(完整word)中国人民大学2016-2017学年第2学期高等数学A期末考试试卷

1、中国人民大学高等数学 A期末考试试卷考试科目：高等数学A考试时间：120 分钟年级专业20162017学年第2学期考试类型：(闭卷)考试学号 姓名题号一一二四总分得分评阅人得分、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)1 .二元函数z ln(y2 2x 1)的定义域为。rrrrr rr2 .设向量 a(2,1,2), b(4, 1,10), cba,且 ac,则 3 .经过(4,0, 2)和(5,1,7)且平行于x轴的平面方程为 。4 .设 u xyz,贝U du c 15 .级数 (1)n=r，当p满足条件时级数条件收敛pn 1 n得分、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分

2、)B22 xy Ce1 .微分方程2(xy x)y' y的通解是A. y Ce2x152.3.C. y2e2y Cx求极限lim(x,y)(0,0)D.e2 y Cxy2 ： xy 4xyC.直线L:x3z和平面7:3x2y 7z 8 0的位置关系是A .直线L平行于平面B.直线L在平面上D .直线L与平面b2,贝 1 6_yd D3、C 433、a ) C. y (b a )斜交( )D. (b3 a3)2( )C.直线L垂直于平面4 . D 是闭区域( x, y) | a2x2y2A.(b3 a3)B. (b3235 .下列级数收敛的是A.1n 1 (n 1)(n 4)B.1 nn

3、 1 n2 1C.n 1 2n 1D.1n 1 3 n(n 1)得分三、计算题(本大题共7小题，每小题7分，共49分)1.求微分方程y' y ex满足初始条件x 0, y 2的特解。2.计算二重积分 Wdxdy ,其中Dd x y ,222)(x, y) x y 1, x y1。3.设 z z(x, y)为方程 2sin( x 2y 3z)x 4y 3z确定的隐函数,a2(x 0, y 0),逆时针方4 .求曲线积分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2 y2L向。5 .计算y5x2pdxdy ,其中D是由y 3/x , x 1及y 1所围成的区域D6 .判断级数 1心 4的敛

4、散性，并指出是条件收敛还是绝对收敛 n i n 1、. n7.将函数(1 x)(2 x)展开成x的幕级数，并求其成立的区间。得分四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1 .抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与 最短距离。n n2 .求幕级数(1) 的和函数n i (n 1)!3 .设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0) 1, g(0) 0, L为平面上任意简 单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知?L xydx yf(x) g(x)dy yg(x)d ,D求 f (x)和 g(x)。参考答案、填空题（本大题共5小题，每小

5、题3分，共15分）1. (x,y)|y2 2x 1 0 2. 33. 9y z 2 0 4. yzxyz 1dx zxyzlnxdy yxyz In xdz 5. 0 p 1 二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1. C 2. C 3. C 4. B 5. A三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分）1 .求微分方程y' y ex满足初始条件x 0, y 2的特解。解：先求y' y 0的通解，得y C1e x 2分采用常数变易法，设y h(x)e x,得y' h'(x)ex h(x)e x3分代入原方程得 h'(x)ex h(x

6、)e x h(x)e x ex 4分得 h(x) e2x C 5分2故通解为y 1ex Ce x 6分2将初始条件x 0,y 2带入得C 3,故特解为y1ex-ex7分2222 .计算二重积分-xyydxdy ,其中 D ( x, y):x2 y21, xy 1。d x y解：设 x r cos , y r sin 1 分一1八贝 0， r 1 3分2 sin cosx y , ,2 , 1 r cos r sin所以(dxdy2 d 12rdr 5分02 (sincos 1)d 6分D x y° sin cosr3 .设z z(x, y)为方程2sin( x 2y 3z) x 4y

7、 3z确定的隐函数，求解：设 F(x, y,z)x 4y 3z 2sin(x 2y 3z)Fx 1 2cos( x 2y 3z), Fy4 4cos( x 2y 3z),Fz 3 6cos(x 2y 3z)Fy4cos(x 2y 3z) 4Fz 31 2cos(x 2 y 3z)zFx2cos(x 2y 3z) 1z,xFz31 2cos(x 2y 3z)y所以4 .求曲线积分(x y)dx (x y)dy ,其中L沿x2 y2 a2(x 0, y 0),逆时针L方向。解：圆的参数方程为：x acost, y asint (0 t ) 1分(x y)dx (x y)dyo2 (acost as

8、int)dacost02 (acost asint)dasint3 分La2 02 (cos2t sin 2t)dt 4分2a万sin 2tcos2t(22八a 7分(本题也可以利用“曲线积分与路径无关”来解)5 .计算 y/1 x2y6dxdy ,其中D是由y 3/x , x 1及y 1所围成的区域 D解：D (x, y) 13/x y 1, 1 x 1 1分y/1 x2pdxdydx 375 71 xpdy 2分13 xD12 13 _.6 3 1(1 x y ) 3/xdx 4分19291.6131(|x|3 1)dx130(x 1)dx6.判断级数(1)nn解:(1)nnn 1二的敛散

9、性，并指出是条件收敛还是绝对收敛。 n1：.n(n )所以级数发散。 又(1)nnn 1(1)n(1)n1,n (n 1). n显然，交错级数(/ 都收敛,所以原级数收敛。因此是条件 n 1 (n 1). n收敛。7.将函数1展开成x的幕级数，并求其成立的区间。(1 x)(2 x)解：一 (11 x)(2 x) 121 ”.2(|x| 2)所以二1-L ；1 " L (1 -1T)xn 6 分n 02成立范围|x| 1 7分 四、解答题(本大题共3小题，每小题7分，共21分)1.抛物面z x2 y2被平面x y z 1截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最 短距离。解：设椭圆上任一点P

10、的坐标为P(x, y, z) , P点满足抛物面和平面方程。原点到这椭圆上任一点的距离的平方为x2 y2 z2, 1分构造拉格朗日函数Fx2y2 z2 (x2 y2 z) (x y z 1) 2分Fx 2x 2x0Fy 2y 2y0Fz 2z0 4分22F x y z 0F x y z 1 01 一解得x -( 1 V3) 5分得两个驻点为P1( 1, 1,23), P2( 1虫，-,2 ,.3)222222226分所以最短距离为J9 573,最短距离为J95737分n n2.求幕级数(1)的和函数n 1 (n 1)!解：因为exn n(1) xn 0 n!n,所以e x n 0 n!S(x)

11、(1)nnxn n 0 (n 1)!(1)n(n 1 1)xn(n 1)!n nn n(1) x ( 1) x n 0 n! n 0 (n 1)!n n(1) xn!(1)nxn(1)nxn(1)n 1xn(n1)!(n 1)!(n 1)!所以S(x)故 S(x)另解:0时,0时,0时,(1)nxn(1)nxnn!n!(x0)(1)nxnn!-e1(11(1S(x)x)(x0)x)(x0)n n(1) nx(n 1)!S(x) 0n n(1) nx(n 1)!(1)n(n 1)!xndxn n(1) x(n 1)!(1)nxdxdxxe xdxxdexe3.设函数f(x)和g(x)有连续导数，且f(0) 1, g(0)n 1 n(1) x(n 1)!dx0, L为平面上任意简单光滑闭曲线，取逆时针方向，L围成的平面区域为D,已知?L xydx yf (x) g(x)dyyg(x)d ，求 f (x)和 g(x) o解：由格林公式得yf '(x) g'(x) x dxdy yg(x)