用是通过磁场进行的！pv电流元在空间 p 处产生的磁场：dB1 (r )vI1dl1r磁感应强度？1T = 1N /( A × m)1T = 104Gs则安培定律可写为：vvm04pvI 2dl2

6、80; (I1dl1 ´ r12 ) =dF12 =I 2dl2 ´ dB12r212dF12 = q2 E1与静电场比较？例：载流螺线管磁感应线的分布：SNSN1、磁场在管内外的方向；2、磁感应线密度（场强）的分布？Idl2.3载流回路的磁场实例：直线电流的磁场的求解。vqIdl ´ vm Idl sinqvmròLr4p ò B =B = o4pr 2 0 r 2因为各电流元产生的磁场方向相同，磁场方向垂直纸B面向里所以只求标量Ql = -r cosqQ ro = r sin q。磁场方向垂直纸面向里。rol = -r ctgqo dl =

7、 r dq / sin2 qomo I × rodq × sinqmo I4proBq 2òLòqsinq × dqB =4p sinq × ro2q22/ sin1mo II(cos q- cosq )=4pr12m Iq= 0oB = o2pro1q= p22.4载线圈轴线上的磁场Br0d电流 I 、半径 R 、场点 r0.m04pIdl sinqr 2dB =q = p, sinq = 1,r = r sina0m02RR2 IB = ò dB cosa =I2 )3/ 2( R2 + r20m0I1、圆心处：B =2

8、RmR2 I2、轴上远处：B = 0 2 r 33、其他地方？Bra例题4：一对相同、共轴、半径为 R、相距为 a 、载流各为 I 的圆线圈,（1）求轴线上的磁场分布；（2）a 多大时两线圈间轴线中点O 处附近的磁场最均匀？1、轴线上的磁场分布：mR2 IB = 0 2 R2 + (x + a / 2)2 3/ 2R2 II+ m0aO2 R2 + (x - a / 2)2 3/ 22、O 处磁场均匀时：RId 2 B= 0从而得：dx 2x =0a = R 载流螺线管中的磁场管长 L，半径 R，电流 I ，长度匝数 n。mR2 IndldB = 0 R2 + ( x - l )2 3/ 22

9、·m R2 InL / 2dlò B =02 3/ 22R + ( x - l )2- L / 2B = m0nI (cos b - cos b )122m0 nI1、无限长管： B = m2、长管： B =nI023、无限长管内非轴线处场强？ 4、无限长管外场强？§4.3安培环路定理3.1载流线圈与磁偶极层的等价性vm0 I14pdl1 ´ r12vòB(r2 ) =I1r 212L1vvv= r2- r1r121vvm0 I(dl1 ´ r12 ) × dl2vòB(r2 ) × dl2 =vr4pr

10、 2112L1= m0 I(dl2 ´ dl1 ) × r12òL1v4pr 2r·o212vvm0 I4pm0 I4pm0 I4p(-dl2 ´ dl1 ) × r12vòL1ò dwwB(r2 ) × (-dl2 ) = -= -r 212L1- W'W + (-W ' ) + w = 0W '-W = wW ( x, y, z) = W ( x , y , z ) + ( ¶W )dx + ( ¶W )dy + ( ¶W )dz + O(dl 2

11、 )000¶x¶y¶zvW ( x, y, z) = W ( x , y , z ) + dl × ÑW + O(dl )2000vdlvvv= dxi + dyj + dzkvvvm IW '-W = w = dl2 × ÑWdl2 × ÑWB × dl2 =04pvw = W '-W = dW = dl2 × ÑW3.2 安培环路定理的表述和证明安培环路定理表述如下:磁感应强度沿任何闭合环路L的线，等于穿过这环路所有电流的代数和的0倍vdW = dl2 &

12、#215; ÑWvvvvvvP2P2ò B × dl =LòòB × dl +B × dlPP1L2 1L1vvvmmm0 I4pPIPIPòòò222ÑW × dl =W =(W 2 - W1 )B × dl =00d4p4pP1P1P1L1L1L1= m0 I 4p = m IvvPò2B × dl04pP1L1vvP2òB × dl = 0P1L2补充4.3磁场强度B是轴矢量极矢量平行镜面矢量不变垂直镜面矢量变号轴矢量平

13、行镜面矢量变号垂直镜面矢量不变两个极矢量叉乘是轴矢量vva ´ b = c 安培环路定理的应用举例例题1：截面的无限长直导线的磁场分布，设导线的半径为 R ,电流 I 均匀地通过横截面vvåIRòLr > R,B ×dl = B × 2pr = m0'Iå I '= IB(r)m0 I2prB =rR IpR2å I 'B = pr 2 j = pr 2m0rI2pR2r < R,例题2：求密绕螺绕环的磁场分布。环的平均半径为 R ,总砸数为 N ,通过的电流为 I 。环内部：ò

14、 B × dl = 2pRB = m0 NIvvLm NI= m nIB =02pR01、环外部空间的磁场？为什么？2、如果不是密绕，但保持对称， 则内、外部空间的磁场？§4磁场的定理和磁矢势一、磁通量的定义及计算：dF B = B × dS = BcosqdSvv= ò B × dSF BS： 1Wb = 1T ´ 1m2S二、定理vBB即通过任意闭合曲面的磁通量为 0,如何理解？例：长螺线管，带电环轴线上某点的磁场强度为求：x=0处磁场强度B的径向分量。mR2 IndxdB =图中x = l 0 + x2 )3 / 22 ( R2

15、x = R cot b ; dx = - R csc2 bdb ;+ x 2 = R2 csc2 b ; dB = - m0nI sin bdbR220m0XnI (cos b 2 - cos b1 )B =2xxcos b= -1;cos b=12R2+ x 2vòò B × dS = 0B = m0nI (x+ 1)2R2+ x 2B/ ( x + Dx)S - B/ ( x)S - B 2p rdx = 0B/ ( x) = B( x)作近似：dxS B( x + Dx) - B( x) = B 2p rrdxp r 2 dB( x)= Bx=0r2p rd

16、x= m0 nIroxB4R补充：磁矢势运用磁场的“磁矢势òò B × dS = 0定理”更根本的意义在于能引入另一个矢量vA(r, t )rròò B × dS =òò B × dS -òò B × dS = 0S1òò B × dS =òò B × dSS2S1S2既然通过曲面S 的磁通量仅由它的边界线L 所决定，我们就可能找到一个矢量A ，它沿L 作线公式等于通过S 的磁通量:公式rrrrò A &#

17、215; dl = òò B × dSSò A × dl = òò B × dS = òò Ñ ´ A × dSSS规范变换f (r, t ) 为任意可微函数，这样可以对A的选取有任意性。电流元的矢势可取为图示z方向mIdla( P ) = 014pr0有推导上式1磁矢位A 的引出Ñ × B = 0 ®Ñ × (Ñ ´ A) º 0 ®B = Ñ ´ A习题

18、称磁矢位，上式： wb/m（A/米）。磁矢位 A2的边值BÑ × B = 0 ® B = Ñ ´ AÑ ´ (Ñ ´ A) = Ñ(Ñ × A) - Ñ2 A = mJÑ´ H = J ® Ñ´ B = JÑ × A = 0库仑规范mvvvB = m H0 åòLòò0 òò= m(Ñ´ B) × dS =

19、mB ×dlI =J × dS'Ñ2 A = -mJ (泊松方程)当 J=0Ñ2 A = 0 时(拉斯方程)库仑规范矢量磁位的定义式 B = Ñ´ A 只规定了A的要唯一地确定A，必须给定它的散度。库仑规范是一个很自然的选择：Ñ× A = 0 选择不同的规范，得到的A是不同的，但是通常说来，我们关心的是B；A只是一个辅助量。设若另， A¢ = A + Ñf 。有规范不变性并且仍然有f ( x, y) = xy例如：= ¶f v + ¶fvv=+vÑf

20、2;x i¶yjyixj恒等式v+vvv+= ( ¶¶¶yÑ ´ Ñfj ) ´ ( yixj )¶x iÑ ´ Ñf=0v´v+v´v+vv´+v´v¶¶¶¶=¶x iyi¶x ixjjyijxj¶y¶y练习证明= ¶y vv¶x vv¶y vvvv¶xùúé¶x i 

21、0; i + ¶x i ´ j + ¶y j ´ i + ¶y j ´ jij¶ y¶ y fk¶ zêÑ ´ Ñf = ê ¶ xúvvvvêë¶ xf úû¶ zf= i ´ j + j ´ i= 0回顾静电场：特解j |= 0R®¥Ñ A = -m 2J xxÑ2 A = -mJ = -m Ñ A 2J

22、 yy萨伐尔定律I故v萨伐尔定律eJv´0vv mJR4p òB =dS × dlR2vvvvv m0m0JeJ ´ RIdl ´ Rv4p ò4p ò=dS × dle=JR2R2m0 IrB(r) =m I2pR2B(r) =02prm Il drò A × dl = Apl - AQ l = òò B × dS = òòB(r)ldr=02pr(b)(a')注意：L 的通量面的方向例题11.无限长密绕螺线管半径为R，长度内的匝数为n

23、，单匝电流为I，求：磁矢量vvvv解：A矢量是绕磁通行走ò A × dl= òò B × dSr < R内部= pr 2m0nI = rm0nIA2pr2外部r > RpR2m0nI2prm0nIR2A =2r补充： 运动点电荷产生的磁场I = nqvS´ v´ vvmmIdlr(nqvS )dlrdB = 0 4p04pr3r3补充：单个粒子中磁场中受力由安培定律vvm04pvI 2dl2 ´ (I1dl1 ´ r12 ) =´ dB12dF12I 2dl2r212I2 = qvn

24、Sr ´= qvnSdl´ dB=dFqNvdB1212212vdF12r= qv ´ dB12f12N+ B例如：电子绕原子核运动产生的磁场和磁矩quv ´ vvmr0menB = o ×B = 0 4pr 22r等效电流的磁场计算，对于带电粒子作圆周运动I = en = eu等效电流2pr磁矩np= IS = 1 eur-时间内粒子通过某截面的次数m2mur = gL（或转速：转/秒）e=磁矩在磁场中的能量2m§5.磁场对载流导线的作用l 两平行无限长导线I1I2两导线相距为 a , 通电分别为 I和 I12根据安培环路定理可得：

25、m0 I1( 2)2pa=B1( 2)av´vdF12= m0vdB12I2dl2 ´( I1dl1 ´ r12 ) =I2dl24pr 212长度为 dl 的一段导线所受作用力：= m0 I1 I2dFdl方向？12( 21)2pa2(1)® ¥F12( 21)无限长导线受力： 矩形载流线圈在均匀磁场中所受力矩1、任意载流线圈方向定义：2、载流矩形线圈各边所受之：= aIB sin( p -q )FAB2= aIB sin( p + q )FCD2FAB= FCD , 方向相反！= FDA = bIB, 方向相反！FBC3、线圈所受力矩：FA

26、B和FCD作用线一致，不产生力矩。FBC和FDA产生的合力矩,L = a sin q (F+ F) = abIB sin qBCDA2qv=v ´ vLIS (nB)考虑到方向：l 均匀磁场中的任意载流平面线圈vvvL = IS (n ´ B)L = m ´ Bm = ISnv或：(a)vvm称线圈的磁矩！式（a）的证明：vvn B情形下的证明,仅给出dF1= Idl1B sinq1xn= Idl B sinqdF222因为：dl1 sinq1 = dl2 sinq2= dh则：dF1 = dF2= IBdhdL = dF1 x1 + dF2 x2 = IBdSL

27、 = ådL = IBS方向相反！v若 n 不垂直于B，如何证明？ 磁矩与电偶极矩的比较v ´ Ev ´ B= mLpL电磁补充：磁力的功a¢a可以证明: 一个任意的闭合载流回路,在磁场中改变位置或形状时,磁力或磁力矩所作的功为:dBlb¢cb：W = FDx = IlBDx = IBDS = IDF上述结论的适用条件是闭合载流回路。问:磁力真的能做功吗?dW = dF1 x1df + dF2 x2df = S i IBdhdyirdW = S IBdhdy= IDFiir ×dW =Id (S × B) =d (m B)d

28、fdy1dfB 直流电以单匝线圈为例：工作原理111222I = 0为何要把电流反向？ 电流计工作原理线圈所受力矩：L = NISB sin q此处：q º p / 2, sin q º 1L = NISB故：游丝弹性恢复力矩：= -DqL'平衡时：L + L'= 0= NISB µ Iq0DD为扭转系数。§6带电粒子在磁场中的运动1、留意粒子带负电时受力方向！2、不作功！方向例题2：滤速器工作原理。1、磁场方向？2、通过小电子速率：v ´F= -evBF= -eEBEEv =F= FBEB与安培力的选长电导线，则：v 

29、0;F = -enSDl(uB)（）LFA = IDl ´ B（安培力1、方向是否一致？2、大小是否一样？I = dq = ?dtdq = endV = en(Sudt)= FA！I = enuS故： FL安培力的实质是 均匀磁场中带电粒子的运动轨迹v 粒子初速v垂直于 B粒子做匀速圆周运动：v2F = qvB = mRR =mv轨道半径：qB= 2pR= 2pm运动周期：TvqBqB2pmf = 1/ T=回旋共振频率：注意:其频率(或周期)与半径和速率无关!Bv 与成任意夹角v可把分解为：v = v sin q , v/ = v cosqv仅对作用力有贡献！其运动轨迹为一条螺旋线

30、。2pmv /h = vT =螺距：/qB磁聚焦现象：= v cosq= v sinq» v» vq若粒子束满足： v/v2pmvh =则：qB 电子荷质比的测量R = mv根据：eBvem=则：RB测出 vR和，可得荷质比，装置如图示。BE调整和，使电子流无偏转，则v = EeE = evB切断电场，可测出：B将在磁场范围内沿圆弧运动，得Eev=RO'由仪器读数即点确定。RB 2mRB磁聚焦法2pmv根据： h =eB2pve=则：mhB测量装置如图示。在 A 和 K 间加电压 U , C 上加弱交变电场， C 后加磁场 B .2eU则： 1 mv 2v = eU

31、m28p2Ue=h = l又：得：ml 2 B2相对论效应的影响m0m =物体运动时：v21 -c2em故测量到的将依赖于粒子的速率。 e = e 1但不依赖于粒子速率。m0mv2 c21 -vce (1011 库仑/ 千克）me (1011 库仑/ 千克）m00.31730.37870.42810.51540.68701.6611.6301.5901.5111.2831.7521.7611.7601.7631.767回旋基本原理基本依据：f 或 T 与粒子速率无关！粒子每运动半周期：T = pm2qB通过缝隙一次，并被交变电场！后，回旋半径 r随之变大：mvRBqr =U=vMqBm如何受相

32、对论效应影响？效应= K IBU实验表明：AA'dK 称系数。如何理解？K 与什么有关？载流子受电、磁场力平衡时：U'= quBqAA bI = qnSu = qnbdu又：I1 IBu =或：U从而：qnbd1AA'nqd得：K =测定 K 可半导体的导电类型！nq§6电场和磁场的统一性与相对性有磁场！怎么没磁场了！请同学们思考以上的看一个特例，为什么 ？把一个检验电荷+q放在通有电流I 的旁边，以速度u平行导线运动，如图，看此电荷受力情况。+q受到磁场力F = quB = qu m0 I2prl = gl1g =SI = 2lu这里01-u 2 / c2在

33、粒子参照系再来看这个u m uu±=1m uu / c21-u/ c2l± = l2±0± q= q±l= ±g l=u 2±±0u2l1 - u/ c22l(1-)(1-)±u= 1- ( u ±u2±0c2c21-/ c2 =±)21± uu(1± uu )2c2c2c21m uu / c21g ± =1-u± / c2(1- u2 / c2 )(1-u 2 / c2 )- 2l uu / c2ltot= l+ + l- = l0 (g + - g - ) = 0(1- u2 / c2 )(1-u 2 / c2 )=- 2luu(1- u2 / c2 )c2ltotal2pe 0rE =回到原来参照系/ c2 F ' = - lu ×