二次函数的图像与性质知识点及练习

1、1. 能够利用描点法做出函数 y= ax2, y=a（x-hf, y= a（x-h）2+k 和y根据图象认识和理解二次函数的性质；2.理解二次函数y ax2bx c中 a、b、c 对函数图象的影响。、二次函数y ax2bx c图象的画法五点绘图法：禾U用配方法将二次函数 y ax2bx c 化为顶点式 y 方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧， 左右对称地描点画图 顶点、与y轴的交点 0, c、以及 0 , c 关于对称轴对称的点 2h ,X2, 0 （若与x轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x轴的交点，与 艸$由的交点.例 1.在同

2、一平面坐标系中分别画出二次函数y= x2,y = -x2,y= 2y= 2 (x-1)2的图像。、二次函数的基本形式a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上(0, 0)y轴x 0 时，y随x的增大而增大；x 0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y有最小值 0 .向下(0, 0)y轴x 0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y随x的增大而增大；x 0 时，y有最大值 0 .1.y= ax2的性质：2.y= ax2+ k的性质：（k上加下减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上(0, k)y 轴x 0 时，y随x的增大而增大；x 0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y

3、有最小值 k.向下(0, k)y轴x 0 时，y随x的增大而减小；x 0 时，y随x的增大而增大；x 0 时，y有最大值 k.3.y= a （x- h）2的性质：（h左加右减）a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）次函数的图像与性质ax2bxc图2a（x h）k，确定其开口一般我们选取的五点为：c、与x轴的交点 X, , 0，向上（h，0）直线x=hx h 时，y随x的增大而增大；x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y有最小值 0 向下（h，0）直线x=hx h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，y有最大值 0 4.y= a （x h）2+ k的

4、性质:a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上（h，k）直线x=hx h 时，y随x的增大而增大；x h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y有最小值 k 向下（h，k）直线x=hx h 时，y随x的增大而减小；x h 时，y随x的增大而增大；x h 时，y有最大值 k 5.y= axbx+c的性质:a的符号开口方 向顶点坐标对称轴性质（增减性）向上直线bx2ax 时，y随x的增大而增大； 2ax 时，y随x的增大而减小； 2ab4ac b2x 时，y有最小值-2a4a向下直线bx2ax 时，y随x的增大而减小； 2ax 时，y随x的增大而增大； 2a2x 时，y有最大值4ac b

5、2a4a.、二次函数图象的平移1.平移步骤：方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式y ax h2k，确定其顶点坐标h , k;保持抛物线y ax2的形状不变，将其顶点平移到h, k处，具体平移方法如下：2.平移规律在原有函数的基础上h值正右移，负左移；k值正上移，负下移”概括成八个字 “左加右减，上加下减”方法二：y ax2bx c沿 y 轴平移:向上(下)平移m个单位，y ax2bx c变成2.”2yaxbxc m(或y ax bx c m)y ax2bx c沿 x 轴平移：向左(右)平移m个单位，y ax2bx c变成ya(xm)2b(x m) c(或y a(x m)2b(x m) c)四、

6、二次函数y a x h2k与y ax2bx c的比较从解析式上看，y a x h $ k与y ax2bx c是两种不同的表达形式，后者通过配2 2 2方可以得到前者，即y a x卫4a，其中h卫，k色.2a4a2a4a六、二次函数图象的对称二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达1. 关于x轴对称y ax2bx c关于x轴对称后，得到的解析式是yax2bx c;y a x h $ k关于x轴对称后，得到的解析式是y a x k;2. 关于y轴对称y ax2bx c关于y轴对称后，得到的解析式是y ax2bx c;22ya x hk关于y轴对称后，得到的解析式是ya xh k;

7、3. 关于原点对称yax2bxc关于原点对称后，得到的解析式是yax2bx c;22y a x hk关于原点对称后，得到的解析式是y a x h k;根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a永远不变.例 1、抛物线y= 2x2+ 6x 1y=2x2+ 6x 1对称轴顶点坐标开口方向位置增减性最值例 2、已知直线 y= 2x+ 3 与抛物线 y=a 只相交于 A、B 两点，且 A 点坐标为(3, m).(1) 求 a、m 的值；(2) 求抛物线的表达式及其对称轴和顶点坐标；(3) x 取何值时，二次函数 y=af 中的 y 随 x 的增大而减小；(4) 求 A

8、、B 两点及二次函数y=aX的顶点构成的三角形的面积.例 3、求符合下列条件的抛物线 y=af 的表达式：(1) y=ax2经过(1, 2)；C1 c(2) y=a与 y=x2的开口大小相等，开口方向相反；1(3) y=a*与直线 y=2x+ 3 交于点(2, m).例 4、试写出抛物线 y=3x2经过下列平移后得到的抛物线的解析式并写出对称轴和顶点 坐标。(1)右移 2 个单位；(2)左移 I 个单位；(3)先左移 1 个单位，再右移 4 个单位。例 5、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得图象 的解析式是 y=x2 3x+5，试求 b、c

9、的值。训练题：1. 抛物线 y= 4x24 的开口向_ ，当 x=_时，y 有最_ 值，y=_.22._当 m=时，y= (m 1) xm m 3m 是关于 x 的二次函数.3. 抛物线 y= 3x2上两点 A (x， 27)，B (2，y)，则 x=_ ，y=_ .24._当 m=_时，抛物线y= (m + 1) xm m+ 9 开口向下，对称轴是 _.在对称轴左侧，y 随 x 的增大而_ ;在对称轴右侧，y 随 x 的增大而_.5. 抛物线 yrSx2与直线 y=kx+ 3 的交点为(2，b)，贝Uk=_，b=_ .6._ 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为 y 轴，且经过点（一 1, 2）

10、,则抛物线的表达 式为_ .7. 在同一坐标系中，图象与 y=2的图象关于 x 轴对称的是（）1 1A. y=2x2B. y=，x2C. y=2X2D. y= x28.抛物线，y=4, y=2的图象，开口最大的是（）1A. y=4x2B. y=4”C. y= 2x2D.无法确定1 1一9.对于抛物线 yx2和 y=3x2在同一坐标系里的位置，下列说法错误的是（）A.两条抛物线关于 x 轴对称B.两条抛物线关于原点对称13.抛物线 y=2x2向左平移 1 个单位，再向下平移3 个单位，得到的抛物线表达式为_ .14. 若二次函数 y=3+mx 3 的对称轴是直线 x= 1,贝Um =_ 。15.

11、 当 n=_, m =_ 时，函数 y= （m+ n）xn+ （m n）x 的图象是抛物线，且其顶点在原点，此抛物线的开口 _ .16. 已知二次函数 yx2 2ax+2a+3 当 a=_ 时，该函数 y 的最小值为 0.17. 二次函数 y=3 6x+5，当 x1 时，y 随 x 的增大而_;当 x1 时，y 随 x的增大而_ ;当 x=1 时，函数有最_ 值是_。18. 如果将抛物线 y=2f1 的图象向右平移 3 个单位，所得到的抛物线的关系式为_ 。19. 将抛物线 y二af+bx+c 向上平移 1 个单位，再向右平移 1 个单位，得到 yx24x 1贝Ua=_ , b=_, c =2

12、0. 将抛物线 y 二 ax2向右平移 2 个单位，再向上平移 3 个单位，移动后的抛物线经过点C.两条抛物线关于 y 轴对称D.两条抛物线的交点为原点10.二次函数 y二af 与一次函数 y=ax+ a 在同一坐标系中的图象大致为（）11. 已知函数 y=aW 的图象与直线 y= x+4 在第一象限内的交点和它与直线象限内的交点相同，贝 Ua 的值为（y=x 在第一A. 4B. 2C.112.已知二次函数 y=4y随 x 的增大而减小.x2 jx + 6, 当 x=日寸,y最小二；当时,（3 , 1），那么移动后的抛物线的关系式为_._21._右图是二次函数 y1二a+bx+c 和一次函数 y2=mx+n 的图像，？观察图像写出 y2y1时，x 的取值范围.22、函数 y二af 工 0）的图像与直线 y=-2x-3 交于点（1,b ）（1）求 a 和 b 的