2013年上海卷数学试题及答案(理)

1、2013年上海市秋季高考理科数学一、填空题1 .计算:limnn 203n 13【解答】根据极限运算法则，limn222 .设 m R, m m 2 (mn 2013n 13 31)i是纯虚数，其中i是虚数单位，则m 3 .若2m m 2 0m2 1 0【解答】x2 y24.已知 ABC的内角A、B、C所对应边分别为a、._ 2 _2_2_.b、c,若 3a2ab 3b 3c0,则角 C 的_1一r 1,故 C5a103x 4 x log 3 4 .7.在极坐标系中，曲线cos1 与 cos1的公共点到极点的距离为【解答】联立方程组得(1) 10,故所求为1.58.盒子中装有编号为1, 2,

2、3, 4, 5, 6, 7, 8, 9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是(结果用最简分数表示)大小是 (结果用反三角函数值表示)222222 211【斛答】3a 2ab 3b 3c 0 c a b - ab,故 cosC -，Carccos-.33352 a75,设常数a R,若x - 的一项展开式中x项的系数为10,则a 【解答】Tr 1 C；(x2)5 r (a)r,2(5 r) r 7 x31,6.方程_ 1 3 的实数解为3x 1 3【解答】原方程整理后变为 32x 2 3x 8 0 C 13【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为 1 泻 C；

3、 189.设AB是椭圆 的长轴，点C在 上，且 CBA 一,若AB=4 , BC J2 ,则 的两个焦点4之间的距离为【解答】不妨设椭圆22的标准方程为44 b21 ,于是可算得C(1,1),得b210 .设非零常数 d是等差数列X,X2,X3,L ,Xi9的公差，随机变量等可能地取值 X,X2,X3,L ,Xi9,则方差D X10,D(92 82 L 12 02 12 L 92) V30|d|. 194.1. c11 .若 cosxcosy sinxsiny -,sin 2x.八 2sin 2y 三，贝U sin(xy)【解答】cos(x y)sin2X sin2y2sin(x y)cos(

4、x y)2-,故 sin(xy)12 .设a为实常数,f(X)是定义在R上的奇函数，当 X0 时,f (x)9x2ar 什一7 ,右Xf (x) a 1 对一切 X0成立，则a的取值范围为【解答】f (0) 0,故0 a 12aa 1 ;当 x 0时，f(x) 9x 一 7 a 1X8 即 6|a|a8,又 a 1,故 a 8.72213 .在xOy平面上，将两个半圆弧(x 1) y 1(x 1)和 _ 22(X 3) y 1(x 3)、两条直线y 1和y 1围成的封 闭图形记为D,如图中阴影部分.记 D绕y轴旋转一周而成 的几何体为 ，过(0, y)(| y| 1)作 的水平截面，所得截面面

5、积为4 也 y2 8 ，试利用祖附I原理、 一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为 【解答】根据提示，一个半径为 1,高为2的圆柱平放，一个高为 2,底面面积8的长方体，这两 个几何体与放在一起，根据祖的I原理，每个平行水平面的截面面积都相等，故它们的体积相等，即的体积值为12 22 82 2 1614 .对区间I上有定义的函数 g(x),记g(I) y|yg(x),x I,已知定义域为0,3的函数y f(x)有反函数 y f 1(x),且 f 1(0,1) 1,2), f1(2, 4) 0,1),若方程 f (x) x0有解X0,贝U X0 【解答】根据反函数定义，当X 0,1)时，f

6、(X) (2,4； X 1,2)时，f (X) 0,1),而y f(x)的定义域为0,3,故当x 2,3时，f(x)的取值应在集合(，0) 1,2(4,)，故若f(X0) X0,只有 X0 2 .二、选择题15.设常数 a R,集合 A x|(x 1)(x a) 0, B x|x a 1,若 A B R,则 a 的取值 范围为()(A) (,2)(B) (,2(C) (2,)(D) 2,)【解答】集合A讨论后利用数轴可知，a 1或 a 1 ，解答选项为B.a 1 1 a 1 a16 .钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的()(A)充分条件(B)必要条件(C)充分必

7、要条件(D)既非充分也非必要条件【解答】根据等价命题，便宜 没好货，等价于，好货 不便宜，故选B.17 .在数列an中，an 2n 1,若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素ai,j ai aj ai aj ,(i 1,2,L ,7; j 1,2,L ,12)则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为()(A)18(B)28(C)48(D)63【解答】aaiaj a司 2i j 1,而i j 2,3,L,19 ,故不同数值个数为18个，选A.18 .在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以 A为起点，其余顶点为终点的向量分别为ur uu uu uu uuuu uu uu uu uua1,a2,a

8、3,a4,a5 ;以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为d1,d2,d3,d4,d5 .若m, M分别为iruuuu uuuuuu(aajaj(drdsdt)的最小值、最大值，其中i,j,k1,2,3,4,5 ,r,s,t 1,2,3,4,5：则m, M满足().(A) m 0,M0(B) m 0,M0(C) m 0,M0(D) m 0,M0uuuruiuruuu uuiruruu【解答】作图知，只有 AFDEAB DC0,其余均有aidr0,故选D.三、解答题19 .(本题满分12分)如图，在长方体 ABCD-A 1B1C1D1中，AB=2,AD=1,A 1A=1 ,证明直线 BC1平行于平

9、面DAC,并求直线BC1到平面D1AC的距离.【解答】因为 ABCD-A 1B1C1D1为长方体，故 AB/C1 D1, AB C1D1,故ABC 1D1为平行四边形，故 BC1/AD1,显然B不在平面D1AC上, 于是直线BC1平行于平面DAC;直线BC1到平面D1AC的距离即为点 B到平面D1AC的距离设为h11 . _. 1考虑二棱锥ABCD 1的体积，以ABC为底面，可得V - (- 1 2) 1 -3 233而 AD1c 中，AC DC一131所以，V13h13231/5, AD122 ,故 S AD1C2,2 八一2h ,即直线BC1到平面D1AC的距离为.3320 . (6分+8

10、分)甲厂以x千克/小时的速度运输生产某种产品(生产条件要求1 X 10),每小时3可获得利润是100(5x 1 )元. x(1)要使生产该产品2小时获得的禾I润不低于 3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.33【解答】(1)根据题意，200(5x 1 ) 3000 5x 14 0 xx又1 x 10,可解得3 x 109003411 2 61(2)设利润为y 兀，则y 100(5x 1 -)9 104 3(-)2一xxx6120；故 x 6时，ymax 457500 元.21. (6分+8分)已知函数 f(x) 2

11、sin( x),其中常数2 .的取值范围;(1)若y f (x)在一,上单调递增，求4 3(2)令 2，将函数yf (x)的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数y g(x) 6的图像，区间a,b (a,bR且a b)满足:g(x)在a,b上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的a,b中，求b a的最小值.【解答】(1)因为 0,根据题意有(2) f (x) 2sin(2 x) , g(x) 2sin(2(x6) 12sin(2x3) 11.g(x) 0 sin(2x )- x k2即g(x)的零点相离间隔依次为 一和 J 33一或x 3712,kZ,故若y g(x)在a,b上至少

12、含有30个零点，则ba的最小值为214 1543222 .( 3分+5分+8分)如图，已知曲线C1 : y2 1 ,曲线2C2 ：| y | | x | 1, p是平面上一点，若存在过点p的直线与Ci, C2都有公 共点，则称P为“CiC2型点”.(1)在正确证明Ci的左焦点是“ CiC2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不要求验证)(2)设直线y kx与C2有公共点，求证|k| 1,进而证明原点不是“ CiC2型点”；, 一 221，上 一“.(3)求证：圆x y万内的点都不是“ CiC2型点”.【解答】：(1) Ci的左焦点为F( J3,0),过F的直线xJ3

13、与Ci交于(J3, 乌)，与C2交于(J3, (J3 1),故Ci的左焦点为“ C1-C2型点”，且直线可以为xJ3；y kx|yI |x| i(2)直线y kx与C2有交点，则(|k I 1)|x| 1,若方程组有解，则必须|k| 1；y kxx2 2y2 2直线y kx与C2有交点，则1(1 2k2)x2 2,若方程组有解，则必须 k2 : y (t 1) k(x t)2故直线y kx至多与曲线Ci和C2中的一条有交点，即原点不是“Ci-C2型点”。1(3)显然过圆x2y2 ，内一点的直线l若与曲线Ci有交点，则斜率必存在;2根据对称性，不妨设直线|斜率存在且与曲线 C2交于点(t,t 1

14、)(t 0),则kx y (1 t kt) 0直线l与圆x221 ,y 内部有交点，故2|1_t_kt |2)k2=1 一？化简得，(1 t tk)2 1(k2若直线l与曲线Ci有交点，则1)ooooooooooooy kx kt t 1X22(k2 2)x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0-y2 1224k2(1t kt)24(k21)(1t kt)2 10(1tkt)22(k21)化简得，(1 t kt)22(k2 1)ooooo 22122由得，2(k2 1)(1ttk)2-(k21)k21212但此时，因为t 0,1 t(1 k)2 1-(k2 1) 1,即式不成立

15、；2 1 一当k 时，式也不成立21综上，直线l若与圆x2 y2 内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点,21即圆x2 y2 内的点都不是“ C1-C2型点”.223. (3分+6分+9分)给定常数c 0,定义函数f (x) 2 | x c 4| |x c |,数列aa2, a3,L满 *足an 1 f (an), n N . *(1)右a1c 2 ,求a2及a3； (2)求证：对任意 n N 冏1 an c,；(3)是否存在 ，使得a1,a2,L an,L成等差数列？若存在，求出所有这样的a1，若不存在，说明理由.【解答】：(1)因为 c 0,a1(c2),故22f(a1)2 1alc

16、 4|1alc|2,a3f(a1) 21 a2 c 41 |a2 c | c 10(2)要证明原命题，只需证明f (x) x c对任意x R都成立，f (x) x c 2|xc4|xc|xc即只需证明2|x c 4| |x c|+x c若 x c 0,显然有 21x c 4| | x c|+x c=0 成立；若 x c 0,则 2|x c 41 | x c | +x cx c 4 x c 显然成立综上，f (x) x c恒成立，即对任息的 n N , an 1 an c(3)由(2)知，若an为等差数列，则公差 d c 0,故n无限增大时，总有an 0此时，an 1 f(an) 2(an c

17、4) a c) an c 8故 a2f (a1) 21al c 41|ai c|aic 8,即 2 | ai c 4| | ai c | a c 8,当a1 c 0时，等式成立，且 n 2时，an0,此时an为等差数列，满足题意;若 a1 c 0,则 |a1 c 41 4a1c 8,此时，a2 0,a3 c 8,L ,an(n 2)(c 8)也满足题意;综上，满足题意的a1的取值范围是c, ) c 8.22.(本题满分16分)本题共有3个小题.第1小题满分6分，第2小题?黄分5分，第3小题满分8 分.2如图，已知双曲线Ci： x y2 1 ,曲线C2 ： |y| |x| 1. P是平面内一点，

18、若存在过点 P的直线与C1、C2都有公共点，则称P为“G C2型点”.y kx|yI |x| 1(1)在正确证明G的左焦点是“ C1 C2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程(不 要求验证)；(2)设直线y kx与C2有公共点，求证|k| 1 ,进而证明原点不是“ C1 C2型点；1(3)求证：圆x2 y2 5内的点都不是“C C2型点”.22.解：(1)C的左焦点为F(疯0),过F的直线x 庭与C1交于(J3,1),与C2交于(J3, (J3 1),故C1的左焦点为“ C1-C2型点”，且直线可以(2)直线y kx与C2有交点，则(|k I 1)|x| 1,若方程组

19、有解，则必须|k| 1；直线y kx与C2有交点，则y kxx2 2y2 21(1 2k2)x2 2,若方程组有解，则必须 k2 -2故直线y kx至多与曲线Ci和C2中的一条有交点，即原点不是“C1-C2型点”。1(3)显然过圆x2 y2 内一点的直线l若与曲线C1有交点，则斜率必存在； 2根据对称性，不妨设直线|斜率存在且与曲线 C2交于点(t,t 1)(t 0),则l : y (t1)k(xt) kx y (1 t kt)0直线l与圆x2y21内部有交点，故|1 tkt12.k2 12212化简得，(1 t tk) (k 1)oooooooooooo 若直线l与曲线C1有交点，则y kx

20、 kt t 1 1 oox22(k2 -)x2 2k(1 t kt)x (1 t kt)2 1 0y2 12222212_2_24k2(1t kt)24(k2-)(1t kt)21 0(1 t kt)22(k21)化简得，(1 t kt)2 2(k2 1)00000 1由得，2(k2 1) (1 t tk)2 -(k2 1) k2 11 c但此时，因为t 0,1 t(1 k)2 1-(k2 1) 1,即式不成立；21_当k 一时，式也不成立2221综上，直线l若与圆x y内有交点，则不可能同时与曲线C1和C2有交点，2221即圆x2 y2 一内的点都不是“ C1-C2型点”。223.(本题满分18分)本题共有3个小题.第1小题满分3分，第2小题?黄分6分，第3小题满分9 分.给定常数c 0,定义函数f(x) 2|x c 4| |x c|.数列a- a2, a3 ,满足an 1 f (an), n N * .(1)若 a1c 2 ,求 a2 及 a3 ；(2)求证：对任意n