2003高考数学试题(江苏)及答案

1、 精诚凝聚=A，=成就梦想 翻点亮心灯/（AVA）照亮人生2003年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学试题第I卷（选择题共60分）、选择题:的.本大题共 12小题，每小题 5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求如果函数y =ax2 +bx + a的图象与x轴有两上交点，则点（a, b）在aOb平面上的区域（不包含边界）为2.3.4.5.6.7.8.b bO(A)(B)2 =ax的准线方程是y=2 ,则a的值为5 a抛物线yB.已知Jix (,0), cosx 二2724184 fl -一，则 tan2x =57B.一 24设函数f（x）=<2a1x2,O

2、是平面上一定点,P的轨迹一定通过4A.函数C.夕卜心y = lnC.C.247-1,x <0,若f (x0) >1, x 0.A、(0, +8)b ba(C)(D)b则xo的取值范围是B、C是平面上不共线的三个点,ABC的B.内心( )C.重心动点D.D.247(1 , +°°)P 满足5P =OA+£(-AB-|AB|AC/C), '0,二),I AC|x 1,xx -1W（1,）的反函数为-'1ex1,x (0,二),x(一/0)B.D.棱长为a的正方体中,3 a A.1 3ex 11,x-"1（0,二）（一吗0）连结相邻

3、面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为3aB. 一43 a C. 一63aD. 一122.-设 a a 0, f (x) = ax +bx + c,曲线 y =f （x）在点P（x0,f（x0）处切线的倾斜角的取值范围为0,£，则P4精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII到曲线y = f （x）对称轴距离的取值范围为翻点亮心灯/(人9)照亮人生A. 0,- a1B 00C 0,|小D.,229.已知万程(x 2x + m)(x 2x+n)=0的四个根组成一个首项为0,lb-1|2a1 1的等差数列，则|mn|=4A. 13B.一4D.10.已知双曲线中心在原点且一个焦点为直线y=x

4、1与其相交于 M、N两点，MN中点的横坐标、，2为-2 ,则此双曲线的方程是32xA. 一2匕=1B.=1C.2匕=12 x D.11.已知长方形四个顶点(0, 0), B (2,0),C (2, 1)和 D（0, 1）.一质点从AB的中点Po沿与AB夹角为0的方向射到设P4的坐标为（1 ,、A. （ ,1）3BC上的点P1后，依次反射到 CD、DA和AB上的点P2、P3和P4 （入射角等于反射角）0）.若1< x4<2,则tan。的取值范围是1 2、B. ( ,-)3 32 1、C- (5,2)* 2、D- (5,3)12. 一个四面体的所有棱长都为五,四个顶点在同一球面上,则此

5、球的表面积为A. 3兀B. 4兀D. 6兀第II卷（非选择题共90分）其中真命题的序号是.（写出所有真命题的序号）二、填空题：本大题共 4小题，每小题4分，把答案填在题中横线上.13 . （x2 2）9展开式中x9的系数是 2x14 .某公司生产三种型号的轿车，产量分别为 1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取 46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取15 .某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图）.现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不同的栽种方法种.（以数字作答）16 .对于四面体 ABCD，给

6、出下列四个命题若 AB=AC，BD=CD ,贝U BCXAD.若 AB=CD , AC=BD ,贝U BCXAD.若 AB LAC, BD ±CD,贝 U BCXAD. 若 AB，CD , BD ±AC,贝 U BCXAD.三、解答题：本大题共6小题，共74分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17 .（本小题满分12分）有三种产品，合格率分别是 0.90, 0.95和0.95,各抽取一件进行检验.（I）求恰有一件不合格的概率；（n）求至少有两件不合格的概率.（精确到0.001）18 .(本小题满分12分)已知函数f (x) =sin(8x +平)(切>0,0

7、<P En)上R上的偶函数，其图象关于点 M (竺,0)对称，且在区间0,3 一一42上是单调函数，求 中和3的值.19 .(本小题满分12分)如图，直三棱柱 ABCA1B1C1中，底面是等腰直角三角形，/ ACB=90 ° ,侧棱AA1=2, D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是 ABD的垂心G.(I)求A1B与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)(II)求点 A1到平面AED的距离.A20 .(本小题满分12分)已知常数a >0,向量c=(0,a),i =(1,0).经过原点。以c +九i为方向向量的直线与经过定点A (0, a)以

8、1 -2九c为方向向量的直线相交于点P,其中 ” R.试问：是否存在两个定点E、F,使得|PE|+|PF内定值.若存在，求出E、F的坐标；若不存在，说明理由.21 .(本小题满分12分)已知a0,n为正整数.(I)设 y =(xa)n,证明y' = n(xa)"(n )设 fn (x) =xn -(x -a)n,对任意 n 之a,证明储+ (n +1) >(n +1) fn (n).22 .(本小题满分14分)设a > 0,如图，已知直线l : y =ax及曲线C： y=x2, C上的点Qi的横坐标为科(0<a <a).从C上的点Qn (n>1)

9、作直线平行于x轴，交直线l于点Pn书，再从点Pn书作直线平行于y轴，交曲线C于点Qn+1.Qn (n=1, 2, 3,)的横坐标构成数列 aj-.(I)试求an书与an的关系，并求 QJ的通项公式;. 1 .1(n)当 a =1, a1 £一时，证明 £ (ak -ak+)ak七 <2km321:二一.3n(出)当a=1时，证明 工(ak -ak由)a"k -4精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII2003年普通高等学校招生全国统一考试数学试题(江苏卷)答案一、选择题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 5分，满分60分.1. C 2. B 3. D 4. D

10、 5. B 6. B 7. C 8. B 9. C 10. D 11. C 12, A二、填空题：本题考查基本知识和基本运算，每小题 4分，满分16分.13. 2114, 6,30,1015. 12016.2三、解答题17.本小题要主考查相互独立事件概率的计算，运用数学知识解决问题的能力，满分12分.解：设三种产品各抽取一件，抽到合格产品的事件分别为A、B和C.(I) P(A) =0.90, P(B) =P(C) =0.95 ,P(A) =0.10, P(B) =P(C) =0.50.因为事件A, B, C相互独立，恰有一件不合格的概率为P(A B C) P(A B C) P(A B C)=

11、P(A) P(B) P(C) P(A) P(B) P(C) P(公)P(B) P(C) =2 0.90 0.95 0.05 0.10 0.95 0.95 =0.176答：恰有一件不合格的概率为 0.176.解法一：至少有两件不合格的概率为P(A B C) P(A B C) P(A B C) P(A B C)一一一一 2一一 一一一一一一 一 一一 2 一一 一=0.900.0520.100.050.950.10 0.05=0.0 1 2解法二：三件产品都合格的概率为P(A B C)=P(A) P(B) P(C) =0.90 0.952 =0.812由(I)知，恰有一件不合格的概率为0.176,

12、所以至有两件不合格的概率为1 P(A B C) 0.176 =1 (0.812 0.176) =0.012.答：至少有两件不合的概率为 0.012.(18)在小题主要考查三角函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识，以及分析问题和推理计算能力，满12分分解：由f (x)是偶函数，得f (x) = f (x), 即 sin(f：x ：1)=sin( x，：)， 所以 -cos - sin x =cos :sin x对任意x都成立,且3 A0,所以得cos中=0.翻点亮心灯/(AVA)照亮人生依题设0 <* <兀所以解得中=工.一 一2由f(x)的图象关于点M对称,彳#f (_ -x) =

13、_f ( +x),3，二44取 x =0,彳#f (34) =sin(3 +) =cos.f=sin(= ,.)=cos=, 4424 cos3 =0,又6 >0,得 3L = +kn,k =1,2,3, 442 =|(2k 1),k =0,1,2,.栏)在0,£上是减函数；22当k =0日寸，.=|, f(x) =sin(|X当k =1时，0=2, f (x) =sin(2x +工)在0,注上是减函数； 22当k至0时,co =10, f (x) =sin(的+')在0上不是单调函数；一3222 .所以,综合得切=2或仍=2.319.本小题主要考查线面关系和直棱柱等基

14、础知识，同时考查空间想象能力和推理运算能力.满分12分.解法一：(I )解：连结BG,则BG是BE在面ABD的射影，即/ EBG是A1B与平面ABD所成的角. 设F为AB中点，连结EF、FC,丁 D,E分别是CC1, AB的中点，又DC _L平面ABC,CDEF为矩形连结DE,G是*DB的重心，二G WDF.在直角三角形EFD中2_12EF2 =FG FD = FD2, EF =1,. FD = 3. 3于是 ED = 2,EG2. ,33sindEBG = EG EB<FC =CD =<2,.AB =2、2,AB =2v3,EB =<3.A,B与平面ABD所成的角是arcs

15、in . 3(口)连结 A1D,有 VA1 3ED =VD 3A1E丁 ED _L AB, ED _L EF,又EF c AB = F,ED _L平面A1AB,设A1到平面AED的距离为h, 则 S AED h 二 SA1AB ED一一 1 一 1-16又S.Aae =2S.A1AB 4A1A AB = - 2,S aed - AE ED =-2-.,h =、2 * =至6即入到平面AED的距离为空66332解法二：(I )连结BG,则BG是BE在面ABD的射影，即/ ABG是A1B与平ABD所成的角.如图所示建立坐标系，坐标原点为O,设CA=2a,精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII则 A(

16、2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1)2a 2a 1Ai(2a,0,2),E(a,al),G(73-，73_,.).翻点亮心灯Z/(AvA)照亮人生 a a 2,CE 飞T&bd =,1).2)2GE BD =_a _=0.解得2=1.33-24 1.BA1 =(2,二,2), BG =(_,_,).14/3_ 72 3 1 ,213333 3cos.ABG ;旦旦 | BA1 | BG |7AB与平面ABD所成角是arccos.3(口)由(I)有 A(2,0,0)A 1(2,0,2),E(1,1,1),D(0,0,1)AE ED =(-1,1,1) (-1, -1,0)

17、 =0, AA1 ED =(0,0,2)(1,1,0) =0, , ED _L平面AAE,又ED U平面AED.(I)当a _涯时，方程是圆方程，故不存在合乎题意的定点E和F;2(口)当0a也时，方程表示椭圆，焦点E(1Jl-a2,a)F(-1J-a2,a) 22 1 222 1; 22(皿)当a -马时，方程也表小椭圆，焦点E(0 1 (a +，a2 1)和F(01(a_ . a2 )为合乎题意的两个定点 2,22, 22(21)本小题主要考查导数、不等式证明等知识，考查综合运用所数学知识解决问题的能力，满分12分.n证明：(I)因为(xa)n=£C； (a)n,xk,k =0nn

18、kn _k k _1 -k- k 1 n 上 k。n 1所以 y' =：, kCn(a)xnCn/(a)x =n(xa).k 0k z0(口)对函数 fn (x) = xn -(x-a)n求导数：fn (x) =nxn 1n(xa)n，所以fn (n) =nnn/ -(n -a)n.当x _a。时,fn (x) - 0.二当x至a时，fn(x) =xn -(x a)n是关于x的增函数.因此，当n 之a时,(n +1)n -(n +1 -a)n > nn -(n -a)nfn1 (n 1) =(n 1)(n 1)n (n 1 a)n(n 1)(nn -(n-a)n)r(n 1)(nn n(n a)n,)=(n 1)fn (n).即对任意 n - a, fn1 (n 1) (n 1) fn (n).14分.22.本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识，综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，满分精诚凝聚=A，=成就梦想 _HIII(I)解:21221Qn(an l,an ), Pn 1 (an , an ), Qn 1 ( aa4)., an 112an， aanE1)" a2工a a)221 12："：；2n 2 2二()a1a（n）证明：由a=1知a .n 12an J= (1)"a2La= d)12F a一，1,